應用型本科背景下高等數學混合式教學改革研究
——以分段函數為例

盧丑麗，魯官有

(1.晉中信息學院數理教學部，山西太谷，030800；2.晉中信息學院大數據學院，山西太谷，030800)

一、引言

信息技術的快速發展，給高等教育改革帶來新的思路和方法。習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要運用新媒體新技術使工作活起來，推動思想政治工作傳統優勢同信息技術高度融合，增強時代感和吸引力。”[1]自20世紀90年代以來，混合式教學發展為基于移動通信設備、網絡學習環境與課堂相結合的教學情境。SPOC(Small Private Online Course，譯為“小規模限制性在線課程”)混合式教學融合MOOC和傳統課堂教學實踐可實現線上線下混合式教學，近年來，這方面的研究較多。例如，針對互聯網背景、素質教育導向、網絡教學平臺運用等，從不同角度對高等數學課程進行混合式教學研究[2-5]，或結合英語課堂思政改革對混合式教學實踐進行了探究。[6]研究表明，創設“互聯網+教育”的新環境，開展混合式教學是課堂生態發展的必然趨勢。高等數學是大學一門抽象性、理論性較強的基礎課，不僅對專業基礎課教學的推進有重要意義，而且受眾面廣，育人功能突出，對其他課程教學改革同樣具有重要的指導作用。自2020年開始，課題組利用超星學習通教學平臺，結合應用型本科院校晉中信息學院學生的特點，對該校2020級、2021級學生進行了高等數學課程的混合式教學實踐。教學中，教師立足課程實際和學情，積極探索新舉措、新方法，通過創新教學改革，形成了一些較好的教學效果和教學反饋。分段函數是高等數學的難點，已有研究者對分段函數的極限、微積分的解法、概率問題的應用進行了詳細的研究。[7-8]而分段函數的教學策略及方法鮮少提及。對此，本文主要在高等數學混合式教學改革背景下，以分段函數為研究對象，研究其教學策略及案例教學的實施途徑。

二、分段函數在高等數學的地位

三、分段函數在混合式教學改革中的教學策略

分段函數深入高等數學中的每一個章節，主要包含以下三大模塊：“函數、極限部分”“一元微積分部分”“多元函數的分段問題”。分段函數教學內容與后續課程緊密相關，基礎性和應用性并存。混合式教學模式下，教學內容的切割、傳統授課與新技術應用的協調、傳統課堂教學手段的比例和適用度是課題組不斷研究、不斷實踐的內容。課題組吸收傳統課堂教學優勢，以課程教學內容為根本，以分段函數內容為基礎，融入多元文化和元素，積極反思和探索，構建信息化思維，探究分段函數的教學新思路和新策略。

(一)把握概念，講好基礎

分段函數的計算雖然繁雜，但作為解決問題的關鍵，最基礎的是概念和定義。因此，概念的理解對學生的學習效果是至關重要的。在備課和講授過程中，教師一定要抓住基礎，講好要點和關鍵點。分段函數定義的本質是在分界點左右兩側的解析式不同。在講解時，教師可以先讓學生從直觀的感性認識出發，逐步上升到理性認識，從“電商發貨區域包郵與不包郵的快遞問題”引入，引起學生對分段函數的認識，理解分段函數的生活常態的表現。在判斷分段點的極限時，教師可以先畫出分段函數的圖象，讓學生體會曲線的特征，再引導學生觀察幾類熟悉的圖象，進而向極限的概念靠攏，進行思維再加工。經過一番理解，學生可提煉出如下結論：先求分段點的左、右極限[8]，再判斷左右極限是否相等；若相等，則極限存在；否則，極限不存在。在此基礎上，學生可進一步思考“若函數在分段點的函數值和極限值相等，則函數在分界點連續；否則，不連續，即函數間斷”。

(二)逆向思維，促進有效計算

(三)結合實際應用，進行案例教學

教師可以結合知識點穿插案例，讓學生通過對案例的分析、思考、應用，體會用數學的妙處，理解案例蘊含的原理。例如，結合實際創設實際案例，設計問題情境，利用分段函數進行數學建模，更易培養學生的學習興趣，利于幫助學生理解知識點，進而解決實際社會生活中的問題。參考各級各類數學建模競賽題庫，教師可以將案例教學、案例作業結合起來，引導學生創設自變量、因變量的函數關系，建立合理的數學模型，層層深入，激發學習數學和研究問題的興趣和熱情，培養自主學習、合作學習和解決問題的能力。例如，教師在分段函數教學中可以采用以下案例。

【案例一】智能手機成了人們學習和生活的必備，我們以個人手機資費套餐為背景，借助多媒體、網絡、校園群等調查搜集本地相關網絡運營商的話費套餐、收費標準資料，并解決以下問題：若每月通話需求為100分鐘，用哪個套餐比較優惠？若運營商計劃每周推出一天為活動日，贈送一定量的流量，活動日應定在周幾？贈送流量為多少時客戶最多？在學習了概率論與數理統計后，教師可以將此案例進行延伸，引導學生調查、統計我校大數據學院不同學生的話費套餐使用情況，利用概率知識估計我校學生的話費使用情況，從運營商角度推出校內新套餐。

【案例二】我校人才培養方案中“完滿教育”模塊學分由藝術實踐、競技體育、志愿服務、社團活動四個活動板塊構成，每一板塊有最低學分限制。教師可以引導學生調查統計自己所在班級志愿服務活動欄目的學分構成情況，以及在第一學期的學分獲得情況，建立數學模型，估計第二學期學分。

(四)融入信息技術，加強軟件應用

程序如下：

import sys

import os

print(′請輸入自變量x的值：′)

x = float(input())

y = float(input())

if x ==0：

result = y

elif y ==0：

result = x

else：

result = x*y

print(′因變量f(x)的值為：′，result)

print(sys.version)

(五)注重學科融合，兼顧知識延拓

教師可以應用為導向，結合專業應用，思考教學對策。分段函數應用廣泛，是后續學科概率論與數理統計、復變函數、運籌學、數字信號處理等課程的必備工具和基礎。[7，9]但高等數學教材對分段函數后續應用的編排有限，如多元分段函數的二重積分并未編排，對廣義積分的刻畫較簡略。這就要求數學教師與專業課教師一起研討，在備課時充分結合學科專業應用，把握知識的整體性，對教學內容進行分析重構，創設基礎課程群一體化教學內容。例如，結合概率論中的分布函數、密度函數等進行舉例和練習，將復變函數的初步知識滲透在無窮級數中。課程設計體現深度和廣度，做到多種方法結合以突破難點，多學科融合以開闊學習的視野，加深學生對知識的理解和應用。

四、混合式教學模式下分段函數教學案例的實施途徑

基于超星學習通教學平臺構建混合式教學模式，本文以中國農業出版社出版的《高等數學》中第五章“定積分”中“分段函數的定積分”為例，結合學生實際和教學實踐，挖掘課程的亮點，從課前、課中、課后介紹本節課程教學的案例設計。

(一)課前自學階段

(二)課堂學習階段

(三)課后學習階段

五、結語

應用型本科院校的人才培養應堅持理論和能力并重，結合我校實際和學情，課程團隊對高等數學進行混合式教學改革，在形式上突破傳統的“黑板演示+教師講解”形式，在教學內容上注重針對性和應用性，改進了教學方法和策略，形成了一些較好的教學效果和教學反饋。以分段函數混合式教學為例的教學實踐表明，分段函數的課堂飽滿而充實，能夠增強學生學習意愿，學生獲得感強，教學效果好。在后續教學實踐中，我們需要繼續圍繞應用型本科育人定位，進一步分析課程內容，探索育人、教學、應用相結合的創新教學模式，促使高等數學教學改革更深入。