用『多維度量原理』破除『?jiǎn)挝幌喑恕徽?br/>——關(guān)于量感前提下數(shù)學(xué)運(yùn)算中法理一致性與正確性的思考

文 鄭大明

在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，度量單位是廣泛應(yīng)用的基本測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)。但在日常教學(xué)中，關(guān)于計(jì)數(shù)和計(jì)量單位的教學(xué)，存在一定的認(rèn)識(shí)和操作誤區(qū)。比如有學(xué)者在論文和講座中也提出“單位×單位=新單位”的觀點(diǎn)，并且運(yùn)用等式的性質(zhì)形式化地“證明”了小數(shù)乘除法中的通用算理是“單位乘單位等于新單位”。然而，經(jīng)過搜集、查找度量單位的產(chǎn)生歷史和研究度量的本質(zhì)后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)提法有待商榷。

本文擬從以下幾方面剖析度量單位的建立與應(yīng)用，厘清其在計(jì)算教學(xué)中的一些基本認(rèn)知，確保數(shù)學(xué)運(yùn)算中法理推演的一致性與正確性。

一、度量理論的基本內(nèi)涵

度量觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是貫通數(shù)量關(guān)系和空間形式的橋梁，它是人類認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的重要工具。度量的本質(zhì)就是測(cè)度和計(jì)算數(shù)量的多與少。量感作為核心素養(yǎng)，重點(diǎn)是培育學(xué)生對(duì)于事物可測(cè)屬性及大小關(guān)系進(jìn)行定性描述和定量感知的基本能力。其核心價(jià)值在于形成度量意識(shí)，理解和掌握度量方法。因此，我們必須弄清楚度量的基本常識(shí)如量態(tài)、量標(biāo)、量程、量具、量值等度量概念的基本意義和操作辦法，避免在組織學(xué)生進(jìn)行度量感知、計(jì)數(shù)與計(jì)量運(yùn)算等活動(dòng)時(shí)出現(xiàn)不必要的誤導(dǎo)。

1.量感是指對(duì)事物可測(cè)量屬性及相互關(guān)系的感知。

感知，就是感覺和知覺的合稱。通常把言語方式的感知稱為抽象感知，非言語方式的感知稱為直觀感知。所謂直觀感知，就是人們對(duì)事物、現(xiàn)象等感知對(duì)象通過看、聽、摸等活動(dòng)獲得其所需要信息的過程。因此，義務(wù)教育階段的量感目標(biāo)主要是對(duì)量的直觀感知，也就是要讓學(xué)生看到、聽到或者觸摸到事物的可測(cè)量屬性，比如事物的輕重、多少等，并通過其大小關(guān)系，抽象感知事物的個(gè)數(shù)、倍數(shù)等度量屬性。

2.量態(tài)是指事物的可測(cè)量屬性的確定樣態(tài)。

所謂量態(tài)，就是指事物或現(xiàn)象的可測(cè)定屬性的基本樣態(tài)，也就是對(duì)事物可測(cè)屬性的定性刻畫。比如，一個(gè)人，他的身高即長(zhǎng)度、體重即質(zhì)量、個(gè)頭即體積、力氣即力量等具體的可測(cè)屬性；還有學(xué)習(xí)能力、工作能力、創(chuàng)造能力等抽象的屬性。

具體可測(cè)屬性，我們可以借助尺子測(cè)身高、磅秤稱質(zhì)量、體溫計(jì)測(cè)溫度等，測(cè)量結(jié)果確切，精準(zhǔn)度高。這種直接或間接使用工具方式進(jìn)行的度量樣態(tài)，通常叫做具象度量。

非具體可測(cè)屬性，我們可以采用考試、問卷、做項(xiàng)目等方式用打分量表的方式來度量，度量結(jié)果相對(duì)確切，但模糊性較強(qiáng)。還有如事物的價(jià)值指標(biāo)等需求屬性，完全是約定和協(xié)商而得出度量結(jié)果的。比如一只玉鐲的單價(jià)、自由市場(chǎng)白菜的單價(jià)等。這種以評(píng)估、協(xié)商、約定或者規(guī)定等運(yùn)用思維和意識(shí)方式進(jìn)行的度量樣態(tài)，通常叫作抽象度量。

3.量標(biāo)是指度量事物可測(cè)屬性的約定標(biāo)準(zhǔn)。

測(cè)量事物的不同屬性，就需要使用不同測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)數(shù)或者計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)稱度量標(biāo)準(zhǔn)，又叫作一個(gè)度量單位。一般情況下，具象度量通常以實(shí)物的標(biāo)本或局部量作為單位，如長(zhǎng)度、面積、重量、電量、時(shí)間等。抽象度量往往以設(shè)定數(shù)值或者確定分值指標(biāo)等作為單位。比如十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千；人民幣單位元、角、分等。

目前，除了各國規(guī)定的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)外，還出現(xiàn)了統(tǒng)一的“國際單位制”，如長(zhǎng)度l“米制”、時(shí)間t“秒制”和重量m“千克制”等。

4.量程是度量事物可測(cè)屬性的維度和程序。

同一個(gè)事物，可以度量的屬性很多。到底應(yīng)該度量事物的哪些屬性以及如何度量，完全是根據(jù)實(shí)踐的需要和研究的任務(wù)來確定的。由于不同學(xué)科、不同行業(yè)度量的目的、手段和方法是不一樣的，因此就產(chǎn)生了不同性質(zhì)、不同次數(shù)、不同方向等的多維度量。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，可參照的度量原理（如下表1）值得我們關(guān)注。下面只就其中的度量維度做簡(jiǎn)單的說明。

所謂度量維度，是指被測(cè)量事物的幾個(gè)屬性或者測(cè)度的方向與步驟。

零維度量：測(cè)量事物站位的存現(xiàn)狀態(tài)這一屬性，即這個(gè)東西在哪里，出現(xiàn)幾次或者占幾個(gè)位置。如“數(shù)三只羊”，只關(guān)注出現(xiàn)一只羊就需要占據(jù)一個(gè)空間位置，三只羊占三個(gè)位置，因此需要按頻率數(shù)三次。不關(guān)心每只羊的高矮、重量、年齡等可度量屬性。幾何特征就是“3 個(gè)點(diǎn)”。測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)則抽象為自然數(shù)基本單位“1 次”，簡(jiǎn)稱“1”。當(dāng)所有事物和現(xiàn)象我們都只關(guān)注它的呈現(xiàn)頻率時(shí)，就抽象為“零維”的位置記錄屬性。

一維度量：度量一個(gè)事物的某一個(gè)可測(cè)量屬性。如“一只羊的肉可以切成幾塊來等分。”這就是一個(gè)度量維度，按“塊數(shù)”切分一只羊。如果一只羊的肉切成10塊，它的度量標(biāo)準(zhǔn)就是“1 塊”，度量結(jié)果就是“1 只羊的肉=10 塊羊肉”。幾何特征就是“一條10 等分線段中的一段”，表示一塊羊肉是整只羊肉的十分之一。這里度量標(biāo)準(zhǔn)就抽象為按“1 塊”計(jì)數(shù)，然后數(shù)出對(duì)整只羊進(jìn)行等分后的塊數(shù)。這時(shí)用到的度量單位是具象的單位“1 塊”，復(fù)合表示為“只/塊”。

二維度量：同時(shí)度量一個(gè)事物的某兩個(gè)屬性或者連續(xù)兩次度量事物的同一屬性。如“一只羊可以等分成幾塊，一塊可以等分出幾斤。”這就是兩個(gè)度量維度。它的度量程序是先按照“塊數(shù)”等分一只羊，再按照“斤數(shù)”等分一塊羊肉的質(zhì)量。如果一只羊等分成10 塊，再等分稱出10 斤，它的度量標(biāo)準(zhǔn)就是“1 塊”和“1 斤”，度量結(jié)果就是“1 只羊的肉=10 塊羊肉=100 斤”。幾何特征就是“一個(gè)正方形等分為100 份中的一份”。可以理解為先x 軸方向10 等分，再y 軸方向10 等分，一共將正方形100 等分。表示一塊羊肉是整只羊肉的十分之一，一斤羊肉是一塊羊肉的十分之一，也就是一斤是整只羊肉的百分之一。測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)抽象為先按“1 塊”再按“1斤”對(duì)整體事物進(jìn)行二次等分后進(jìn)行數(shù)數(shù)。這時(shí)用到的度量單位是具象的單位“1 斤”，這里復(fù)合表示為“只/塊/斤”。

多維度量：同時(shí)度量某一事物的三個(gè)以上屬性或者連續(xù)三次以上度量事物的同一屬性，就稱為多維度量。其度量規(guī)則就是按照零維、一維、二維的規(guī)律以此類推進(jìn)行理解。其維度的多少是按照度量的需要來確定的。比如“一斤羊肉可以裝幾袋”“一袋羊肉含多少克蛋白質(zhì)”等，都是我們可以類比思考和操作的。

表1 多維度量原理示意表

5.量值是度量事物的頻次和結(jié)果的定量表征。

所謂量值，目前存在兩個(gè)基本意義。一是表示度量的基本單位與導(dǎo)出單位之間的比率關(guān)系，也就是“進(jìn)率”。如1 百÷1 個(gè)=100；1 分米÷1 米=0.1，1 平方分米÷1 平方米=0.01。二是表示被測(cè)事物度量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)單位的比率關(guān)系。如長(zhǎng)方形的長(zhǎng)5 米，寬3 米，它的面積：1 平方米×3=3 平方米，3 平方米×5=15平方米。二次度量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)單位的比率為“15 平方米÷1 平方米=15”。這里的100,0.1,0.01,15，計(jì)量學(xué)上均稱為量值。

計(jì)數(shù)單位的量值根據(jù)使用規(guī)則確定。如十進(jìn)制記數(shù)單位之間的量值按位置數(shù)確定計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)：個(gè)位標(biāo)準(zhǔn)“1”、十位標(biāo)準(zhǔn)“10”、百位標(biāo)準(zhǔn)“100”、千位標(biāo)準(zhǔn)“1000”。其他如二進(jìn)制、十二進(jìn)制、百分制等，均按具體需要進(jìn)行規(guī)定。

二、多維度量的基本原理

1.量標(biāo)建立的手段：約定與法定。

在原始階段，人們用結(jié)繩計(jì)數(shù)、用身體量物、用腳步測(cè)量、以物易物等，實(shí)現(xiàn)了一定的商品流通和物資交換的需要。這時(shí)，度量的標(biāo)準(zhǔn)，就是生活在一定社會(huì)群落的人們約定怎么計(jì)量，相對(duì)統(tǒng)一就可以了。

然而，隨著商品流通和物質(zhì)生產(chǎn)范圍不斷擴(kuò)大，各自約定的度量標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，影響物資生產(chǎn)技術(shù)的標(biāo)準(zhǔn)性和商品流通的公平性。于是就出現(xiàn)了“秦始皇統(tǒng)一度、量、衡”案例，讓秦國各地在計(jì)量物體長(zhǎng)短、容積、輕重上有了標(biāo)準(zhǔn)的度量準(zhǔn)則，給當(dāng)時(shí)的商業(yè)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了便利。

如今為了滿足世界技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)和商品流通，各國在保留自己的度量標(biāo)準(zhǔn)后，法定使用了“時(shí)間、長(zhǎng)度、重量、電流”等國際單位制，比如基本單位“秒、米、千克、安培”等。

2.量標(biāo)推演的原則：導(dǎo)出和轉(zhuǎn)換。

在具體生產(chǎn)和流通領(lǐng)域，只有基本單位還不能滿足需要。因?yàn)橹挥没締挝粶y(cè)量時(shí)，量值太大或者太小，不方便交流。于是人們?cè)诨締挝簧线M(jìn)行了擴(kuò)展，采用導(dǎo)出法和轉(zhuǎn)換法，創(chuàng)造出一系列新的單位。

（1）一維度量單位的導(dǎo)出。

度量事物的一種屬性，我們稱為“同類量”度量。“十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”的新單位導(dǎo)出算法是：基本單位“1”乘進(jìn)率“10n”。土地或平面的面積計(jì)量的新單位導(dǎo)出算法是：基本單位“1m2”乘進(jìn)率“100n”。

（2）二維度量單位的轉(zhuǎn)換。

●同質(zhì)度量的單位轉(zhuǎn)換。

所謂同質(zhì)度量，就是多維度量時(shí)，都是度量事物的相同屬性。比如加、減、乘、除法。計(jì)算中都是在數(shù)數(shù)，由于數(shù)的增加，不斷更換較大或較小的單位（如圖1）。計(jì)算度量面積和體積，都是度量長(zhǎng)度，但是單位就需要轉(zhuǎn)換（圖2）。

例1.十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換。

“9+3=12”，第一次度量數(shù)“9個(gè)1”，第二次度量數(shù)“3 個(gè)1”。合并時(shí)“9+1”換成新單位“十”表示，余下的“2”還是原單位“1”。類比得出：“90+30=120”“9 米+3 米=12米”“90 噸+30 噸=120 噸”。

圖1

看圖視角：加法從上往下看，減法從下往上看。

“9×3=27”，第一次度量得出“9個(gè)1”，第二次度量得出“3 個(gè)9”。合并時(shí)“3 個(gè)9”轉(zhuǎn)換成“2 個(gè)10 和7 個(gè)1”表示，也就得到“27 個(gè)1”。

圖2

看圖視角：乘法從左往右看，除法從右往左看。

我們從基本度量單位看，兩次度量的基本單位“1”沒有變化，只是度量單位的對(duì)應(yīng)的量值在累加。

“9＋3”：9 個(gè)1 加3 個(gè)1 得12個(gè)1。

“9×3”：9 個(gè)1 連續(xù)加3 遍得27 個(gè)1。

在小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算中，同質(zhì)的大小不同的度量單位，可以通過進(jìn)率規(guī)則對(duì)一個(gè)單位進(jìn)行累加或者細(xì)分，不斷導(dǎo)出和轉(zhuǎn)換使用新單位參與計(jì)算（如圖3）。

圖3

例2 .小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)算，分別由基本單位“自然數(shù)1”導(dǎo)出“十分之一”和“百分之一”參與計(jì)算。

“0.2×0.4=0.08”：根據(jù)結(jié)合律將算式拆分為“（1×0.1×0.1）×（2×4）”。

第一次度量，1×0.1 理解為把自然數(shù)單位‘1’等分為10 份，得到新單位“1”的十分之一。

第二次度量，把新單位“十分之一”再等分為10 份，得到最新單位“1”的百分之一。

第三次度量，相當(dāng)于2 個(gè)百分之一連續(xù)取了4 次，一共取了8個(gè)百分之一，得到百分之八。

看圖視角：乘法從左往右看，除法從右往左看。

例3.面積測(cè)量計(jì)量單位轉(zhuǎn)換。

“長(zhǎng)方形長(zhǎng)9 米，寬3 米，面積3×9=27（平方米）”。第一次度量邊長(zhǎng)9 個(gè)1 米，對(duì)應(yīng)9 個(gè)1 平方米；第二次度量邊長(zhǎng)3 米，對(duì)應(yīng)3個(gè)9 平方米。所以“1 平方米×9×3=27 平方米”。

我們從基本度量單位看，兩次度量的基本單位沒有變化，只是度量單位的量值在累加。

第一次度量，長(zhǎng)度單位選用的“1 米”，量值對(duì)應(yīng)9 個(gè)1 平方米。

第二次度量，長(zhǎng)度單位選用“1 米”，量值對(duì)應(yīng)3 個(gè)9 平方米，連加三遍得出27 個(gè)“1 平方米”。

同理得出：計(jì)算物體的體積，也是用基本單位“1 立方米”與長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算出體積的度量值。

●異質(zhì)度量的單位轉(zhuǎn)換。

所謂異質(zhì)度量，就是對(duì)事物相關(guān)屬性的多維度量。比如購物需要價(jià)格與數(shù)量，開車需要度量路程和時(shí)間，用電需要度量功率與時(shí)間等。有時(shí)我們就用復(fù)合單位表示，有時(shí)又會(huì)使用新的度量單位表示。

例1.媽媽購買了5 斤蘋果，用了20 元。每斤多少元？

第一次度量付錢20 元，度量單位是“1 元”；第二次度量稱重5斤。如何知道每斤的單價(jià)呢？就按照斤數(shù)第三次去度量錢數(shù)。按斤數(shù)等分20 元，得出“20÷5=4（元/斤）”這里的單價(jià)就是復(fù)合單位。小學(xué)算術(shù)里面不寫復(fù)合單位，轉(zhuǎn)化為用“元”替代書寫，答語寫“每斤5 元”。

例2.小王家有4 個(gè)空調(diào)，每個(gè)3500 瓦。一天，他們家開了6小時(shí)空調(diào)，用電多少度？每度0.52元，要花多少錢？

第一次度量4 個(gè)空調(diào)。總功率是3500 個(gè)1 瓦，連加4 次得14000 瓦也就是14 千瓦。

3500×4=14000（瓦）=14（千瓦）

第二次度量4 個(gè)空調(diào)開了6小時(shí)，也就是14 千瓦要連續(xù)加6次得出84 個(gè)“千瓦·小時(shí)”。因?yàn)椤?千瓦·小時(shí)”是復(fù)合單位，為了方便記錄，使用新單位“1 度”記錄。

14×6=84（千瓦·時(shí)）=84（度）

第三次度量，每度電0.52 元，84 度的價(jià)錢就是0.52 元連續(xù)加84 次得出43.68 元。

0.52元/度×84 度=43.68元

三、結(jié)語：度量標(biāo)準(zhǔn)的唯一性保證運(yùn)算推演的一致性

1.由于量標(biāo)的獨(dú)立性和唯一性，所以單位本身不能運(yùn)算。

由于量態(tài)的不同，事物的可測(cè)屬性和度量標(biāo)準(zhǔn)是具有獨(dú)立性和唯一性的。如自然數(shù)的“1”、時(shí)間的“秒”、質(zhì)量的“千克”等是專門約定的，單位與單位之間不能相互推演。即使是“個(gè)、十、百、千”這類的單位，也是唯一的個(gè)體。因?yàn)槊總€(gè)單位都沒有第二個(gè)，所以就不會(huì)出現(xiàn)“十減十等于零”“百乘百等于萬”的現(xiàn)象。

在物理量計(jì)算中遇到復(fù)合單位，即以二維度量使用不同屬性的測(cè)度標(biāo)準(zhǔn)，有些可以換成新單位表示。如電功率單位“伏特·安培”用“瓦特”表示。土地丈量的面積單位，比如因縱橫兩次使用長(zhǎng)度單位“米”度量正方形或者長(zhǎng)方形，因此換用“1 平方米”的標(biāo)準(zhǔn)正方形作單位。

所以，“單位乘單位等于新單位”的說法是錯(cuò)誤的。

2.由于量值的可加性和可分性，所以單位可以參與運(yùn)算。

由于同質(zhì)單位和導(dǎo)出單位之間有量值（進(jìn)率）關(guān)系，決定了它們可以組合與分解，即可參與計(jì)算。

比如“一”與“二分之一”的關(guān)系是“兩個(gè)二分之一組成一”，量值（進(jìn)率）是2，所以1 個(gè)二分之一加1 個(gè)二分之一，得2 個(gè)二分之一，就可以換成“一”表示。

比如長(zhǎng)3 米和2 米的長(zhǎng)方形，“1 米”作單位的量值長(zhǎng)3、寬2，對(duì)應(yīng)的面積單位“1 平方米”的量值也是長(zhǎng)3、寬2，總量值“3×2=6”。所以結(jié)果是6 個(gè)“1 平方米”。

所以，“所有的計(jì)算都是對(duì)度量單位個(gè)數(shù)的累加和細(xì)分”的說法是正確的。