問題鏈教學法在高職“高等數學”教學中的應用
——以“一元函數的極值”為例

許素貞

江西師范高等專科學校 江西鷹潭 335000

“高等數學”是高職院校的一門重要的公共基礎課，它不僅為后續許多專業課程的學習奠定了基礎，還對學生學習能力和思維能力的培養起到了十分重要的作用。該課程內容抽象、邏輯嚴密、應用廣泛，教師若采用傳統的灌輸式教學方法進行知識講授，學生難以接受。本文以“一元函數的極值”為例，堅持以學生為中心，緊緊圍繞著脈絡清晰的問題鏈展開教學，使得教學目標有效達成，學生的學習能力、思維能力、分析解決問題能力得到顯著加強。

一、問題鏈教學法的含義

問題鏈是指由一系列層次分明、環環相扣、具有邏輯性和系統性的問題構成的問題鏈條。問題鏈教學法是基于學生學習基礎，圍繞教學目標，結合生活實際，緊扣教學重難點設計問題，以環環相扣、層層遞進的“問題鏈”來引導教學的方法。

二、高職“高等數學”教學中存在的問題

(一)學生基礎薄弱，知識晦澀難懂，難以深入理解

高職學生普遍數學基礎薄弱，學習主動性不強，認為數學理論晦澀難懂，對知識缺乏深入的理解，對學習數學充滿畏懼。

(二)教學方法傳統，教師作為主體，能力難以提高

“黑板+粉筆”的講授式教學法是最傳統的教授數學的方法，在課堂上，教師是教學的主體，學生在聽課的過程中獲取新知，缺乏獨立思考，難以鍛煉和提高自身的學習能力。

(三)教學內容抽象，教學過程枯燥，學習缺乏興趣

“高等數學”是一門脫離實際、高度抽象的理論性課程，學生普遍認為這樣的知識點十分難學。教師在教學過程中關注知識點本身，忽略知識的來源與作用，學生為了應對考試而被動學習，學習過程枯燥，學習興趣不佳。

三、問題鏈教學法在高職“高等數學”中的應用——以“一元函數的極值”一元函數的極值為例

“一元函數的極值”是一元函數導數的后續內容。它來源于實際問題，又可用于解決許多實際問題，在生活中有廣泛的應用。諸如利潤最大最小、距離最短、成本最小等問題，都可以轉化為極值問題。下面基于問題鏈教學法，以“一元函數的極值”為例進行教學實踐。

(一)創設情境，引發思考

教師從生活中的案例引入，展示我國的壯麗河山(黃山)，在連綿起伏的群山之中，各個山峰之頂，雖然不一定是群山之中的最高處，但它卻是其本身附近點的最高處。同樣，各個山谷雖然不一定是群山之中的最低處，但它卻是附近所點的最低處。由此提出問題：山峰和山谷在數學上如何刻畫呢？這就是我們要學習的極值，引出主題。

(二)嘗試探索，建立新知

1.模塊一：一元函數極值的定義

教師用函數曲線來模擬黃山，引導學生探索極值的定義，設計問題鏈：

問題1：什么是函數的極大值？(學生根據圖片引導及自身理解進行回答。)

問題2：如何用不等式刻畫函數極大值的含義？(

f

(

x

)>

f

(

x

))

問題3：什么是函數的極大值點？(強調極大值點并非一個點的坐標。)

問題4：什么是函數的極值？什么是函數的極值點？

函數極值的概念：已知函數

y

=

f

(

x

)，設

x

是定義域(

a

，

b

)內任一點，如果對

x

附近的所有

x

(

x

≠

x

)，都有

f

(

x

)>

f

(

x

)(

f

(

x

)<

f

(

x

))，則稱函數

f

(

x

)在點

x

處取極大(小)值，

x

稱為函數

f

(

x

)的一個極大(小)值點。函數的極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。

教師引導學生在實際生活中抽象出數學概念，既幫助學生理解極值的概念，也讓學生感受到數學來源于生活。

2.模塊二：一元函數極值的求法

教師引導學生看圖回答以下問題：

問題5：圖1中函數在哪些點處取得極值？(

x

、

x

、

x

、

x

)問題6：圖1中函數在極值點

x

、

x

、

x

處的切線，有什么特征？(切線水平，斜率為零，函數

f

(

x

)在這些點處導數為零。)問題7：導數為零的點一定是函數的極值點嗎？(不一定，比如圖1中函數

f

(

x

)在點

x

處導數為零，但

x

卻不是函數的極值點。注：導數為零的點稱為駐點。)問題8：極值點除了導數為零的點，還有其他的點嗎？(有的，還有可能是不可導的點，比如圖1中

x

是函數

f

(

x

)的極值點，但函數

f

(

x

)在該點處導數不為零，

x

是函數

f

(

x

)的不可導點。)問題9：觀察圖2，滿足什么條件的點是極值點呢？(口頭總結判定極值的充分條件。例如：在點

x

的左側，函數是單調遞增的；在點

x

的右側，函數是單調遞減的。左增右減正好形成了一個高峰，這個點正好是極大值點。)

問題10：如何判斷函數的單調性？(導數大于零，函數單調遞增；導數小于零，函數單調遞減。)

問題11：如何求解函數的極值？(學生探索出求解函數極值的第一種方法，并梳理出具體步驟。)

求解函數極值(方法一)的步驟：

(1)求函數

f

(

x

)的定義域；(2)求導數

f

′(

x

)，找出

f

(

x

)的所有駐點(導數為零的點)及導數不存在的點；

(3)用以上點將定義域分成若干區間，求各區間導數符號，判別函數的單調；

(4)求出極值。

組織學生利用Geogebra畫板畫出函數

f

(

x

)=

x

+2

x

、函數

f

(

x

)的一階導函數

f

′(

x

)=3

x

+4

x

及函數

f

(

x

)的二階導函數

f

″(

x

)=6

x

+4的圖像。具體圖像如圖3所示，圖3中S形曲線代表函數

f

(

x

)的圖像，拋物線代表函數

f

(

x

)的一階導函數的圖像，實直線代表函數

f

(

x

)的二階導函數的圖像，兩條虛線分別經過函數

f

(

x

)的極大值點和極小值點。問題12：觀察圖3，函數

f

(

x

)極大值點左右兩側的一階導數有什么特征？(左側一階導大于零，右側一階導小于零，與方法一的判定原理一致。)問題13：觀察圖3，函數

f

(

x

)在極大值點處的二階導數有什么特征？(在極大值點處的二階導數小于零。)問題14：觀察圖3，函數

f

(

x

)極小值點左右兩側的一階導數有什么特征？(左側一階導小于零，右側一階導大于零，與方法一的判定原理一致。)問題15：觀察圖3，函數

f

(

x

)在極小值點處的二階導數有什么特征？(在極小值點處的二階導數大于零。)

問題16：還可以找到求解函數極值的其他方法嗎？(學生探索出求解函數極值的第二種方法，并梳理出具體步驟。)

求解函數極值(方法二)的步驟：

(1)求函數

f

(

x

)的定義域；(2)求一階導數

f

′(

x

)、二階導數

f

″(

x

)，找出

f

(

x

)的所有駐點；(3)判斷在駐點處函數

f

(

x

)的二階導數的符號(大于零還是小于零)；

(4)求出極值。

注1：方法二只能用來判斷駐點是否為極值點，不可導點是否為函數極值點仍需用方法一來判斷。

圖1

圖2

圖3

在教學過程中，為引導學生探索極值的求法，從學生已有的知識經驗(學生已經理解導數的定義、計算、幾何意義，并且掌握了利用導數判定函數單調性的方法)出發，借助問題鏈的實施，在已知與未知之間搭建橋梁。學生在教師的引導下，主動回顧舊知，深入探究問題，理清知識脈絡，最終獲得求解函數極值的兩種方法。

3.模塊三：例題演練

解：(1)求函數

f

(

x

)的定義域：

f

(

x

)在(-∞，+∞)內有定義且連續；(2)求導數

f

′(

x

)，找出

f

(

x

)的所有駐點及導數不存在的點：

(3)判斷單調性：

例2：求函數

f

(

x

)=(

x

-1)+1的極值。解：(1)求函數

f

(

x

)的定義域：

f

(

x

)在(-∞，+∞)內有定義且連續；(2)求一階導數

f

′(

x

)、二階導數

f

″(

x

)，找出

f

(

x

)的所有駐點：

f

′(

x

)=6

x

(

x

-1)，

f

(

x

)=6(

x

-1)(5

x

-1)；令

f

′(

x

)=0，求得駐點

x

=-1，

x

=0，

x

=1；(3)判斷在駐點處函數

f

(

x

)的二階導數的符號：

f

″(0)=6>0，

f

″(-1)=

f

″(1)=0；(4)求出極值：

f

(

x

)在

x

=0處取得極小值，極小值為

f

(0)=0；因

f

″(-1)=

f

″(1)=0，用方法二無法判別，需選用方法一；在-1的左右鄰域內

f

(

x

)皆小于零，所以

f

(

x

)在

x

=-1處沒有極值；同理，

f

(

x

)在

x

=1處也沒有極值。

注2：二階導為零的駐點是否為函數的極值點仍需用方法一來判斷。

(三)課堂總結，拓展應用

教師借助問題鏈中的主干問題“什么是函數的極值？如何求解函數的極值？”引導學生對一元函數極值的教學內容進行梳理，并設置實際問題，拓展應用。

拓展應用：某一公司生產某種產品Q件，總成本為C(Q)=5Q+200，得到的總收益為R(Q)=10Q-0

.

01Q，求生產該產品多少件可以獲得最大的利潤？

四、在高職“高等數學”教學中應用問題鏈教學法應注意的問題

(一)問題鏈的設計要符合學生基礎，關注學生困惑，能輔助學生進行知識探索

設計問題鏈時，問題太難，會使學生缺乏思考空間，問題過于簡單，會使得問題本身失去思考的價值，所以，創設難易度適合的問題尤為重要。問題的設置要充分考慮學生的學習基礎，同時又要關注學生容易產生困惑的點，設置的問題應具備思考性和探索性，能輔助學生在循序漸進的基礎上獲取新知。

(二)問題鏈的設計要邏輯嚴密，層層遞進，能啟迪學生思維、培養學生能力

設計問題鏈時，設置的問題應具有邏輯性，缺乏邏輯性的問題會打亂學生的思維，不利于學生邏輯思維能力的培養。設置的問題應具有層次性，上一個問題的解決為下一個問題做好鋪墊，通過層層設疑，引導學生慢慢地接近最終答案。學生作為解決問題的主體，在邏輯嚴密、層層遞進的問題鏈的引導下獨立思考，積極探索，自覺地掌握知識內容和提高分析問題、解決問題的能力。

(三)問題鏈的設計要貼合實際，環環相扣，能提升學習興趣，凝聚學生注意力

脫離實際、高度抽象的“高等數學”讓學生為之卻步，為了克服數學課理論性強、趣味性不夠的問題，在設計問題鏈時要盡量做到貼合實際，環環相扣。獲取的知識點從實際生活而來，用到實際生活中去，不僅可以加深學生對知識內容的理解，同時可以大大提升學生的學習興趣，凝聚學生注意力。

(四)問題鏈的設計要圍繞教學目標，緊扣教學重難點，能達成良好的教學效果

問題鏈教學課堂要避免盲目設問，問題的設置應緊緊圍繞課程的教學目標，教學目標是教學設計和實施的依據。基于教材內容，圍繞教學目標，緊扣教學重難點，前后問題的內容設置應具有連貫性，共同指向核心問題。一個接一個問題的順利解決，直到核心問題的解答，達成教學目標，這樣的學習才是有意義的學習。

教學中靈活運用問題鏈教學法，能夠對高職數學教學的改革與創新起到積極的推動作用。在今后的“高等數學”教學中，將問題鏈教學法合理運用，將知識點轉化為層層遞進的問題鏈，用問題來組織教學，引導學生通過自主探索的方式來建構對知識點的理解，讓學生真正成為學習的主體，能夠提高學生獨立思考的思維能力和實際解決問題的操作能力，能夠真正學有所獲，起到助力終生持續性學習的作用。