活用代數方法 巧用幾何特征

［摘? 要］ 運算能力問題是學生解決解析幾何問題的瓶頸，如何有效突破？文章通過“活用代數方法，巧用幾何特征”策略，結合高考真題案例加以剖析，適當變式拓展，以優化解析幾何運算求解能力，提升學生的數學運算素養.

［關鍵詞］ 代數方法；幾何特征；優化運算；多思少算

解析幾何是高中數學的重要內容，是高考數學六大“主干”知識之一，蘊涵著豐富的數學思想，但是從教學現狀以及歷屆高考的答題情況的統計來看，學生對解析幾何內容有畏難情緒. 答題時常出現“想不到”或“想到了不會算”或“算了算不對”等現象，表面上可以歸結為“粗心”“馬虎”等原因，但追根溯源，其實是對運算方法缺乏預判和科學的認識造成的. 因此運算能力問題儼然成為學生解決解析幾何問題的瓶頸. 為突破這一瓶頸，筆者結合自身教學實踐，將“活用代數方法，巧用幾何特征”這一核心思想方法貫穿解析幾何課堂教學的始終，以優化學生的解析幾何運算求解能力，提升學生的數學運算素養，發展學生的數學能力.

思維方式不同，解題效率迥異

圓錐曲線研究的對象是幾何圖形，研究的方法是坐標法（解析法），一般處理思路是借助曲線的幾何位置關系等價轉換成代數關系，通過代數運算和探究得到相應量的關系，最后翻譯成幾何特征. 在問題的解決過程中，難點就是如何將條件中的幾何圖形（幾何關系）轉化成代數關系，即幾何代數的合理表征決定了思維方式的不同，而不同的思維方式和視角下的運算量的差距也是巨大的. 因此，靈活應用代數方法，巧妙使用幾何特征將直接決定解題的速度與效率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P為直線x=4上不同于（4，0）的任一點，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點M，N，證明：點B在以MN為直徑的圓內.

評析：第（2）問是一道常規的解析幾何證明題，但是學生的答題效果非常不理想. 大多數學生對證明“點B在以MN為直徑的圓內”感到束手無策，或者計算復雜無法繼續算下去，或者沒有明確的目標意識.

第（2）問證明的是“點B在以MN為直徑的圓內”，考查的知識點是點與圓的位置關系，處理這個知識點的常規方法有兩種：一是代數法，利用代數方法的關鍵是要先求出圓方程，再把點的坐標代入圓方程，若多項式是負數，則說明點在圓內. 二是幾何法，利用點到圓心的距離d與圓半徑r比較大小，若d<r，則說明點在圓內. 按照常規方法，大部分學生容易嘗試解法1：

后面無法再計算MN，BQ……

難點分析：由于本題中的圓是動圓，受到動點P（4，t）的制約，因此圓的方程、半徑、點到圓心的距離這些量都帶有參數t，且形式復雜，給學生本來就脆弱的計算能力帶來了很大的挑戰，學生很難再計算下去，最后只能放棄.

教學的最高境界在于不斷引導學生探索未知世界，培養學生自覺地應用所學知識分析問題、解決問題，這也是數學教學的終極目標. 為了向目標靠近，筆者提出了三個問題：

？搖從解法1到解法3，學生經歷了“算不出”到“算得出”，再到“算得簡”的過程，逐步體會到“點B在以MN為直徑的圓內”這個幾何特征的不同代數表征形式對運算效率的影響程度不同.

問題2：“圓錐曲線中動點問題的假設原則一般是誰動設誰，請觀察本題中的動點有幾個，一定要設P（4，t）嗎？是否還有其他的設參方式？”于是引出了解法4：

問題3：“從剛才的幾種運算方法來看，都是把動點M，N的坐標用參數表示出來，后面將鈍角轉化成銳角，把求兩個點M，N的坐標簡化成了求一個點M的坐標，那么不求點的坐標是否也能證明呢？”于是引出解法5（設而不求）：

例1以“點B在以MN為直徑的圓內”這一兼具代數與幾何特征的知識為載體，由點在圓上即點對直徑張直角，聯想到點在圓內即點對直徑張鈍角，而由鈍角的代數表征想到了向量積，培養了學生聯想以及化歸轉化的能力；從計算∠MBN到計算∠MBP，從設P求M到設M求P，訓練了學生合理選擇運算路徑的能力；由求點的坐標到代數式的整體運算，體會了“設而不求”思想方法的本質. 這一完整的過程讓學生深深體會到處理圓錐曲線問題的基本策略與方法，更關鍵的是讓學生知道代數法中參數的選擇. 幾何特征的挖掘、幾何代數的合理轉化，等等，不同視角下運算量的差異化非常明顯. 因此，“靈活應用代數方法，巧妙使用幾何特征”就在優化運算中扮演了非常重要的角色.

活用代數方法，巧用幾何特征

在解決解析幾何問題的過程中，幾何代數經常是形影不離的，著名數學家華羅庚曾說“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，這也道出了其中的真諦. 有些題目，若能巧妙地運用平面幾何的有關性質或圖形的幾何特征，會大大簡化計算量和思維量，給人以一招制勝的神奇效果. 因此，“活用代數方法，巧用幾何特征”就是解析幾何中優化運算，體現新課標、新高考“多思少算”理念的關鍵所在.

如果具備了上述的思維方式，解題的關鍵環節就是計算點M的坐標了，此時從運動變化的觀點來分析動因不難發現：點M與點P是相對變化的，按照引參遵循“誰動設誰”的原則，可以通過設點M的坐標來計算點P的坐標，把直線與曲線的交點問題轉化成直線與直線的交點問題，降低了運算的維度（把二次方程變成了一次方程），從而優化了運算，提升了運算效率，于是這里實現了優化運算的第三步——從“算得簡”到“算得優”. 縱觀整個思維過程，將“活用代數方法，巧用幾何特征”這一核心思想體現得淋漓盡致！

綜上所述，解析幾何運算的關鍵不在“算”，而是在“想”，要想得透徹、想得明白，才能算得清楚、算得簡潔，這也就是優化運算的策略，而這一策略的核心方法就是“活用代數方法，巧用幾何特征”.

剖析高考真題，領悟方法本質

縱觀近幾年的全國高考卷，解析幾何題基本圍繞著“活用代數方法，巧用幾何特征”這一思想考查學生的數學運算素養，在運算過程中滲透“多思少算”的理念. 本部分將對高考真題如何滲透該思想，結合變式訓練，多角度、全方位地進行剖析，讓學生在掌握思想方法的同時領悟思想方法的本質，真正意義上提高學生優化數學運算進行求解的能力，提升學生的數學運算核心素養. 下面結合具體案例加以分析：

反思解題過程可以看出，雖然采用代數方法建立a，b，c的等量關系，但是計算量相對較小——只是進行了向量坐標的簡單計算，在這里起關鍵作用的是對點B的坐標的引入，巧妙地抓住了雙曲線特殊三角形的幾何特征這一知識點，大大地優化了計算過程，提升了運算效率. 因此，“活用代數方法”與“巧用幾何特征”相輔相成，渾然一體，若解決問題時兩者兼顧，則威力無窮.

代數方法與幾何方法是研究解析幾何問題的兩種常用方法，巧妙地應用幾何特征將會簡化解題過程，提升運算效率，起到事半功倍的效果，從而提高學生優化運算求解的能力，提升學生的數學核心素養.

解析幾何的學科特征就是“算”，而難點也在“算”上，如何突破運算的瓶頸，提高優化運算求解的能力，提升數學運算素養，是我們數學教師時時刻刻要研究的課題. 本文重點從“活用代數方法，巧用幾何特征”的角度提出優化運算的方法策略，實現了解析幾何運算從“算不出”到“算得出”，從“算得出”到“算得簡”再到“算得優”的飛躍. 當然，數學運算能力的培養是一個系統工程，它還需要理性的思考，需要邏輯推理，等等. 只要我們數學教師在課堂上認真落實到位，學生的運算能力就會得到提高.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2021年度教改專項課題《核心素養導向的“教—學—評一致性”單元教學策略研究》（Fjjgzx21-018）階段性研究成果.

作者簡介：黃金明（1982—），本科學歷，中學高級教師，從事中學數學教學與研究工作，曾獲第八屆全國數學教師優秀課觀摩大賽全國一等獎、教育部“部級優課”、福建省第二屆教師教學技能大賽三明市第一名等榮譽，三明市學科帶頭人，福建省高中數學王欽敏名師工作室成員，水安市數學黃金明名師工作室領銜人.