基于波利亞解題思想，運(yùn)用GeoGebra探索立體幾何的本質(zhì)

［摘? 要］ 研究者以波利亞解題思想為指導(dǎo)，以現(xiàn)代教學(xué)軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì). 文章以一道“異面直線所成角有關(guān)的問(wèn)題”為例，探索了基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)策略.

［關(guān)鍵詞］ 波利亞解題思想；GeoGebra；立體幾何

高中立體幾何具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性，對(duì)于拓展學(xué)生的理性思維、樹(shù)立學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神、培養(yǎng)學(xué)生幾何抽象等素養(yǎng)具有重要的意義. 傳統(tǒng)的高中立體幾何教學(xué)模式給予學(xué)生觀察動(dòng)手的機(jī)會(huì)較少，相當(dāng)數(shù)量的教師在引導(dǎo)學(xué)生解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，往往依靠“指手畫(huà)腳”的方式進(jìn)行演示或練習(xí). 顯然，這種教學(xué)模式無(wú)論在形式上還是在內(nèi)容上都難以滿足新課標(biāo)對(duì)學(xué)生提出的要求.

GeoGebra是一款集統(tǒng)計(jì)、運(yùn)算、幾何、代數(shù)為一體的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件［1］，可以從根本上解決立體幾何教學(xué)中“想象不到”的恐懼；同時(shí)，波利亞解題思想能夠?yàn)楦咧辛Ⅲw幾何解題提供一般性的思路，可以有效提高解題的效率和正確率. 兩者相結(jié)合，對(duì)教學(xué)立體幾何具有深遠(yuǎn)的意義. 筆者以波利亞解題思想為指導(dǎo)，以現(xiàn)代教學(xué)軟件GeoGebra為探索工具，嘗試將GeoGebra融入高中數(shù)學(xué)課堂，有效探索立體幾何的本質(zhì).

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)的優(yōu)勢(shì)

1. 有利于激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

部分高中學(xué)生的空間想象能力較弱，在面對(duì)立體幾何題目時(shí)常常出現(xiàn)“看不到、沒(méi)得想、畫(huà)不出、解不出”的困惑，并且隨著所學(xué)知識(shí)的繁雜以及時(shí)間的推移，對(duì)空間立體幾何的學(xué)習(xí)逐漸失去了信心. 而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)對(duì)于學(xué)生而言具有天然的親近感，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生一步一步地思考，還可以將一些難以理解的內(nèi)容通過(guò)現(xiàn)代信息技術(shù)轉(zhuǎn)化為直觀的動(dòng)態(tài)感性材料，從而有利于構(gòu)建出較為輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境. 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問(wèn)題”時(shí)，教師可以利用GeoGebra設(shè)置粗細(xì)顯示的線條、豐富多彩的顏色，有效展示數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的欲望［2］.

2. 有利于促進(jìn)核心素養(yǎng)的形成

GeoGebra開(kāi)源免費(fèi)，操作簡(jiǎn)單，功能多樣，動(dòng)態(tài)交互性較強(qiáng)，可以將靜態(tài)化為動(dòng)態(tài)，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)與圖像的同步變化；同時(shí)，GeoGebra網(wǎng)絡(luò)資源豐富，擁有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算能力，可以促使學(xué)生全程參與數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，有效培養(yǎng)學(xué)生的抽象和直觀想象素養(yǎng). 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問(wèn)題”時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)僅僅通過(guò)空間圖形的方式展示異面直線所構(gòu)建的角，而將GeoGebra應(yīng)用到“異面直線所成角有關(guān)的問(wèn)題”的解決過(guò)程中去，可以促使學(xué)生很自然地觀察到異面直線所構(gòu)建的角，切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

3. 有利于提升課堂教學(xué)效率

傳統(tǒng)的立體幾何教學(xué)展示實(shí)物、繪制圖形都需要花費(fèi)大量的時(shí)間，并且課堂教學(xué)效果并不理想，而基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)，可以為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供一般思路，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的解題經(jīng)驗(yàn)，嘗試將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為熟悉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解決，并且由于GeoGebra可視化的效果，可以降低學(xué)生的探究難度，有效突破學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙. 例如，在求解“異面直線所成角有關(guān)的問(wèn)題”時(shí)，學(xué)生可以應(yīng)用波利亞解題思想，調(diào)整GeoGebra參數(shù)，開(kāi)展嘗試性的試誤學(xué)習(xí)；還可以為學(xué)生提供動(dòng)手試一試的機(jī)會(huì)，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)更具有“現(xiàn)場(chǎng)感”.

基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)策略

波利亞解題思想主要體現(xiàn)在波利亞解題表的設(shè)計(jì)上，在高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)中主要從以下幾個(gè)方面實(shí)施.

1. 理解題意

根據(jù)新課標(biāo)對(duì)立體幾何的要求以及高中立體幾何題目的特性，理解立體幾何題目就是將題目中的文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，畫(huà)出原始的幾何圖形，在此基礎(chǔ)上明確題目中的條件、已知量和未知量，并將題目定位到相應(yīng)的知識(shí)模塊之中，最大限度地遷移解題過(guò)程中可能會(huì)應(yīng)用到的相關(guān)定理和方法.

其次，以“你有些什么”為主題引導(dǎo)學(xué)生在圖形中增加3個(gè)表示長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高AA1，AB，BC的點(diǎn)X，Y，Z，目的是將未知量S與已知量X，Y，Z能聯(lián)系起來(lái)，如圖2所示.

2. 擬訂方案

要解決高中立體幾何問(wèn)題離不開(kāi)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和已有經(jīng)驗(yàn)，理解題意后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在相應(yīng)的題庫(kù)中檢索到類(lèi)似的題目，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)模型去解題. 但在具體實(shí)踐中，學(xué)生在相應(yīng)的題庫(kù)中有時(shí)檢索不到類(lèi)似的題目，此時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想去解題. 若上述兩種情況都不能滿足，教師可以利用解題經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生較熟悉的模型去解題.

仍以上述題目為例，當(dāng)學(xué)生理解題意后，教師應(yīng)及時(shí)通過(guò)“如何才能求得S”這一問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生將其及時(shí)轉(zhuǎn)化為求解共面的兩條直線的余弦值，從而應(yīng)用余弦定理求解獲得S.

其中，a可以利用長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高求得，b可以利用長(zhǎng)方體的寬、高求得，c可以利用長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、高求得. 然后應(yīng)用線段將OX，OY，OZ，PY，PZ，QX，QZ連接起來(lái)，如圖6所示，從而將X，Y，Z與S建立起聯(lián)系.

3. 執(zhí)行計(jì)劃

顧名思義，執(zhí)行計(jì)劃就是將上述思維分析過(guò)程綜合起來(lái)，在擬訂方案的指導(dǎo)下，規(guī)范地應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言將所學(xué)知識(shí)、思想方法、數(shù)學(xué)原理等付諸實(shí)踐的過(guò)程［3］.

4. 回顧

回顧即檢驗(yàn)、總結(jié)和思考，一方面教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證所求結(jié)果的正確性，另一方面也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考在具體問(wèn)題求解過(guò)程中遇到了哪些障礙和困難，當(dāng)面對(duì)這些障礙和困難時(shí)是如何解決的，是否還會(huì)有其他更加便捷的解題方法，更重要的是教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)題目中的關(guān)鍵信息和題目的相關(guān)特征，以便學(xué)生遇到類(lèi)似問(wèn)題時(shí)能夠及時(shí)通過(guò)遷移等方式做到觸類(lèi)旁通、舉一反三.

仍以上述題目為例，首先，教師應(yīng)及時(shí)通過(guò)主題“你從本題中學(xué)到了什么”要求學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，即為了獲得S，我們需要求解O，P，Q，進(jìn)而需要用到X，Y，Z，從而在結(jié)論和已知條件之間建立起聯(lián)系. 其次，教師還應(yīng)通過(guò)主題“你是否還有其他求解方式”要求學(xué)生拓展思維，聯(lián)系已學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，用多種方法解決異面直線所成角問(wèn)題，如通過(guò)向量法求解. 最后，教師還應(yīng)及時(shí)組織學(xué)生總結(jié)該題目所應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想和滲透的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，基于波利亞解題思想的高中立體幾何GeoGebra可視化教學(xué)不僅能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，還可以為高中立體幾何問(wèn)題的解答提供一般性的思路［4］，幫助學(xué)生探索到立體幾何的本質(zhì)，并在自我提問(wèn)、自我反思、自我總結(jié)的過(guò)程中有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 楊璐.基于波利亞解題思想的GeoGebra工具下高考立體幾何題的案例分析［D］. 寧夏師范學(xué)院，2021.

［2］? 肖志軍. 探究中深入，拓展中升華——GeoGebra支持下一道圓錐曲線試題的探究［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（12）：96-98.

［3］? 周躍佳. 運(yùn)用GeoGebra探索解析幾何本質(zhì)，編制直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（33）：74-76.

［4］? 朱釗. GeoGebra軟件在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（30）：50-53+66.

作者簡(jiǎn)介：陳志遠(yuǎn)（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.