1T1R并聯機構拓撲設計及其運動學、動力學分析*

華 耀,沈惠平,李 菊,李 濤,陳炳偉,鄧嘉鳴

（常州大學 現代機構學研究中心,江蘇 常州 213164）

0 引 言

由于驅動元件少、制造方便,兩自由度（DOF）的一平移一轉動（1T1R）并聯機器人機構具有較高的實用價值。

目前,國內外對2-DOF 1T1R并聯機構的研究較少。陳海等人[1]通過特殊布置驅動,綜合了各向同性的兩支鏈空間1T1R并聯機構,其具有運動完全解耦的特性,但未對其進行過多的運動分析。尹小琴等人[2]通過添加輔助支鏈,得到了一種四支鏈1T1R空間機構,并對其進行了位置和精度分析;但對其位置的分析只進行了反解模型求解。LI Ju等人[3]采用基于POC的拓撲結構綜合方法,設計了較多的1T1R空間并聯機構;但沒有分析該機構的特性（例如,是否運動解耦、是否含有輔助支鏈、移動軸線與轉動軸線的方位關系,等）。DALLALIBERA F等人[4]設計了含被動支鏈的空間三支鏈1T1R并聯機構,其移動軸線與轉動軸線不存在平行、垂直等特殊關系,使其運動分析較為困難,且不具有運動解耦特性。吳巍[5]提出了一種四支鏈空間1T1R并聯機構,并對其進行了位置分析;但該研究并未對其運動學進行深入研究（如奇異性分析、工作空間分析等）。

因此,還有待于對新型1T1R并聯機構做進一步的深入研究。

動力學研究方法主要有Hamilton正則方程[6]、Kane方法[7]、Lagrange方程[8-10]、Newton-Euler法[11,12]、虛功原理[13-15]等。其中,虛功原理方法能簡潔直觀地建立動力學模型,且冗雜信息較少。

WANG Jie-gao等人[16]基于虛功原理法,對Gough-Stewart機構進行了動力學分析,該方法比傳統的Newton-Euler法更具優越性。LI Meng等人[17]基于虛功原理法,提出了Tricept和TriVariant機器人的逆動力學公式,并進一步完善了動力學的研究體系。KAlANI H等人[18]基于虛功原理,改進了動力學普遍方程,減少了動力學計算時間,且提高了動力學方程的準確性。劉曉飛等人[19]基于虛功原理,建立了6PUS機構的動力學模型,并對該機構動力學性能進行了分析,為機構的研發提供了理論基礎。黃凱偉等人[20]運用基于虛功原理的序單開鏈法動力學建模方法,對全由轉動副組成的空間兩平移一轉動（2T1R）并聯機構進行了動力學建模與求解;該方法以子運動鏈（SKC）為基本單元,因而思路清晰,而傳統的虛功原理無法直接得到機構運動副的支反力。

為研發和推廣應用一平移一轉動（1T1R）并聯機構,筆者根據基于方位特征（POC）方程的并聯機構拓撲設計理論,提出一種2-DOF空間1T1R并聯機構;同時,對該機構進行拓撲、奇異性、工作空間分析;最后,運用基于虛功原理的序單開鏈法建立該機構動力學模型,對該機構的驅動力矩以及子運動鏈（SKC）連接處的運動副反力進行求解。

1 機構設計及拓撲分析

1.1 機構設計

筆者設計的2-DOF平移一轉動并聯機構（1T1RPM）,它由一條混合支鏈I和一條約束支鏈II并聯地連接于動平臺1、靜平臺0之間組成[21],如圖1所示。

混合支鏈Ⅰ中的子鏈一（R11‖R12‖R13）與子鏈二（R21‖R22‖R23）,并聯連接為一個空間子并聯機構（記為:3R-3R機構）,其靜平臺0上的轉動副R11的軸線經過子鏈二的運動平面,且R11⊥R21;再在空間子并聯機構輸出桿2的垂直桿上用轉動副R4與動平臺1的一端連接,即轉動副R4軸線的方向,同時垂直靜平面0及轉動副R13的軸線。

約束支鏈Ⅱ包含一個由4個轉動副組成的平行四邊形（Ra1Rb1Rc1Rd1）,記作pa,其一條短邊上串聯軸線相互平行的轉動副R32與R31,轉動副R31又與靜平臺0連接;另一條短邊上串聯軸線相互垂直的轉動副R33與R34,R34連接動平臺1的另一端。

靜平臺0上三個轉動副的關系是:R11⊥R21‖R31,動平臺1上兩個轉動副的關系是:R4‖R34。

1.2 機構拓撲分析

1.2.1 機構的POC集計算

（1）POC集的計算公式[22]59-60

串、并聯機構POC方程分別為:

（1）

（2）

式中:MJi—第i個運動副的POC集;Mbi—第i條支鏈末端POC集;MPa—機構動平臺的POC集。

（2）機構POC集的計算

①兩條支鏈的拓撲結構分別為:

bⅠ:（R11‖R12‖R13⊥R23‖R22‖R21-R4;

bⅡ:R31‖R32（-Pa）‖R33⊥R34。

②支鏈末端的POC集

筆者取基點為轉動副R4軸線上一點,則兩支鏈末端構件POC集由式（1,2）分別為:

Mb=

Mb=

③動平臺的POC集由式（2）得:

Mpa=MbMb=

因此,動平臺1具有沿平行于R4軸線方向的一維平移,以及繞R4軸線一維轉動的輸出特性。

1.2.2 機構的自由度

（1）并聯機構的全周DOF公式[22]77為:

（3）

（4）

（2）機構的DOF確定

①第1回路（第1子并聯機構）為混合支鏈Ⅰ中的3R-3R回路,其ξL1由式（3）得:

②第2回路（第2子并聯機構,即本機構）由第1子并聯機構、轉動副R4與約束支鏈Ⅱ構成,其ξL2由式（3）得:

ζL2=

故當取靜平臺0上2個轉動副,例R11（或R21）、R31為驅動副時,動平臺1可產生沿平行于R4軸線方向的一平移以及繞轉動副R4方向的一轉動。

1.2.3 機構耦合度

（1）耦合度計算公式[22]109

由基于單序開鏈（SOC）的機構組成原理知,任一機構可分解為約束度為正、零、負的三種有序單開鏈（SOC）,第j個SOCj的約束度定義為:

（5）

式中:mj—第j個SOCj的運動副數;Ij—第j個SOCj的驅動副數。

因此,一組有序的v個SOC可組成1個獨立回路數為v的子運動鏈SKC[23]44-45,SKC耦合度為:

（6）

（2）機構的耦合度確定

因此,兩個SKC可分別求得符號式位置正解。

2 機構位置分析

2.1 坐標系建立及參數標注

機構的運動學建模如圖2所示。

筆者設長方形靜平臺0的短長邊分別為AD=2a,AT=2b,J為TR中點;設動平臺1的長HM=2c,點P為HM的中點;同時設AB=BC=l1,DE=EF=l2,CF=AD=2a,GH=l3,JK=l4,KL=l5,LM=l6,QN=2d;

設靜坐標系O-XYZ原點為靜平臺短邊AD的中點o,X軸沿OD方向為正,Y軸沿OJ連線方向為正;H點為動坐標系o-xyz原點,x軸與靜坐標系X軸平行且方向一致,y軸與靜坐標系Y軸平行且方向一致（其中,Z、z軸由螺旋法則確定）;

設動平臺1繞動坐標系z軸正方向逆時針轉動的輸出角度為α;2個驅動副R11、R31輸入角度分別為θ1、θ2。其中,θ1為AB與Y軸正向之間的夾角,θ2為JK與X軸正向之間的夾角。

2.2 機構位置正解求解

該機構位置正解的求解,可轉換為兩個SKC內回路位置的求解[23]64-67,即:已知2個輸入轉動副分別為θ1、θ2,求動平臺的位置z及轉角α。

2.2.1SKC1位置求解

第1回路（A-B-C-F-E-D）上各點坐標為:

A=（-a,0,0）;D=（a,0,0）;B=（-a,l1cosθ1,l1sinθ1）,

C=（-a,0,z-l3）;G=（0,0,2l1sinθ1）。

由幾何約束BC=l1建立位置方程,并解得:

z=2l1sinθ1+l3

（7）

2.2.2SKC2位置求解

第2回路（H-M-L-N-K-Q-J）上各點坐標為:

J=（0,2b,0）;H=（0,0,z）;

P=（csinα,ccosα,2l1sinθ1+l3）;

M=（2csinα,2ccosα,z）;

L=（2csinα,2ccosα,z-l6）;

K=（l4cosθ2,2b,l4sinθ2）。

由幾何約束KL=l5建立位置方程,并解得:

（8）

由式（7,8）可知:z有一個解,而α有兩個解,故正解有兩組數值。

2.3 機構位置反解求解

機構位置逆解為:已知動平臺1的位置z及轉角α,求θ1、θ2。

由式（7）得:

（9）

由式（8）得:

（10）

其中:R=2l4（z-l6）;S=2l4（2ccosα-2b）;T=4c2+4b2-l52+l42-8bccosα+（z-l6）2。

由式（9,10）可知:θ1有1個解,而θ2有2個解,故該機構反解求解時有2種構型。

2.4 正逆解驗算

設機構的結構參數為:a=30 mm,b=50 mm,c=40 mm,d=20 mm,l1=50 mm,l2=60 mm,l3=5 mm,l4=60 mm,l5=45 mm,l6=15 mm;設驅動副輸入角為:θ1=45.367 0°、θ2=66.619 1°。

筆者用MATLAB算出機構正解,如表1所示。

表1 機構位置正解

筆者將表1中的No.1位置正解數值代入式（9,10）,用MATLAB求解得機構反解,如表2所示。

表2 機構位置反解數值

由此可見,表2中No.1*的逆解數值,與正解計算給定的值一致。

3 機構奇異性分析

避免機構的奇異位形是保證機構正常工作的基本要求之一,筆者采用Jacobian法分析該機構的奇異位形[24]375-376。

JPv=Jqω

（11）

f11=2（ZC-ZB）;f12=0;f21=2（ZL-ZK）;

f22=4ccosα（XL-XK）-4csinα（YL-YK）;

g11=2l1cosθ1（l3-z）;

g22=2l4sinθ2（XL-XK）-2l4cosθ2（ZL-ZK）。

根據JP、Jq矩陣是否奇異,機構的奇異位形可以分為如下3類:

（1）當det（Jq）=0時,會發生輸入奇異,有兩種情況:

①當θ1=90°即BA垂直于靜平臺0時,機構存在奇異位置,如圖3所示。

②當θ2=0°或者180°時,驅動桿2達不到該位置,所以該奇異位置不存在。

（2）當det（Jp）=0時,會發生輸出奇異,也有兩種情況:

①B、C點的Z軸坐標相等時,即BC∥DO,由于桿件之間干涉達不到該位置,因此,該奇異位置不存在;

②K、L點的Y軸坐標相等時,即滿足KL∥DO時,機構存在奇異位置,如圖4所示。

（3）det（JP）=det（Jq）=0不存在,即該機構不存在綜合奇異位置。

4 位置正解工作空間分析

并聯機構的可達工作空間是研究并聯機構工作性能的一個重要指標。相比基于位置反解公式計算空間,基于位置正解公式計算具有計算量小、計算過程快等優點[24]376-377,故筆者采用基于機構位置正解公式計算工作空間,即預先估計設定驅動副范圍,通過搜索所有滿足約束條件的點,由這些點組成的三維圖,即為該機構的工作空間。

設兩個驅動副輸入范圍分別為:1/4π≤θ1≤3/4π、0≤θ2≤3/4π,根據式（7,8）,通過MATLAB計算（耗時848.6 s）,可得到該機構動平臺1中點p的工作空間,如圖5所示。

采用式（9,10）的反解公式計算工作空間耗時1 225.2 s。由此可見,相比基于位置反解計算工作空間,基于符號式位置正解計算的效率提高了30.7%。

5 機構的速度與加速度分析

5.1 動平臺的速度和加速度

當機構不存在奇異位置時,Jp可逆,由式（11）得動平臺原點的輸出速度為:

（12）

為便于后續計算,筆者將動平臺的速度矩陣分解為移動矩陣和轉動矩陣,即:

Z=[0 0z]和α=[0 0α]。

由此,移動矩陣和轉動矩陣與原矩陣的關系可表示為:Z=G1v,α=G2v。

這樣,動平臺的移動和轉動速度矩陣可表示為:

Z=G1Jω=J1ω,α=G2Jω=J2ω

（13）

然后,筆者將式（11）對時間t求導,得到動平臺o′點加速度與輸入加速度之間的映射關系為:

（14）

其中:k=[k1k2]T,k1和k2分別為:

（15）

（16）

5.2 桿件的速度與加速度

筆者擬求出機構各桿件的速度與加速度。

5.2.1 桿件AB的速度與加速度

B點的速度為:

vB=vA+ωAB×（l1cAB）

（17）

式中:vA=0,ωAB—驅動桿AB的角速度;cAB—桿件的單位矢量。

筆者對式（17）進行求導,得B點加速度為:

aB=aA+l1εAB×cAB+l1ωAB×（ωAB×cAB）

（18）

式中:aA=0,εAB—驅動桿AB的角加速度。

于是,桿件AB質心的速度/加速度分別為:

（19）

5.2.2 桿件BC的速度與加速度

vC=vB+ωBC×（l1cBC）

（20）

對式（18）兩邊叉乘cBC,得BC的角速度為:

（21）

將式（20）兩邊對時間t求導,可得:

aC=aB+l1εBC×cBC+l1ωBC×（ωBC×cBC）

（22）

對式（22）兩邊叉乘cBC,得桿件BC角加速度為:

（23）

由式（20,22）得,桿件BC質心的速度、加速度為:

（24）

5.2.3 其余構件的速度與加速度

其余構件的速度與加速度的求法類似,故此處不再贅述,直接給出結果。

桿件DE質心的速度與加速度分別為:

（25）

vE=vD+ωDE×（l2cDE）

（26）

aE=aD+l2εDE×cDE+l2ωDE×（ωDE×cDE）

（27）

式中:cDE,ωDE,εDE—分別為相應構件的單位矢量、角速度和角加速度。

桿件EF質心的速度與加速度分別為:

（28）

（29）

式中:vF，aF—點F的已知速度和加速度。

桿件JK質心的速度與加速度分別為:

（30）

vK=vJ+ωJK×（l4cJK）

（31）

aK=aJ+l4εJK×cJK+l4ωJK×（ωJK×cJK）

（32）

式中:cJK,ωJK,εJK—相應構件的單位矢量、角速度和角加速度。

桿件KL質心的速度與加速度分別為:

（33）

（34）

式中:vL，aL—點L的已知速度和加速度。

桿件ML質心的速度與加速度分別為:

（35）

（36）

式中:vM，aM—點M的已知速度和加速度。

桿件HM質心的速度與加速度分別為:

（37）

（38）

式中:vH，aH—點H的已知速度和加速度。

5.3 算例與仿真

筆者給定兩個驅動副的運動規律分別為:θ1=pi/18*t+69×pi/180,θ2=pi/10*t+45*pi/180。

根據式（12,14）,筆者用MATLAB編程得到動平臺基點的速度曲線,如圖6所示。

動平臺的位姿加速度曲線如圖7所示。

由圖7可知:

（1）在0～5 s內,動平臺o點的線速度隨時間變化成線性下降;

（2）在0～0.2 s內,動平臺的角速度急速上升;在0.2 s～5 s內,動平臺的角速度趨于平緩上升。

從以上兩點可知,該機構運行穩定性較好。

筆者進一步將機構導入ADAMS軟件,對其進行了仿真分析,結果表明理論值與仿真值一致,因此驗證了上述運動學模型的正確性。

6 機構的動力學分析

6.1 序單開鏈法

筆者擬采用基于虛功原理的序單開鏈法,對1T1R機構進行動力學建模分析。

設驅動桿的輸入角定義為廣義坐標q=（θ1,θ2）T,所對應的廣義虛位移為δq=（δθ1,δθ2）T。

對自由度為f、廣義速度為qf=[q1q2…qf]T的機械系統,筆者按照拓撲結構分解路線,將其分成若干個SKC,而SKC又可分解為若干個SOC（Δj-）、SOC（Δj0）、SOC（Δj+）;被解除約束處的運動副支反力,轉化為新系統上的力;最后,通過虛功原理,建立動力學分析方程,求解出相應的驅動力（矩）。

6.2 受力分析

桿件質心上的力有重力和慣性力,而力矩僅存在慣性力矩。

對于動平臺,作用在質心上的力和力矩分別為:

FP1=f+mp1g-mp1X
MP1=Γ-OIP1α-α×（OIp1α）

（39）

對于各支鏈,假設重力是唯一的外力,則作用在各構件上的力和力矩分別為:

（40）

式中:OIP—在靜坐標系{o}中各桿件質心處的慣量矩陣。

6.3 動力學方程的生成

（1）對于SKC2,解除運動副H和J處的約束,于是,支反力FH和FJ轉化為未知外力,由虛功原理有:

（41）

（2）對于SKC1,由虛功原理有:

（42）

最終,由式（41,42）可求得機構的驅動力矩M1、M2,以及運動副H處的支反力FH。

6.4 數值仿真算例

根據各構件的尺寸參數,筆者選取各桿件質量分別為:mAB=6.739 g,mDE=7.839 g,mEF=7.839 g,mCF=8.844 g,mJK=7.752 g,mKL=7.337 g,mAB=6.739 g,mLM=1.945 g;動平臺的質量為:42.734 g。

筆者僅考慮動平臺上的垂直向下載荷,即f=0,τ=0;采用與5.3節相同的運動規律,通過MATLAB編程計算,得到那驅動力矩M關于時間t的曲線,如圖8所示。

運動副H處的支反力,如圖9所示。

從圖（8,9）可知:

（1）驅動力矩1上升平穩,驅動力矩2在0～0.2 s內先是平穩上升,在0.2 s～5 s內平穩下降;

（2）H點處,支反力X、Y、Z分量變化都比較平穩,即X和Y方向支反力在0～0.2 s內從負值上升到0,在0.2 s～5 s內沒有變化,而Z方向支反力在0～0.2 s內下降,在0.2 s～5 s沒有變化。

筆者將虛擬Solid works模型導入到Adams中進行動力學仿真,添加機構運動副的約束和重力,仿真時間為5 s,則得到驅動力矩仿真曲線和H點支反力仿真曲線分別與圖（8,9）的一致,這表明動力學建模的正確性[25]。

6.5 與傳統虛功原理建模方法的比較

由傳統虛功原理可知[26]:

（43）

其中:各參數的意義與6.1節中一致,且MT=[M1,M2]T。

進一步,化簡式（43）可得:

（44）

由于式（44）對任意的δq都成立,可得到機構的動力學逆解方程為:

（45）

由式（45）得到的結果,與圖8所示一致。

分析式（43～45）可以發現:傳統的虛功原理建模方法采用的是整體建模思路,不區分建模的先后順序,方程中沒有體現求解有關支反力這一要素。

7 結束語

筆者提出了一種新型1T1R并聯機構,先對其進行了拓撲分析,然后對其進行了運動學分析（包括:位置正反解求解、奇異位置分析、工作空間和桿件的速度與加速度分析）,最后進行動力學性能分析,求得了該機構的驅動力矩和子運動鏈連接處的運動副支反力。

研究結果表明:

（1）全鉸一平移一轉動并聯機構具有制造簡單、符號式位置正解,且運動解耦等優勢;

（2）根據基于拓撲特征的運動學建模方法,求解了機構的符號式位置正反解;

（3）基于Jacobian法分析機構的奇異位形,可以避免機構在初始狀態下處于奇異位置,導致機構運行卡死或損壞;

（4）基于符號式位置正解與基于位置反解計算的工作空間分別耗時848.6 s、1 225.2 s,計算效率提高了30.7%。可見,基于符號式位置正解計算工作空間可大大減少計算量;

（5）該機構動平臺的線速度和角速度變化平緩;又其驅動力矩和運動副H處的支反力變化平穩,因此,機構具有良好的動態性能;

（6）與傳統虛功原理建模方法相比,基于虛功原理的序單開鏈法同時具有Newton-Euler法和Lagrange法的優點,即不僅能求解驅動力矩,而且能求出子運動鏈連接處運動副處的支反力。

由于該機構的設計分析尚未考慮運動副摩擦等因素對動力學模型的影響,在后續的研究中,筆者將分析該因素對實際機器工作精度的影響,以提高機器的動力學性能;同時,將對該機構進行機械結構設計,以研發出相應的樣機。