GeoGebra環(huán)境下基于變式的數(shù)學(xué)問題可視化解決

劉麗萍

(中山市龍山中學(xué)，廣東中山，528471)

1 問題的提出

數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生能夠在解決數(shù)學(xué)問題的過程中抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，變式無疑是非常有效的教學(xué)策略.章建躍曾指出：所謂變式是指變換對象的非本質(zhì)屬性，突出其隱含的本質(zhì)要素.數(shù)學(xué)思維的形成既是靜態(tài)的活動也是動態(tài)的活動，在變化中尋求不變的本質(zhì)，通過一些條件和問法的改變讓學(xué)生看清藏在問題背后的內(nèi)涵，是深度學(xué)習(xí)的一種策略[1]，通過變式實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)是因為變式的同時實現(xiàn)了學(xué)生對于知識的遷移與知識的建構(gòu)[2].

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，信息技術(shù)為教學(xué)提供了有力工具，信息技術(shù)的使用能夠化抽象為直觀，將一些難于表述的概念和問題可視化，以利于實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，GeoGeobra軟件(簡稱GGB)就是一款非常優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，其集成了幾何和代數(shù)功能，簡單易用，深受教師和學(xué)生喜愛，那么如何在GeoGeobra環(huán)境下利用變式教學(xué)實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)？本文以空間幾何體的外接球問題為例，通過變式設(shè)計，利用GeoGeobra軟件對問題進(jìn)行可視化解決，以期對問題進(jìn)行初步探討.

2 空間幾何體的外接球問題變式設(shè)計與解決

2.1 空間幾何體的外接球問題變式設(shè)計

空間幾何體的外接球問題是高考中的熱點問題，如2021年全國高考甲卷(理11題)、2020年新課標(biāo)1卷(理10、文12)、2020年新課標(biāo)2卷(理10、文11)、2019年新課標(biāo)1卷(理10)、2018年新課標(biāo)3卷(理10)、2016年新課標(biāo)2卷(文4)、2016年新課標(biāo)3卷(理10)等，解決此類問題學(xué)生需要有比較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力，接下來由特殊到一般的過程設(shè)計變式.

設(shè)計途徑：載體從長方體(兩兩垂直)→三棱錐(兩兩垂直)→三棱錐(有一側(cè)棱垂直底面)→四棱錐(有一側(cè)棱垂直底面)→直四棱柱(側(cè)棱垂直底面)→圓柱(母線垂直底面)→特殊棱柱棱錐(有一側(cè)棱垂直底面)→一般幾何體(無側(cè)棱垂直底面)的外接球問題.

變式2已知三棱錐P-ABC的各個頂點在球O上，PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，PA=2，BA=2，BC=2，則球O的半徑r=.

變式5已知圓柱的母線長為2，底面半徑為2，則其外接球半徑r=.

變式6已知三棱錐A-BCD中，二面角A-BC-D的大小為120°，AB=AC=BC=CD=BD=2，且A、B、C、D四點都在球O的表面上，則球O的表面積為.

2.2 空間幾何體的外接球問題可視化解決

圖2.2-1

對于變式1，教師可引導(dǎo)學(xué)生對照母題，得出兩者的聯(lián)系，共同點是有兩兩垂直，然后聯(lián)想到將此類三棱錐補(bǔ)成長方體，這時教師操作GGB軟件：如圖2.2-2，依次勾選復(fù)選框，依次呈現(xiàn)三棱錐、長方體、球.

圖2.2-2

變式2是核心問題，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)變式1中的兩兩垂直條件已經(jīng)換成一條側(cè)棱垂直底面，此時學(xué)生依然會在考慮將三棱錐補(bǔ)成長方體，這是難點，這時可引導(dǎo)學(xué)生以AP為側(cè)棱，A為長方體頂點補(bǔ)形，并對學(xué)生提出問題：補(bǔ)出來的長方體的長、寬、高分別是多少？教師在學(xué)生思考后引導(dǎo)學(xué)生分析問題，明確補(bǔ)形后的長方體各點也在球面上，則以AB為邊的矩形頂點應(yīng)該與點E共圓，并再次提出問題：這個圓的半徑如何求？這時教師引導(dǎo)學(xué)生用正弦定理求解，并進(jìn)一步求出外接球半徑.對此探究過程，教師可同時操作GGB軟件：如圖2.2-3、圖2.2-4，依次勾選復(fù)選框，將分析過程一一可視化.

圖2.2-3

圖2.2-4

最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)對有一側(cè)棱垂直于底面的棱錐的解題步驟：

① 利用正弦定理求出底面外接圓的直徑2R；

經(jīng)歷變式2的探究，解決變式3、變式4和變式5時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)解題方法與變式2一樣，這時教師操作GGB軟件：如圖2.2-5，依次勾選復(fù)選框，將5個變式的圖形一一呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：有一側(cè)棱垂直于底面的柱體、棱錐，則其外接球半徑可用公式：(2R)2+h2=(2r)2，其中R為底面外接圓半徑，h為垂直于底面的側(cè)棱長，r為外接球半徑.

圖2.2-5

變式6的跳躍性比較大，學(xué)生發(fā)現(xiàn)此問題沒有側(cè)棱垂直于底面，此時教師提出問題1：過球面上三點的圓的圓心作垂線，垂線是否過球心？

師生活動：學(xué)生思考，教師用GGB軟件展示：如圖2.2-6、圖2.2-7，用點工具在球面上任取三個點，做出過這三點的截面，使用中心命令找出截面圓心L，過L作垂直于面ABC的垂線，調(diào)整角度讓學(xué)生觀察，得出：球心在截面的投影為截面圓的圓心.

圖2.2-6

圖2.2-7

問題2：三棱錐如何作出球心？

師生活動：學(xué)生思考，合作交流，教師引導(dǎo)學(xué)生得出，兩線交于一點，那么我們可以任取兩個面，作出相應(yīng)的外心，并過外心作垂線，則交點即為球心，教師使用GGB展示：如圖2.2-8，2.2-9，通過鼠標(biāo)調(diào)整角度，讓學(xué)生感受球心的性質(zhì).

圖2.2-8

圖2.2-9

基于以上兩個問題的解決，學(xué)生思考解決變式6的方法，合作交流，教師使用GGB展示，如圖，依次勾選復(fù)選框，呈現(xiàn)思維過程.

圖2.2-10

圖2.2-11

教學(xué)效果反饋：外接球問題經(jīng)歷上述母題至變式6的解決，學(xué)生已經(jīng)掌握了外接球問題解題方法，理解了哪些幾何體可以補(bǔ)成長方體求解、普通幾何體可以怎么找球心.

3 結(jié)束語

變式教學(xué)能讓學(xué)生在解決問題的過程中形成對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的理解，GGB軟件能夠?qū)⒁恍?fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題可視化，為學(xué)生提供一個可視化的主動學(xué)習(xí)環(huán)境，注重GGB軟件與課堂的有效融合，能夠提高課堂效率，助力深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成.