理論力學(xué)動(dòng)靜結(jié)合的例題分析

段慶全

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）安全與海洋工程學(xué)院，北京 102249）

理論力學(xué)是高等教育工科大學(xué)生的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，其任務(wù)不僅是為了后續(xù)課程的需要，更深層次的意義在于科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)。理論力學(xué)課程的課表教學(xué)學(xué)時(shí)普遍在48-72學(xué)時(shí)之間。雖然該課程的教學(xué)內(nèi)容與初中物理、高中物理、大學(xué)物理存在一定程度的相似，但由于概念眾多、理論性強(qiáng)、解題方法靈活等特點(diǎn)，容易使初學(xué)者常因概念昆淆而導(dǎo)致種種錯(cuò)誤，產(chǎn)生“理論易懂、習(xí)題難做”的感覺(jué)。因此在理論力學(xué)教學(xué)中，應(yīng)把課程的理論體系作為一個(gè)系統(tǒng)來(lái)研究，引導(dǎo)學(xué)生掌握整個(gè)課程理論體系的層次結(jié)構(gòu)，探索知識(shí)點(diǎn)的邏輯關(guān)聯(lián)，從而理清課程中不同理論間的脈絡(luò)[1]。因此，編寫(xiě)能夠引起學(xué)生思考的例題非常必要，通過(guò)具體例題的分析，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展一題多解的思考，建立起知識(shí)間的邏輯關(guān)系，將課程知識(shí)融會(huì)貫通，進(jìn)而有一種“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺(jué)。

1 力矩、動(dòng)量矩概念的聯(lián)系

力矩、動(dòng)量矩是靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)中的兩個(gè)重要概念，描述構(gòu)件上的作用力、質(zhì)量為 的某點(diǎn)動(dòng)量對(duì)確定點(diǎn)的矩。盡管作用力、動(dòng)量的物理意義不同，在數(shù)學(xué)上可以統(tǒng)一定義為矢量。對(duì)于點(diǎn)的矩，定義為，為點(diǎn)到矢量作用線(xiàn)上任一點(diǎn)的矢徑。

在靜力學(xué)關(guān)于平衡的定義，可以列出二力一矩方程、一力二矩方程、三矩方程等不同形式的平衡方程。其中，選擇不同的點(diǎn)求合力矩，列出矩的平衡方程是分析靜力學(xué)題目的重點(diǎn)。在動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)量矩定理中，重點(diǎn)是計(jì)算對(duì)于不同定點(diǎn)的動(dòng)量矩，特別是針對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩。分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，動(dòng)量矩定理往往與質(zhì)心的動(dòng)量定理進(jìn)行聯(lián)立方程。在應(yīng)用動(dòng)量矩定理的時(shí)候，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)包括固定的點(diǎn)與質(zhì)心，不是一般意義的動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)動(dòng)量矩定理具有較復(fù)雜的表達(dá)式。靜力學(xué)中求合力矩的點(diǎn)，是平面中任意的點(diǎn)，可以在物體上，也可以在物體外面的點(diǎn)。

2 靜力學(xué)中的動(dòng)力學(xué)

例1：質(zhì)量為m、重量為Q、長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)桿件靠在光滑的墻壁上（夾角為），桿件與地面的靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，梯子上作用一水平力F，BD=a，求維持平衡時(shí)的F。

圖1 例1

取桿AB為研究對(duì)象，假設(shè)桿向右滑動(dòng)，畫(huà)受力圖受力分析如圖2所示。列出常見(jiàn)的二力一矩方程：

圖2 例1的受力分析圖

聯(lián)立式（1）、（2）、（3）可得，

在靜力學(xué)中，求合力矩的點(diǎn)一般選擇為桿內(nèi)部的點(diǎn)或端部點(diǎn)。由受力分析可以看出的交點(diǎn)P，對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)中桿AB的瞬心，因此，針對(duì)瞬心求合力矩平衡方程：

式（2）、式（5）聯(lián)立求解可得

3 動(dòng)力學(xué)中的靜力學(xué)

例2：質(zhì)量為m、重量為Q，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)桿件靠在光滑的墻壁，另一端放在光滑的水平地板上，令桿由豎直靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求到達(dá)與水平方向的夾角時(shí)，角速度、角加速度，以及A、B處的約束反力。

圖3 例2

圖4 例2的運(yùn)動(dòng)分析

解法一：

此題屬于動(dòng)力學(xué)中的典型試題，研究桿件的平面運(yùn)動(dòng)情況，由于從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)分析圖如圖所示，P點(diǎn)為桿AB的瞬心，桿AB的角速度為。初始時(shí)刻的動(dòng)能，運(yùn)動(dòng)到任意時(shí)刻 t的整個(gè)桿的動(dòng)能為：根據(jù)動(dòng)能定理，，可得

因此，將動(dòng)能定理進(jìn)行整理與微分，可得桿的角速度、角加速度分別為

聯(lián)立（7）（8）（9）方程，可得

解法二：

由公式（12）可得

上式積分，可得

在以上方程中，包括2個(gè)力方程，1個(gè)矩方程，如果選擇列二矩一力方程，根據(jù)表中的規(guī)定，求合力矩的點(diǎn)O、點(diǎn)C的連線(xiàn)方向不能與求合力的方向垂直，則選擇法向（CO方向）的質(zhì)心動(dòng)量定理公式（9）。化簡(jiǎn)式（9），并將式代入，可得公式（10）相同的結(jié)論。

解法三：

在應(yīng)用質(zhì)心動(dòng)量定理的時(shí)候，也可以在選擇在水平方向（X軸）、豎直方向（Y軸）應(yīng)用進(jìn)行動(dòng)量定理的微分形式，

4 總結(jié)

通過(guò)例題中的靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)分析，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力與綜合分析能力，學(xué)生普遍反映好像感覺(jué)到書(shū)本變薄了、基本理論內(nèi)容聯(lián)系增加了，公式也變少了，知識(shí)點(diǎn)也不再那么零散了。