精設探究 聚焦目標 生長能力
——一節“平行四邊形的判定（第1課時）”教學引發的思考

鄭 金 范明明

廣東省佛山市南海外國語學校 528200

2021年5月底，筆者所在學校組織了一場“青年教師教學基本功大賽”，筆者有幸受邀成為比賽的評委之一.其中，Z教師上課的課題為“平行四邊形的判定（第一課時）”（北師大版八年級下冊第六章第二節）.通過觀察發現其教學過程中存在一些問題，從而引發了筆者的思考，現整理成文，與同行交流.

課堂簡述

環節1：課前復習

教師引入：同學們，我們已經學過了平行四邊形的有關知識，請大家思考：

問題1：平行四邊形的定義是什么？

問題2：平行四邊形有哪些性質？

環節2：新課引入

教師引入：學習了平行四邊形后，小明回家用細木棒定制了一個平行四邊形.第二天，小明拿著自己動手做的平行四邊形向同學們展示.小輝問道：你憑什么確定這個四邊形就是平行四邊形呢？大家都困惑了……

問題3：我們可以通過什么方法判定四邊形是不是平行四邊形？（提示：可以參考等腰三角形的判定方法）

生1：可以根據平行四邊形的定義即兩組對邊是否平行來判定.

Z教師給予了該生肯定與鼓勵，并明確提出“定義法是判定一個四邊形是否為平行四邊形的一種方法”，接著給出了規范的符號語言.（教師板書略）

生2：可以用量角器測量兩組對角，看對角是否相等來判定四邊形是否為平行四邊形.

針對此回答，Z教師表示此種方法不能作為平行四邊形的判定方法，但未給出明確的理由，弄得該生一頭霧水.

環節3：定理探究

活動1：請同學們嘗試用小棒拼出平行四邊形，觀察后猜想怎樣能拼成平行四邊形.

生3（上黑板）：如圖1所示，我猜想：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

圖1

生4（上黑板）：回答同上.

問題4：你能證明這個猜想嗎？

Z教師引導學生給出了詳細的證明（略），并在此基礎上明確提出平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.同時給出了規范的符號語言.（教師板書略）

圖2

活動2：A4紙上有四條直線（如圖3所示），其中a與c平行，請同學們選擇兩根小棒與其中的兩條直線擺放在一起，使兩根小棒和兩條直線的四個端點恰好是平行四邊形的四個頂點.觀察后猜想怎樣能拼成平行四邊形.

圖3

生4：如圖4所示，我猜想：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

圖4

問題5：怎么驗證我們的猜想？

Z教師引導學生給出了詳細的證明（略），并在此基礎上明確提出平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.同時給出了規范的符號語言.（教師板書略）

例題2：如圖5所示，在?ABCD中，E，F分別是BC，AD的中點.求證：四邊形AECF是平行四邊形.

圖5

問題6：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？能舉出反例嗎？

環節4：鞏固練習

練習1：下列條件中，不能使四邊形ABCD成為平行四邊形的是（ ）

A.AB∥CD，AB=CD

B.AB∥CD，BC∥AD

C.AB∥CD，BC=AD

D.AB=CD，BC=AD

練習2：如圖6所示，AC∥HD∥GE，AG∥BF∥CE，則圖中平行四邊形的個數一共是（ ）

圖6

A.7 B.8 C.9 D.10

練習3：如圖7所示，在四邊形ABCD中，E是CD的中點，BC=CF，若添加一個條件使四邊形ABCD是平行四邊形，則下列條件中可選擇的是（ ）

圖7

A.AB=CD B.AD=CF

C.∠F=∠DAE D.∠B=∠D

練習4：如圖8所示，小明不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成四塊，為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶來了其中的兩塊碎玻璃，其編號應該是________.

圖8

練習5：如圖9所示，△ABC是等邊三角形，P是其內任意一點，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周長為24，則PD+PE+PF=________.

圖9

環節5：課堂小結

（1）平行四邊形的判定方法.

（2）數學思想方法：操作—觀察—猜想—驗證.

問題分析與優化建議

問題1：在“新課引入”環節，Z教師提出了問題“我們可以通過什么方法判定四邊形是不是平行四邊形”？由于擔心學生不知道如何回答，Z教師還非常貼心地給了“提示”：可以參考等腰三角形的判定方法.我們知道等腰三角形的判定方法有兩種，一種是從邊的角度，即有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（定義）；另一種是從角的角度，即有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）.所以，當Z教師給出“提示”后，學生自然也會從邊和角兩個角度去思考.于是，從邊的角度可以想到定義，從角的角度可以想到“兩組對角相等”，這也就不難解釋生2的回答了.筆者認為，能想到“兩組對角相等”（不管是經過嚴格論證還是憑直觀感覺）的學生無疑是值得肯定的，因為兩組對角相等的四邊形確實是平行四邊形.若從“定理”的角度來看，它又不能作為判定定理，但是這種“人為的規定”又很難跟學生解釋，其結果只能以該生一頭霧水匆匆收場.可以說，Z教師的提示具有明顯的誤導作用.

優化建議：去掉“提示”，直接提問：同學們，剛才我們回憶了平行四邊形的定義及其性質，你能從中找到判定一個四邊形是否為平行四邊形的方法嗎？

教學說明：問題指向明確，很容易得出定義法.當學生得出定義法后，教師還需要引導學生理解“定義”具有“性質”和“判定”雙重身份，即由“平行四邊形”可以推導出“兩組對邊平行”；反之，由“兩組對邊平行”亦可推導出“平行四邊形”.這對學生后面學習菱形、矩形及正方形的判定方法有遷移作用.隨后教師再提問：還有別的判定方法嗎？從而引出下面的探究活動.

問題2：在活動2中，Z教師給出了四條直線（如圖3所示），讓學生選取其中的兩條直線與小棒擺放在一起，并猜想形成平行四邊形的條件.于是，學生很自然地擺出了圖4所示的圖形，并順利得到了“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”的結論.表面上無可非議，實際上值得商榷.若從活動目的的角度來看，此探究活動的重點在于讓學生發現并理解位置關系（平行）和數量關系（相等）之間的聯系（一組對邊）.但Z教師的設計無意中指明了小棒擺放的位置關系，雖為學生指明了探究方向，但同時也讓學生失去了自覺思考問題、主動設計方案的機會.此時的探究與其說是教師輔助學生“學”，不如說是學生配合教師“教”，即學生非常配合地按照教師的思路將小棒放在指定的位置上.筆者認為，Z教師給出的四條直線的設計看似合情合理，實際上代替了學生思考，削弱了學生的探究過程，其結果是學生的自主探究浮于表面、流于形式，帶有明顯的機械性.

優化建議：去掉四條直線，設計如下：同學們任意選擇兩根小棒，在桌子上隨意擺放，如果要使兩根小棒的四個端點恰好是平行四邊形的四個頂點，那么這兩根小棒需要滿足什么樣的條件呢？當學生有了猜想后再引導學生證明猜想.

教學說明：學生在活動探究的過程中需要思考兩個問題，即如何選擇（選擇等長的還是不等長的）和如何擺放（平行擺放還是不平行擺放）.具體操作時，小棒從選擇到擺放必然會經歷從數量關系（不等長到等長）到位置關系（不平行到平行）變化的動態過程，這一過程大致如圖10所示.當然，這一過程也可能在頭腦中完成.相比原來的設計，此時的探究需要學生經歷分析和思考、設計方案和執行方案、提出猜想和驗證猜想等一系列過程，學生的思維更具開放性，真正能體現自主探究的價值和意義.

圖10

問題3：Z教師設計問題6的目的在于，幫助學生理解“平行且相等”的必須是“同一組對邊”.筆者認為這是必要的，因為對定理中關鍵信息的“辨識”能加深學生的理解.但令筆者不解的是，為何沒有對前一定理（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）中是“兩組對邊”而非“兩組鄰邊”進行“辨識”？是Z教師的疏忽，還是認為沒有必要？其實，對于學生來說，理解為什么是“一組對邊平行且相等”而非“一組對邊平行、另一組對邊相等”并不難，因為大多數學生都能想到“等腰梯形”這個“鐵證”，畢竟這是他們的“老朋友”了；但對于為什么一定是“兩組對邊分別相等”而非“兩組鄰邊分別相等”，很多學生不一定能理解，畢竟不少學生的頭腦中還沒有形成“箏形”這一圖形和概念.因此筆者認為，相比“一組對邊平行且相等”，“兩組對邊相等”更需要“辨識”.但在Z教師的教學過程中恰恰缺少了“更需要”的環節.

優化建議：（1）在例題1后添加一個問題：定理中的“兩組對邊分別相等”能否換成“兩組鄰邊分別相等”？請說明理由.（2）在重新設計的活動2中，保留原問題6.

教學說明：教師教學時要注重將兩條定理中關鍵信息的辨識充分融入探究活動中，即教師要引導學生擺出“箏形”和“等腰梯形”來說明理由.通過活動探究的形式不僅能使抽象的問題變得具體、直觀，加深對定理中關鍵信息的理解，還能有效積累數學活動經驗，提高數學學習的興趣.

問題4：本節課涉及的判定方法有三種，但嚴格來說，定義法并不是本節課的核心內容，本節課的教學重點應該是后兩種判定方法.因此，在“鞏固練習”環節應該重點檢驗學生對后兩種判定方法的理解與掌握.在“鞏固練習”環節，Z教師共設計了5道練習題，若從考查目的的角度來看，練習1綜合考查的是三種判定方法，練習2考查的是定義法，練習3涉及對三種判定方法的理解，但重點考查的是“一組對邊平行且相等”的判定方法，練習4考查的是定義法，練習5考查的也是定義法.這5道練習題中竟然有3道考查的都是定義法，而本節課最核心的兩種判定方法只在練習1和練習3中有所涉及；并且，就算考查定義法，練習4和練習5考查的重點也不在此.以練習5為例，雖然解題的過程中用到了定義法（即用定義法構造平行四邊形），但其重點在于利用平行四邊形對邊相等的性質對線段的長度進行轉化，也就是說，本題雖然涉及定義法，但主要考查的絕非定義法，考查的重點更傾向于平行四邊形的性質而非判定定理，放在“平行四邊形的性質”一課中可能更加合適.練習4也存在類似問題.

優化建議：保留練習1和練習3，去掉練習2、練習4和練習5，補充兩道練習題：

（1）如圖11所示，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，AB∥CD.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖11

（2）如圖12所示，在四邊形ABCD中，AB=CD，過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，且AE=CF.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

圖12

教學說明：題（1）考查的是定義法或“兩組對邊分別相等”判定定理，題（2）考查的是“兩組對邊分別相等”判定定理或“一組對邊平行且相等”判定定理.教師要通過上述兩題充分引導學生用兩種方法進行證明，讓學生感受和體會到不同方法之間的區別與聯系，從而加深對平行四邊形判定方法的理解和掌握.

教學思考

1.探究活動的設計應促進學生自主探究

隨著課程改革的推進，探究式教學備受大家的青睞，許多教師在教學過程中嘗試設計各類各樣的探究活動.但有學者調查發現，目前的數學探究活動存在許多不如意的地方，如探究的“機械性、淺表性”等[1].Z教師設計的活動2（給出四條直線）就削弱了學生的探究過程，阻礙了學生探究思維的發展，帶有明顯的機械性和淺表性.那么，教學中應如何設計數學探究活動？筆者認為，數學探究活動的設計應促進學生自主探究，具體表現為：要“關注數學思維方法”和“探究活動的‘內化’”[2].如在筆者優化后的活動2中，學生要想完成整個探究過程，需要從思考“如何選擇木棒”和“如何擺放木棒”兩個問題開始，經歷分析和思考、設計方案和執行方案、提出猜想和驗證猜想等一系列過程，相比Z教師使學生自覺思考問題、主動設計方案，優化后的設計在數學思維方法上明顯給予了更多的關注.此外，動態的操作過程不僅讓學生積累了豐富的數學活動經驗，更實現了數學知識和探究方法的內化.當然，課前設計畢竟只是一種“預案”，教學中并非一定要實現，因此在探究活動的設計中應側重把握大致“輪廓”，在實際的教學操作中還需要創造性的教學發揮[3].

2.鞏固練習的設計應聚焦課堂教學目標

根據教學內容確定本節課的教學目標主要有以下幾點：（1）經歷平行四邊形判定條件的探索過程，發展合情推理能力；（2）探索并證明平行四邊形的判定定理，發展演繹推理能力；（3）利用平行四邊形的判定定理完成相關證明，進一步發展演繹推理能力；（4）在探索并證明平行四邊形判定定理及利用判定定理完成相關證明的過程中體會歸納、類比、轉化等數學思想.課堂教學目標既是一節課學習的起點，也是一節課學習的終點.因此，鞏固練習的設計需要聚焦課堂教學目標，即遵循與課堂教學目標相一致的原則[4].就本節課而言，“定理探究”環節作為本節課的重點，其教學設計主要聚焦目標（1）、目標（2）和目標（4），而“鞏固練習”作為對判定定理的理解和應用環節應該聚焦目標（3），并在實現目標（3）的基礎上進一步達成目標（4）.由于本節課涉及的判定定理是“兩組對邊分別相等”和“一組對邊平行且相等”這兩種，并不包括定義法，所以筆者優化后的四個問題雖然也涉及對定義法的考查，但考查的重點并不在此，只是作為思路的拓展或方法的補充.需要說明的是，筆者在優化建議中補充的兩道題原本是在Z教師的教學計劃中的，只是由于時間不夠Z教師選擇了“跳過”，直接來到了最后一道題（即練習5）.或許Z教師覺得練習5的難度更大，更能考查學生的數學能力.但遺憾的是，偏離了教學目標的考查很難起到應有的作用，難免使得學生“根基不穩”，數學能力的提升更是“空中樓閣”.

3.教學數學定理應關注學生能力的生長

數學定理是數學知識的基礎，也是學習數學知識的前提.初中學段中教學數學定理既是重點也是難點，因為“數學定理的教學不單純是讓學生知道和了解定理本身，更是培養學生數學推理能力、邏輯思維能力和創新意識的重要途徑，定理學習的過程是學生探究學習的延續和發展，更是學生探索發現、提升思維和發展能力的過程.”[5]因此，教學數學定理應該在引導學生理解并掌握數學知識和方法的基礎上更加關注學生數學思維的發展和數學能力的生長.就本節課而言，在操作（擺小棒）環節可以發展學生的動手能力、觀察能力和探究能力；在猜想環節可以發展學生的合情推理能力和歸納概括能力；在定理證明環節可以發展學生的演繹推理能力和論證表達能力.當然，關于定理的證明還可以引導學生探索不同的證明思路和方法.如證明“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”這一判定定理時，既可以轉化為定義法也可以轉化為“兩組對邊相等”判定定理進行證明.通過對不同方法的比較和討論，不僅可以激發學生證明數學定理的興趣，還可以發展學生思維的廣闊性和靈活性，進而提高學生的邏輯思維能力.