基于作圖立意 精于問題設計 促進有效復習
——以“全等三角形判定方法”的復習課為例

張 超

江蘇省常熟市昆承中學 215500

近期，筆者參加了一堂“全等三角形判定方法”的復習課，復習課簡約生動、別開生面，讓人耳目一新.現把教學過程與反思整理如下，與各位同人交流分享.

教學過程

1.全等圖形再認識

師：如圖1所示，美麗的圖案是由全等圖形構成的，其中，全等三角形是最基本的全等圖形，本節課我們再一起認識一下全等三角形.

圖1

設計意圖創設的情境既讓學生享受到了數學之美，也為后面全等三角形判定方法的復習埋下了伏筆.

2.設計全等圖形

活動1：先畫△ABC，再畫另一個三角形，使其與△ABC全等，且有一個公共頂點，并在圖形上標出這兩個三角形全等的條件.可以尺規作圖，也可以使用刻度尺、量角器、三角尺等作圖.學生獨立完成任務后在小組內進行交流，教師在巡視過程中進行指導，發現學生做好的作品，讓其在黑板上進行展示（圖2就是部分學生完成的作品）.

圖2

設計意圖這是一道開放性問題，有利于激發學生的學習興趣，有利于促進學生交流與表達，有利于提高學生解決問題的自信心.不同的作圖方法開闊了學生的視野，激發了學生的主體意識與參與意識.

3.升華認識

師：為了讓我們的學習更高效，必須有序地整理與歸納問題，下面請同學們把上述幾位同學的作品按全等三角形的判定方法進行整理歸類.

生1：第①個圖形是一類，使用了“邊邊邊”的判定方法；第②個圖形與第③個圖形是一類，它們都使用了“邊角邊”的判定方法；第④個圖形是一類，使用了“角邊角”的判定方法；第⑤個圖形是一類，使用了“角角邊”的判定方法.

生2：第③個圖形使用的是“邊邊角”的判定方法，而全等三角形的判定方法里沒有這種方法，所以第③個圖形使用的判定方法不正確.

師：傾聽他人的意見，從中發現問題，并敢于把問題提出來，就是一種可貴的學習品質，且這位同學還提出了自己的見解，給這位同學點贊.學習數學知識一方面要關注結果，另一方面還要關注過程.下面請畫出上述五個圖形的同學，把你們的作圖過程說出來，并說明為什么這樣畫出的三角形與原三角形全等.

生3：（第①個圖形）以點A為圓心，以BC的長為半徑畫弧，再以點B為圓心，以AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接AD，BD.由作圖可知，AD=BC，AC=BD，AB=BA，根據“邊邊邊”的判定方法可知△ABC≌△BAD.

生4：（第②個圖形）用刻度尺量出AB的長，然后畫線段BE=AB；用量角器量出∠ABE的度數，畫∠CBD=∠ABE，在∠CBD的BD邊上截取BD=BC，連接DE.由作圖可知，∠CBD=∠ABE，所以∠EBD=∠ABC.又BE=AB，BD=BC，根據“邊角邊”的判定方法可得△ABC≌△EBD.

生5：（第③個圖形）用量角器量出∠ACB的度數，然后畫∠ACD=∠ACB，以點A為圓心，以AB的長為半徑畫弧與∠ACD的一邊相交于點D，連接AD.經過度量發現BC=CD，說明△ABC≌△ADC.

師：在作圖過程中，我發現按生5的作圖方法只能作出一個△ADC使△ABC≌△ADC，為什么他根據“邊邊角”作出的△ADC與△ABC是全等的呢？觀察這兩個三角形可以發現，它們有兩邊及一邊的對角分別相等，且這個對角是鈍角，說明可以用“邊邊鈍角”判定兩個三角形全等.

生6：（第④個圖形）延長AC到E，使AE=AB，然后尺規作圖使∠AED=∠ABC，交AB于點D.因為∠BAC=∠EAD，AB=AE，∠AED=∠ABC，根據“角邊角”的判定方法可得△ABC≌△AED.

生7：（第⑤個圖形）分別延長AC，BC，在BC的延長線上取一點E，使BC=CE，過點E作ED∥AB，交AC的延長線于點D，則∠BAC=∠EDC.因為∠ACB=∠ECD，BC=CE，根據“角角邊”的判定方法可得△ABC≌△DEC.

設計意圖教師先引導學生按全等三角形的判定方法去分類，有學生發現第③個圖形利用的是“邊邊角”判定方法，不能判定兩個三角形全等；然后教師向學生追問作圖過程，旨在引導學生思考三角形全等的理由.在此過程中，師生發現了一個重要的結論，對于兩個三角形，有兩條邊對應相等，其中一條相等的邊對應的是鈍角且相等，那么這兩個鈍角三角形全等.整個引導過程自然天成，于整體上展開教學，于一處點升華，雖然起點很低，但促進了學生認知的提升和思維品質的發展.

4.反思升華

活動2：如果一個三角形的兩邊長分別是3 cm和4 cm，有一個角是40°，請畫出一個滿足條件的三角形.

生8：如圖3所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的兩邊分別截取3 cm和4 cm的線段，最后連接BC構成△ABC.

圖3

生9：如圖4所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的一邊截取4 cm的線段，再以線段的右端B為圓心，以3 cm為半徑畫圓，我發現圓B與射線AD有兩個交點C，D，連接BC，BD，那么△ABC，△ABD都是符合題意的三角形.

圖4

生10：如圖5所示，先畫一個角等于40°，然后在這個角的一邊截取3 cm的線段AB，再以點B為圓心，4 cm的長為半徑畫弧交AC于點C，連接BC，則△ABC也是符合題意的三角形.

圖5

師：請同學們觀察圖4中的△ABC，△ABD，你有什么發現嗎？

生11：兩個三角形，有兩條邊分別對應相等，且一邊的對角也相等，但△ABC是鈍角三角形，而△ABD是銳角三角形，這兩個三角形不可能全等.也就是說不能利用“邊邊角”判定兩個三角形全等.

師：通過剛才的活動，同學們發現已知兩邊與一角，可以作出四個互不全等的三角形，如果把條件改為“一個三角形的兩邊長分別是2 cm與4 cm，一個角是40°”，那么符合條件的三角形一共有幾個？

生12：根據剛才的經驗可以作出四個互不全等的三角形，因為40°的角可以作為2 cm邊和4 cm邊的夾角，也可以作為2 cm邊的對角或4 cm邊的對角.

生13：如圖6所示，當40°的角作為2 cm邊的對角時，不能構成三角形，所以只能作三個符合題意的三角形.

圖6

設計意圖從一個簡單的作圖問題入手，把學生帶入學習狀態，當第一個學生作出一個圖形時，教師又引導學生作出第二個、第三個圖形，根據這三個圖形巧妙地說明了利用“邊邊角”并不能判定兩個三角形全等.接著，教師升級問題，改變已知條件，結果只能作出三個符合題意的三角形.在作圖過程中，凸顯了分類討論數學思想，充分體現了以教師為主導、學生為主體的教學思想.

5.全等大盤點

師：在本節課即將結束時，有必要對所學內容與方法進行盤點，只有這樣才能提高學習效益.同學們，在作圖過程中，應用了哪些知識？運用了哪些方法？

經過盤點，學生得知應用“角角角”“邊邊角”不能證明兩個三角形全等，只有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊邊”才能證明兩個三角形全等.

設計意圖簡單的問題，在盤點知識與方法的同時，也滲透了數學思想方法.

教學反思

1.作圖構思——先面后點

復習課要達到兩個目標：一是把學過的知識進一步內化，二是提升學生綜合運用知識的能力[1].本課教學中，教師以作圖構思整個課堂，從課堂開始到高潮到結束，都圍繞作圖進行追問，對圖形進行整理與歸類，力求突破與超越尺規作圖.在實踐過程中，學生思維之間的碰撞與啟發，隨機生成許多意想不到的作圖方法，又一次詮釋了“角角角”“邊邊角”不能判定兩個三角形全等的原因.

2.設計問題——舊知新問

復習課不是簡單的舊知識重復，只有對學過的知識恰當地進行設計，才能引發學生思考，避免學生產生對數學知識的審美疲勞而讓學生失去學習的興趣.在設問的構思上，力求設計有層次，解決問題的方式方法多樣化，體現舊知新問的智慧.比如，復習全等三角形的判定方法時，教師沒有直接向學生問判定方法，而是給學生設計了一個作圖任務，這個任務具有開放性與操作性，學生面對問題各顯神通，達到了良好的復習效果.

3.教學方式——學為主體

復習效果如何，取決于學生參與課堂的積極程度[2].教師必須選擇合理的教學方法，才能吸引學生參與課堂教學，如本復習課立足學生的認知水平，以動手作一個與原三角形全等的三角形為載體，開啟整個課堂教學，時而利用小組合作，交流互動，時而利用追問，引導學生思考發現新的策略，把以學生為主體的理念切切實實地落在了實處.