新工科背景下線性代數的教學改革

◎孫英特 (揚州大學數學科學學院，江蘇 揚州 225009)

大學數學教育是高等教育的基礎性環節，其中線性代數課程又是該基礎性環節的重要組成部分.近年來，國家為了進一步加快產業變革，支撐創新發展而不斷推進“新工科”建設.在以互聯網和工業智能為核心的“新工科”專業中，線性代數的課程內容對于其專業人才的培養具有極為重要的支撐作用.

線性代數課程主要探討了行列式、矩陣、線性方程組、線性映射等概念和內容.大多數的大學新生在中學階段都未曾接觸過上述概念，故而他們在接觸這些概念后，往往會覺得其抽象復雜，難以掌握.在這些主客觀因素的影響下，普通的工科大學生對于這門課程的學習和掌握情況往往并不理想.因此許多專家學者在該課程的課堂設計、教學探究上做出了很多卓有成效的探索和思考.而在強調“新工科”專業建設的新背景下，本文嘗試從“新工科”專業人才培養目標出發的角度，對線性代數課程的教學進行一些新的思考和探索，主要可以分為對于傳統的線性代數教學的局限性的思考，“新工科”背景下的教育管理者的教學改革的探索，以及對于一線教學工作者教學實踐的建議.

一、“新工科”專業建設背景下，線性代數教學的局限性

近年來，教育部不斷推進以新興產業為主導的“新工科”專業建設，線性代數的課程內容在“新工科”專業的人才培養中有著基礎性的地位.對于“新工科”專業而言，其培養的人才需要具備將數學知識在其專業的實際問題中應用的能力.這對于以知識傳授為主要目標的傳統教學模式而言，有著巨大的挑戰.筆者從下述兩方面，對傳統的線性代數教學模式的局限性給予一些分析.

(一)教學目標不明確，未能有效地服務于培養學生的主體目標

近年來高校教師的新老交替在日益加速，因此線性代數是大多數青年數學教師需要教授的一門公共課程.由于教師群體在認知和經歷上存在差異，因此他們對該課程教學目標的認知必然存在一些差異.在當下不斷強調“新工科”建設的背景下，高校如果無法在教師群體中樹立一個合理的教學目標，那么對“新工科”人才的培養無疑具有一定的消極作用.

一些富有經驗的高校數學教師在線性代數的課堂教學中會不斷強調行列式、矩陣和線性方程組計算的重要性，并認為工科學生的主要學習目標是以掌握計算為主，理解為輔.而青年數學教師則認為過于強調計算的教學目標與數學學習的理念是有所沖突的，但相對淺薄的教學經驗又讓其難以梳理出合適、合理的教學目標.

筆者認為，掌握熟練的計算能力和準確理解概念都不是“新工科”專業學生在線性代數課程上真正的學習目標.教學目標的設定，應該與人才的專業培養目標和發展需求息息相關.完全從數學教師的角度去理解“新工科”專業人才的發展目標不免有些妄自尊大.教師們只有真正理解了線性代數課程在學生自身的專業發展中的地位和作用，才能夠真正地樹立一個明確合理的教學目標.

(二)教學內容偏向形式化、抽象化，教學目標脫離實際應用背景

在傳統的課堂教學中，線性代數課程內容與數學專業的高等代數課程內容幾乎是一致的，其主要的差異體現在部分內容的刪減以及對邏輯推理的淡化.因此在課堂教學中，教師們往往會用與數學專業相似的教學方式來教授課程中抽象的定義和概念.對于“新工科”專業學生，這樣的教學模式難以激發學生對該課程內容的認可和學習主動性.

值得注意的是，線性代數課程內容在“新工科”專業中往往具有極其重要的作用.以計算機科學專業中兩個重要的研究方向為例：在人工智能的重要研究方向“神經網絡”中，研究者們往往將數據轉化為高維向量，并將模型的所有參數儲存在多個矩陣當中；在計算機圖形學中，工程師會使用一個特殊的矩陣來表達其對應的像素點信息，并通過矩陣運算來改變該像素點的位置.

筆者認為，傳統的線性代數教學模式缺乏將數學概念與實際工程問題相結合的主動性.這也就容易導致工科學生學而無味，并覺得學而無用，從而難以激發其學習主動性.

二、“新工科”背景下，線性代數教學改革的一些新思路

教育部自2017年以來，不斷強調“新工科”建設，目標是培養出實踐能力強、創新能力強、具備國際競爭力的高素質復合型新工科人才.作為工科人才培養的基礎性數學課程之一，線性代數的教學改革也需要有新的思路，只有這樣才能為“新工科”背景下的人才培養提供新的動力，為“中國制造2025”注入新的活力.

(一)改變教材建設觀點，打破傳統教材建設怪圈

教材建設一直是課程改革的重點，而線性代數作為數學基礎課程，其教材建設一直都受到高校和出版社的重視.線性代數教材雖然種類繁多，但是卻較難脫離出傳統教材建設的怪圈，即重復性高、適應性低、應用性低.所謂重復性高，是指不同的教材盡管在知識框架的編排上具有一定的區別，但是組織方式和內容表達上并沒有本質差異.所謂適應性低，是指該類教材的編著者大多出自傳統的數學院系，缺乏將課程知識與工程應用相結合的教育背景，這樣使得教學模式偏向于數學化.所謂應用性低，指的是在教材建設中，編著者沒有注重將課程內容與實際工程問題相結合，這就使得學生只是掌握了大量的抽象概念，但缺乏應用能力的支撐，壓制了“新工科”專業學生的學習主動性.

筆者認為若想在源頭上釋放出新工科的活力，則一定要打破傳統教材建設怪圈，并在下述兩個方面有所發展.第一，注重教材編著人員的交叉化和多元化.傳統的線性代數教材的編著基本都依賴于數學教師.而新時代，“新工科”背景下的線性代數課程的教材建設應更加依賴于數學教師與各工科教師之間的交融，從而編纂出更具有專業針對性的教材.第二，注重教材編纂與實際問題相結合.以線性方程組及其相關內容的教學為例.傳統的課堂教學注重讓學生理解方程組解的結構以及求解.這確實是正確的,但也需要注重在課堂中引入線性方程組在解決實際問題中的應用.如果教師能夠讓學生借助于方程組知識和編程語言(例如Python)去解決一些實際應用問題，那么所能得到的教學效果更為理想.

(二)因材施教，依據學生的專業和發展方向，精準培養人才

在人才的培養中做到因材施教是教育者們的共識，也是一個目標.但在大學教育中如何貫徹這一共識，教育者們有著自己的觀點.筆者在此以線性代數的教學為例談一談個人的認知.

近年來，伴隨著高等學校擴招而來的是在校學生人數的不斷攀升，數學公共課程的教師們很難在課堂上就不同學生的個體特異性采取具有針對性的教學方式.但就線性代數的教學而言，就不同專業和類別的學生群體做到某種程度上適中的因材施教是有可能的.筆者認為這需要注意如下兩點.

針對不同專業的學生，傳統的線性代數教學有著明顯同質化的傾向.由于不同專業的學生的需求有著明顯差別，因此教育者們需要關注所教授專業的學生所需，從而在教學內容和方式上有所取舍.以信息科學專業的大學生為例，教師們應更注重于培養學生們對于向量、矩陣等概念的幾何直觀，并能夠在課堂上幫助學生將其與數據科學、信息科學中的重要概念建立起直觀聯系.

針對同一專業，不同學習目標的學生.首先，教學人員應該提升課程學習的基礎要求，保證較高的教學目標.其次，教學人員應在課程教學過程中有針對性地介紹課程知識的應用背景，拓寬學生視野.最后，高校需要有針對性地開設進一步深化學習的連貫課程，例如線性代數進階、線性代數的計算方法等課程，保障有著較高學習目標的學生的學習機會.

(三)改變傳統教師培訓思路，拓寬教師視野，結合人才培養需求

教師培養是現代大學教育中的一個關鍵環節.一位青年教師的成長必然伴隨著其教學能力的提升和教學思想的完善.近年來，由于諸多高校在不斷強調教師回歸到立德樹人本職工作的重要性，因此加大對教師的培訓力度在諸多教育部門的計劃表中.針對數學基礎公共課程線性代數，筆者認為除了傳統的一些培訓目標外，還應拓展教師專業視野，加深教師對于線性代數在工程科學中的認知.

以信息科學中的一些專業為例，線性代數中的向量和矩陣的概念具有極為重要的作用.例如在圖像處理中，一般是將圖像以高階矩陣的形式進行保存，在處理的時候再將該矩陣拉伸成為一個向量進行處理；在人工智能的“深度學習”模型中，模型的所有參數都會被儲存在許多個“并串聯”的矩陣中.通過這些簡單的例子，大家已經可以感受到線性代數中的基本概念在工程科學中具有其獨特的含義和應用，而這些含義和應用往往并不為傳統的教學工作者所熟知.故而筆者認為在未來的高校數學教師培養中，我們應該按照教學對象的專業需求、有針對性地對教師們進行細化的專業培訓.例如，對于信息科學、智能制造、智能建造等專業的實際背景加大了解，并對這些專業中的具體的線性代數的應用案例加以學習.這樣的教師培養思路，既提升了教師的實際能力，也能為“新工科”的人才培養提供新的動力.

三、“新工科”背景下，線性代數的教學實踐中的一些新的教學方法

前面所提到的教材建設中的新思路主要是針對教育管理者在線性代數課程的教學改革中的一些建議.而對于承擔一線教學工作的教師們，他們也需要在日常的課堂教學中具備新的教學觀點，應用新的教學方式，從而取得更好的教學效果.

(一)從注重形式化、邏輯化的教學方式向注重圖像化、直觀化轉變

在傳統的線性代數教學中，數學教師們傾向于依托知識體系中內蘊的形式化邏輯進行講授.依照著常規的引例、定義、性質、應用的知識構成方式的講解對于非數學專業的學生而言，其接受的效果往往難以達到教師們的心理預期.因此在教學的過程中如何有效地限制住不斷提高的知識內容的抽象性要求，而又不影響核心內容的傳授就成了教學工作者們需要解決的一個重要的問題.就這個問題，筆者認為教師們在課堂教學中應該注意以下兩點.

首先，應該注重概念的圖像化處理，而非抽象化.例如，對線性代數中的向量、向量的正交、向量的分解等重要概念的介紹中，教師們應該充分借助于現代化的電子教學工具，以大量清晰、生動的三維幾何圖像進行解釋，并不以尋求一個嚴格的形式化定義為目標.當學生們充分理解了二維、三維這些可以圖像化的對象后，教師們可以嘗試推廣到一般的n維向量中.這樣的教學方式能夠極大降低學生們對于這些概念的理解難度，但不會降低學生們對核心知識的掌握要求.

其次，注重推理過程中的直觀化處理，而非邏輯化.例如，在講授矩陣與向量的乘法運算中，教師們可以將簡單的二階矩陣和二維向量的運算表達式充分展開，從而表現出在這樣的一個運算過程中是如何實現了空間基底的變化，以及為何矩陣的各列就成了映射后的新基底.以此為基礎，教師們就可以自然地解釋出為何同樣都是二階方陣，一些方陣將二維的向量空間壓縮為一維空間，而另一些則沒有.這就可以自然地詮釋出方陣的秩這一概念的思想來源.在這樣的一個推導過程中，不過度追求推理的邏輯化，而以直觀化的方法解釋運算過程中的作用機理為主要目標.

(二)從注重抽象知識的傳授向提升學生應用能力的轉變

傳統的線性代數課程的主要教學目標是學生們能夠理解重要概念，具備熟練的計算能力，以及基本的邏輯推演能力.在國家大力推進“新工科”的教育背景下，這樣的教學目標是否仍然能夠完全適應人才培養的需求，是一個需要廣大教育工作者思考的問題.

筆者認為，“新工科”背景下的教學目標除了關注于所傳授的知識的考核外，還應加大對學生們能否利用所學的數學知識進行實際問題處理的能力的考核.此處，以計算機科學、大數據科學這些“新工科”專業的學生為例，學生的考核中除了筆試形式的知識考核外,還應該包含有一些需要進行實際操作的項目的考核.例如，數據的降維(減少對象的特征維度)是這兩個專業的學生常常需要處理的基本問題，而以特征值分解(EVD)和奇異值分解(SVD)為理論基礎的主成分分析法(PCA)就是該問題常用的處理方法之一.學生們應該能夠清晰地詮釋出這兩種方法所牽涉的線性映射的數學理論，并具備使用Python等計算機程序語言將這兩種方法應用到一些如商品推薦，圖片壓縮等實際問題中的能力.如果一線教學工作者能夠在教學實踐中堅持這樣的教學目標，那么他們將培養出更多的高質量的“新工科”專業人才.

不過需要注意的是，這樣的教學考核方式和過程監督將會對教育管理者的課程建設能力和授課教師的專業能力提出極高的要求.其能否施行，將極大地依賴于前面所提到的拓展教材建設、細化教學目標、深化師資隊伍培養等幾大教學改革思路能否得到落實.也只有這樣才能夠真正地實現以人才分類培養為框架，以教師能力培訓為引導，以學生能力提升為目標的良性教學循環.

四、結 語

上述中所提到的一些看法，是筆者近幾年在對工科類專業大學生的線性代數的課程教學中的一些感受和思考.筆者認為只有對教學材料分類建設、教學目標細化分類，以及教師隊伍深化培訓才能夠解決高校的基礎性數學課程在教學上容易脫離實際應用背景、難以激發學生學習興趣、缺乏人才培養多元化的一系列痛點.同時，一線的教學工作者只有注重直觀化的知識傳授方式和提升學生實際應用能力的教學導向，才能夠取得更好的教學效果，培養出合格的“新工科”專業人才，徹底地激發出數學的基礎性課程對“新工科”人才培養的支撐性作用，從而為“中國制造2025”激發出巨大的潛能和活力.