構(gòu)建“理趣課堂”的實(shí)踐
——以“斐波那契數(shù)列”教學(xué)為例

江蘇南通師范學(xué)校第三附屬小學(xué)（226007） 鄧蕓蕓

“理趣課堂”，顧名思義就是富有理性和感性的課堂。理性主要是指數(shù)學(xué)課堂要有數(shù)學(xué)的理性精神，學(xué)生應(yīng)帶著求真的精神去探索研究數(shù)學(xué)，追求一種完全確定、完全可靠的知識(shí)；感性主要是指數(shù)學(xué)源于生活，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該結(jié)合客觀實(shí)際，體現(xiàn)其社會(huì)性、現(xiàn)實(shí)性、實(shí)踐性、直觀性，通過這些感性的和有趣味的客觀認(rèn)識(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。“理趣課堂”，糅合了理性和感性，將課堂變得生機(jī)勃勃，增強(qiáng)了課堂的趣味性，大大提高了學(xué)生參與課堂的積極性和熱情，有利于提高課堂教學(xué)效率和質(zhì)量。

“理趣課堂”，努力做到用數(shù)學(xué)的理性精神引領(lǐng)學(xué)生去探索、去求真，去經(jīng)歷知識(shí)形成的過程；同時(shí)又遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，最終達(dá)到理趣相生的和諧狀態(tài)。

現(xiàn)以“斐波那契數(shù)列”教學(xué)為例，談?wù)勅绾螛?gòu)建“理趣課堂”。

一、激趣探理，發(fā)現(xiàn)數(shù)列

布魯納說：“興趣是最好的老師。”小學(xué)生具有強(qiáng)烈的好奇心。課堂伊始創(chuàng)設(shè)有趣的問題情境，可激發(fā)學(xué)生的好奇心，讓他們更快地進(jìn)入新知的探索中。

1.設(shè)疑導(dǎo)入

師（出示比薩斜塔圖片，如圖1）：意大利比薩不僅有聞名于世的斜塔，還出過一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家斐波那契。800 多年前，他在著作《算盤書》中提出了一個(gè)有趣的兔子問題，吸引著人們不斷地去研究。究竟這個(gè)兔子問題如何有趣呢？大家想知道嗎？

圖1

2.出示問題

師（出示兔子問題）：假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長成大兔，再過一個(gè)月它們便能生下一對(duì)小兔，而且以后每個(gè)月都會(huì)再生一對(duì)小兔。如果一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，那么12 個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？

3.初步嘗試

師：遇到這樣的難題怎么辦？請(qǐng)大家聯(lián)系以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)想一想。

生1：可以化難為易，將難題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題。

生2：可以先研究前幾個(gè)月的情況，看看有沒有什么發(fā)現(xiàn)。

4.發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：第1 個(gè)月是什么情況？第2 個(gè)月呢？第3個(gè)月呢？……第6 個(gè)月呢？怎么知道的？（出示示意圖，如圖2）

圖2

生3：每個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)就是前一個(gè)月兔子的總數(shù)，小兔子的對(duì)數(shù)就是前一個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，而前一個(gè)月的大兔子，又和再前面一個(gè)月兔子的總數(shù)一樣。

生4：也就是說，每個(gè)月兔子的總數(shù)等于前兩個(gè)月兔子的總數(shù)相加。

師：現(xiàn)在可以找到12個(gè)月后兔子的總數(shù)了嗎？

生5：把前兩個(gè)月兔子的總數(shù)相加就能得到下一個(gè)月兔子的總數(shù)。

師：怎么覺得后面的找起來反而容易了。

生6：因?yàn)槲覀冊(cè)诒容^簡(jiǎn)單的部分發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，所以在難的部分直接運(yùn)用規(guī)律就可以解決問題了。可見難和易是可以互相轉(zhuǎn)化的。

5.大膽猜測(cè)

師：猜一猜，如果所有的兔子都沒有生病或老死，4年后會(huì)有多少對(duì)兔子？

（學(xué)生先猜測(cè)是幾百、幾千、幾萬，最后看到結(jié)果是48 億多時(shí)，都表示完全超出了預(yù)期，為這個(gè)結(jié)果感到震驚。）

師：大學(xué)者胡適說過，我們要大膽假設(shè)，小心求證。看來我們以后猜測(cè)的時(shí)候不妨再大膽一點(diǎn)。

6.揭示數(shù)列

師：這只是數(shù)學(xué)中的理想模型，實(shí)際生活中兔子當(dāng)然會(huì)生老病死，但是這樣的假設(shè)卻給我們帶來了有趣的數(shù)列。因?yàn)檫@個(gè)問題是數(shù)學(xué)家斐波那契提出的，所以這個(gè)具有規(guī)律的數(shù)列又叫“斐波那契數(shù)列”。

評(píng)析：在上述環(huán)節(jié)中，數(shù)學(xué)史上有趣的兔子問題牢牢地吸引著學(xué)生的注意力，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)提出化難為易的轉(zhuǎn)化策略，運(yùn)用畫圖、列舉、計(jì)算等多種方法，通過獨(dú)立思考與集體交流，探求了數(shù)量關(guān)系中蘊(yùn)含的規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問題，成功找到著名的斐波那契數(shù)列。學(xué)生不僅知道了數(shù)列的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，而且還結(jié)合情境做出了自己的解釋。在此過程中，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)有理有據(jù)、邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn)。尤為可貴的是，學(xué)生在探索的過程中感悟到難和易是相對(duì)的，是可以互相轉(zhuǎn)化的，閃現(xiàn)出哲學(xué)思辨的火花，他們的理性精神在潛移默化中自然生長。

二、理中生趣，研究數(shù)列

1.分組研究數(shù)列的性質(zhì)

師：斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，從古至今，吸引著無數(shù)人進(jìn)行研究。請(qǐng)4 人為一個(gè)小組，每組選其中一個(gè)性質(zhì)進(jìn)行研究。

2.集體交流數(shù)列的性質(zhì)

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列還有哪些有趣的性質(zhì)？

生1：從第3 項(xiàng)起，任意一項(xiàng)的平方與它前后兩項(xiàng)的積總是相差1，有時(shí)是多1，有時(shí)是少1。

生2：第3、6、9項(xiàng)的數(shù)字，能被2整除；第4、8、12項(xiàng)的數(shù)字，能被3 整除；第5、10 項(xiàng)的數(shù)字，能被5 整除；第6、12項(xiàng)的數(shù)字，能被8整除。

生3：能被2整除的項(xiàng)數(shù)都是3的倍數(shù)。

生4：相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的平方和仍是斐波那契數(shù)，比如，22+32就等于13，32+52就等于34。

生5：前一項(xiàng)除以后一項(xiàng)的商一直在變，如1，0.5，0.667，0.6，0.625，0.615，0.619，0.618……一會(huì)兒變大一會(huì)兒變小。

生6：感覺這個(gè)比值在越來越靠近一個(gè)結(jié)果。

生7：我認(rèn)為它在靠近0.618 ，因?yàn)槲矣窒蚝笏懔藘纱危脭?shù)分別是0.619、0.618。

生8：我聽說過0.618 這個(gè)數(shù)，它是黃金比。也就是說斐波那契數(shù)列的前后兩項(xiàng)的比值越來越接近黃金比。

……

師：時(shí)間的關(guān)系，我們今天只研究了斐波那契數(shù)列的幾個(gè)性質(zhì)。同學(xué)們?nèi)绻肓私馑€有哪些有趣的性質(zhì)，課后可以去看這本書——《斐波那契數(shù)列》，一定會(huì)有更多的收獲。

評(píng)析：獨(dú)立研究數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于小學(xué)生來說是頗具挑戰(zhàn)性的。在本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師充分地信任學(xué)生，為他們提供自由探究的時(shí)空，并適當(dāng)給出一些探索的方向和思路，給學(xué)生提供攀登的腳手架。學(xué)生小組合作、自主發(fā)現(xiàn)、集體交流，找到了斐波那契數(shù)列很多神奇的性質(zhì)。這些有趣的發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生欲罷不能，讓他們?yōu)閿?shù)學(xué)之神奇著迷，讓他們?yōu)樽约旱某删透械阶院馈Ｔ谶@一高度抽象的純數(shù)學(xué)的理性研究過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了如此之多的神奇而有趣的現(xiàn)象，這種趣味是一種發(fā)現(xiàn)的樂趣、求知的樂趣和充滿知性的樂趣。最后推薦相關(guān)書籍，引導(dǎo)學(xué)生將研究延伸到課外，讓課堂的影響更為深遠(yuǎn)。

三、明理得趣，品味數(shù)列

1.尋找生活中有趣的斐波那契數(shù)列現(xiàn)象

師（出示圖3）：除了兔子問題，生活中還有很多地方也藏著斐波那契數(shù)列，讓我們一起來看看吧！海螺的殼上都有一條螺線，可以描繪成圖3 的樣子。這個(gè)螺線圖和斐波那契數(shù)列有什么關(guān)系呢？

圖3

生1：這些小正方形的邊長就可以組成斐波那契數(shù)列。

師：植物當(dāng)中也有斐波那契數(shù)列。一些樹枝的樹丫數(shù)量蘊(yùn)藏著斐波那契數(shù)列（如圖4）。很多植物的種子排列中也涉及斐波那契數(shù)列。松果果實(shí)上的螺線順時(shí)針有8條，逆時(shí)針有13條，這是什么數(shù)？

圖4

生2：是斐波那契數(shù)列中兩個(gè)相鄰的數(shù)。

2.感悟大自然中蘊(yùn)藏的深刻哲理

師：植物如此進(jìn)化是為了更好地利用空間，是一種優(yōu)化的生存策略。

生3：大自然真是太神奇了！原來斐波那契數(shù)列就是大自然“發(fā)明”的呀！

師：正如古代大哲學(xué)家莊子所說：“天地有大美而不言……萬物有成理而不說。”從宇宙星辰到植物、動(dòng)物都蘊(yùn)藏了斐波那契數(shù)列（如圖5）。看到這些，你有什么感受？

圖5

生4：天地之間蘊(yùn)藏著無言的美和深刻的規(guī)律，數(shù)學(xué)世界也是如此。

生5：我們要敬畏大自然、保護(hù)大自然，還要去探索大自然無窮的奧秘。

3.欣賞藝術(shù)作品的數(shù)學(xué)之美

師（出示圖6）：很多畫家、音樂家、建筑師也感受到了斐波那契數(shù)列的神奇，并把它應(yīng)用到自己的藝術(shù)創(chuàng)作中。下面就讓我們來欣賞一下吧。

圖6

生6：原來藝術(shù)里也藏著很多數(shù)學(xué)原理呢！

生7：斐波那契數(shù)列真是太美了！數(shù)學(xué)真是太美了！

評(píng)析：立德樹人是教育的終極目標(biāo)。本教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)走向生活，在自然現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，感悟哲理；從數(shù)學(xué)走進(jìn)藝術(shù)，在藝術(shù)世界中回味數(shù)學(xué)之美。學(xué)生感受到大自然神奇的力量，感悟到數(shù)學(xué)迷人的魅力，科學(xué)思維與人文素養(yǎng)相輔相生，互相滋養(yǎng)。這種超乎尋常的審美體驗(yàn)讓學(xué)生的視野得到拓寬，認(rèn)知得到震撼，心靈得到凈化，在探索大自然的奧妙、品味斐波那契數(shù)列無窮韻味的過程中，獲得了一種高品質(zhì)的審美趣味。

四、理趣交融，拓展延伸

1.課堂小結(jié)

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生1：我不僅知道了斐波那契數(shù)列是什么樣的，還知道它是怎么來的，而且它有很多特別有趣的性質(zhì)。

生2：原來大自然中就藏著很多斐波那契數(shù)列，大自然真是太美、太神奇了！還有難和易是相對(duì)的，是可以互相轉(zhuǎn)化的。

師：斐波那契數(shù)列在計(jì)算機(jī)、生物、物理、金融等很多領(lǐng)域發(fā)揮著重大的作用。

2.課后思考

師：回到開頭的比薩斜塔，它斜得這么厲害，能登得上去嗎？（能）比薩斜塔的樓梯中也藏著斐波那契數(shù)列，你相信嗎？

師（出示問題）：上樓梯，每次可以上1 級(jí)或2級(jí)，爬到第2 級(jí)有幾種方法？爬到第3 級(jí)呢？第4、第5 級(jí)呢？這些問題與斐波那契數(shù)列有什么關(guān)聯(lián)呢？留給同學(xué)們課后去思考。

評(píng)析：在趣理交融的課堂總結(jié)后，學(xué)生的成就感是非常強(qiáng)烈的，他們享受到了探索真理、洞察真相、品味藝術(shù)的樂趣。此時(shí)，教師趁熱打鐵，回到課始的情境，引領(lǐng)學(xué)生思考爬樓梯的問題。這樣的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生帶著問題走出課堂，將學(xué)習(xí)探究延伸到課外。如此，課堂邊界被進(jìn)一步拓寬，正可謂“課已終，思猶在，趣無窮”。

“理趣課堂”就是要讓學(xué)生在探求真知的過程中獲得智慧，體驗(yàn)成功，感受數(shù)學(xué)無窮的奧妙，產(chǎn)生持續(xù)學(xué)習(xí)的不竭動(dòng)力，從而有效提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。