在“通”與“聯”中洞見一致性
——以“小數四則運算的再認識”為例

江蘇省蘇州市教育科學研究院 劉曉萍

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學新課標”）把“數的認識”和“數的運算”統整為“數與運算”，這顯然不是形式上的變化，也不是兩個數學詞語的簡單合并。教師作為課程的具體實施者，要思考：為什么要做這樣的統整？整合之后，教學中如何體現合并的價值，從而發揮整體大于部分之和的教育哲學呢？如何在使用現行教材的同時，更好、更快地對接新標準的理念與變化？施惠芳老師在2022年6月的蘇教版小學數學教材研討會上執教了“小數四則運算的再認識”一課，試圖做出一種可能的應答，獲得了全國同行的好評。

就這節課的流程，筆者先做一個簡要的交代：第一環節，出示加減乘除各一個情境，學生在列式中復習小數四則運算的意義，這是舊知。第二環節，溝通加減乘除四則運算的聯系，在復習中發現不同的運算存在著關聯。第三環節，列豎式求出剛剛4道題的結果，復習算法。第四環節，感悟不同的算法存在一致性，即都是算相同的計數單位的個數。接下來，筆者分別從觀察者、學習者、研究者三個視角，予以課堂解碼，并展開討論前述的三個問題。

一、觀察者視角：教師教了什么

很多時候，我們認為數是數，算是算，甚至更細化，整數是整數，小數是小數，整數的運算歸整數的運算，小數的運算歸小數的運算，這樣使得學生在學習數學的時候，認為數學有好多不一樣的種類，對于每一類的學習都是重新開始。于是產生了一些副作用，比如，學生覺得數學是各種套路，數學是記憶不同的規則，甚至感覺數學不科學。

“設計結構化特征的課程內容”作為新課標核心素養課程目標落地的重要手段，提出了從學科本質和學生學習視角對相關學習主題進行統整的相關要求，如數的認識與數的運算的整合，體現了二者之間的學科本質、實質關聯，彰顯了課程內容的整體性與一致性。

學完小數的四則運算之后，安排“小數四則運算的再認識”一課，有更高遠的教學追求。首先，通過“再認識”，從整體上幫助學生理解和掌握小數四則運算的算理與算法，感悟曾經學習的小數和整數是一致的。它們的一致源于都是十進制計數法則之下的數；小數和整數的運算是一致的，它們的一致源于都是算相同計數單位個數的運算；四則運算是一致的，它們的一致源于加減乘除之間存在代數關系的關聯，如減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，乘法是加法運算在某種程度上的簡便計算。學生看到了數和運算是一致的，它們的一致源于數是數出來的，運算實現了快速地數。

正是讓學生感悟并通透了數的意義、算理、算法等的一致性，而使學生對課程內容的整體性有所體悟。算法依賴于上位的算理，算理基于更上位的數與運算的意義。學生經歷這樣的思維體驗，就能形成心理上的知識壓縮，以后再學習“數與運算”主題下的其他內容，就變成了解壓縮的過程。如接下來的分數的意義、分數四則運算，也就是計算相同的分數單位，而且通過計算相同的分數單位，學生又進一步理解分數也是數出來的，整數、小數數的是計數單位，分數數的是分數單位。

概括起來，“小數四則運算的再認識”一課，就是教了伴隨學生“數與運算”的學習進程中，需要不斷感悟的幾個核心概念，如計數單位、位值制、十進制等。當然，這幾個核心概念反映了“數與運算”這一主題的學科本質，在對學科本質進行理解的思維進階中，相關數學核心素養統領之下的“數感”“符號意識”“推理意識”“運算能力”等具體表現也得到了進一步的發展，進而學生“通過學習數學”走向了“通過數學學會學習”。

二、學習者視角：學習是如何發生的

教的思考，其落腳點必然是為了學生學習的真實發生。通過“小數四則運算的再認識”一課，學生的數學現實是會依據算法計算小數、整數加減乘除的豎式計算，能依據加減乘除的意義列出算式，但是對“四則運算是有關聯的”觸及不深，對四則運算方法的一致性缺乏思考。或者說，用Solo分類理論評價學生的過往學習結果，大多是單點結構或者多點結構，尚未達到關聯結構水平。

教學“小數四則運算的再認識”一課時，教師需要基于數學現實，提出問題：“小數四則運算可以按照整數四則運算的法則來計算，為什么？小數四則運算要處理好小數點的問題，處理的方法為什么不同？不同的運算處理小數點的方法各不相同，這背后又有什么道理？”學生以為自己懂了四則計算，經此提問，學生被逼回到了近乎“無知”的狀態。教師通過心理的失衡，讓學生豁然開朗：原來，無論整數還是小數相加、減，只有計數單位相同，才能相加減；計數單位不變，計數單位的個數相加減，才能保證計算結果的正確性。如圖1，學生透過小數點的位置，深入計數單位的本質。

用計數單位統領小數乘除法運算，對學生來說，是學習的難點。“小數點是怎么處理的？為什么不像小數加減法那樣對齊小數點了？”這又是教師設計的另一個核心任務，教師引導學生在直觀操作中，從幾何直觀走向邏輯推理，即從方格圖中的直觀走向利用運算律、運算性質的推理，并最終概括出運算法則：單位乘單位得到新的單位（見圖2），計數單位的個數乘個數，得到新的個數。積的小數點位置是由積的計數單位決定的，要想處理好積的小數點，關鍵還是要解決計數單位是什么、計數單位的個數是多少的問題。

學習小數除法時，教師以“自主舉例研究小數除法與整數除法的聯系，與小組同學交流你的想法”作為學習任務，學生在交流與辨析中進行推理，并發現了關于商的計數單位以及計數單位的個數的關系（如圖3）：單位÷單位=新的單位；個數÷個數=新的個數。

當教師引導學生對全課的學習再次做梳理與回顧時，核心問題“小數四則運算為什么都能當作整數來算呢？為什么四種運算處理小數點的方法不同？”便徹底地得以理解和解決：處理小數點不同方法的背后的道理是一致的，關鍵是計數單位。小數四則運算與整數四則運算的意義、算理、算法都是一致的，抓住計數單位這個核心去思考才是關鍵。學生帶著這樣的“已知”去探索今后的“未知”，一定會有自己新的發現的。

通觀全課，課堂力圖通過將核心問題轉化為核心任務，通過幾何直觀和邏輯推理，幫助學生理解小數四則運算的算理、探究算法，并讓學生深入思考。更重要的是，學生在內容與方法的一致性中，發現了可以在做多道題的基礎上，去尋找不同題目之間是否存在關聯、是否存在相同的原理，一旦學生學會了用數學思維去思考現實世界，找到核心、抓住本質、厘清關系，就可以舉一反三、融會貫通，把復雜的數學學簡單。這樣，學生不但能樹立學好數學的信心，還能感受到數學的理性精神，感受到數學中承載的思想。

三、研究者視角：為什么這樣教是一種好的方式

新課標指出，數的運算教學應注重對整數、小數和分數四則運算的統籌，從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認識計算方法的共性與差異。

而幾乎所有的學習理論都發現：學生在學習新知識時，一般都是從他原有的思維結構出發，以“舊知”來解釋“新知”。施老師深諳該理論，通過開放性，或者說開放的結構讓更多的知識點產生了聯系。

本節課的板書（見圖4）也指向關于運算內容的整體建構。無論小數，還是整數四則運算，都以“計數單位”作為統領，從數的意義出發，圍繞運算的意義、算理和算法三個方面展開研究，進而完成對某種數及其運算的整體認知與建構。

總之，“小數四則運算的再認識”一課，教師從數與運算的整體出發，以一致性幫助學生重新審視過往“數與運算”的學習，從而建立了更好的數學結構。由此，啟示數學教學要在不同的內容中讓學生看見相同的數學故事，這樣在“不同”與“同”的辨析中，也就看到了學生的真學習，即有獨立思考、有合作探索的學習，在思維進階中享受智力自由。總的來說，一如“小數四則運算的再認識”一課，數學課堂要教學生怎么從數學的角度去思考、去做事，而這也正是素養導向，正是數學育人。