用教材教：跨學(xué)科融合的數(shù)學(xué)教學(xué)

摘 要】 以高中數(shù)學(xué)教材中跨學(xué)科素材為載體，以跨學(xué)科思維打破高中數(shù)學(xué)與各學(xué)科的學(xué)科壁壘，進(jìn)行情境化、用數(shù)學(xué)、項目化等方式的教學(xué)組織，讓數(shù)學(xué)教學(xué)真正實現(xiàn)學(xué)科交融和跨界，讓跨學(xué)科教學(xué)真正利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐能力.

【關(guān)鍵詞】 教材；跨學(xué)科融合；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)課程改革的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有整合性、綜合性和交融性，這就需要在數(shù)學(xué)課程設(shè)計和教學(xué)組織中克服封閉性、碎片化的傾向，適時地進(jìn)行跨學(xué)科教學(xué). 數(shù)學(xué)具有方法的普適性、文化的豐富性、應(yīng)用的廣泛性及理性思維的獨(dú)特性，使得任何學(xué)科領(lǐng)域都與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系. 因此，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的教學(xué)融合既是新時代賦予的，也是由數(shù)學(xué)的本質(zhì)決定的.

研究發(fā)現(xiàn)，2019年各版高中數(shù)學(xué)教材中存在大量的跨學(xué)科素材，它們分布在章引言、節(jié)首的問題情境、章（節(jié)）末的閱讀材料以及例題、習(xí)題等欄目中. 整體而言，這些跨學(xué)科素材可分為兩大類：一類是以其他學(xué)科知識為載體創(chuàng)設(shè)科學(xué)情境，為數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)提供認(rèn)知背景；另一類是以數(shù)學(xué)知識為主導(dǎo)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決其他學(xué)科的問題，或運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光和思維去理解其他學(xué)科的奧秘. 這便為用教材進(jìn)行跨學(xué)科的教學(xué)組織提供了可實施的嘗試，下文具體談?wù)?

1 “情境化”跨學(xué)科教學(xué)組織，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問題的有效互動中得到提升. 情境和問題是多樣化的，包括現(xiàn)實的、數(shù)學(xué)的、科學(xué)的. 教學(xué)組織時，可結(jié)合教學(xué)任務(wù)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，引導(dǎo)學(xué)生對情境中的現(xiàn)象或結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的完整過程，同時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想、歸納、概括、演算、推理、論證等思維活動，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

案例1 平面向量教學(xué)中運(yùn)用物理情境進(jìn)行整體的數(shù)學(xué)抽象.

蘇教版教材將“斜面上的木塊”這一物理模型作為貫穿整個向量單元的大情境，充分體現(xiàn)了“向量來源力學(xué)”的歷史事實，在“向量的概念”“向量運(yùn)算”“向量基本定理及坐標(biāo)表示”等課時的教學(xué)組織時可以以“木塊”作為統(tǒng)一的教學(xué)情境. 這樣處理的目的是選擇學(xué)生已學(xué)的典型模型，讓他們在一以貫之的科學(xué)情境中經(jīng)歷不同對象（運(yùn)算）的抽象過程，這是連貫的、統(tǒng)一的、完整的抽象活動，能幫助學(xué)生在概念建構(gòu)中學(xué)會數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而理解和掌握數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”.

案例2 “對數(shù)的概念”教學(xué)中創(chuàng)設(shè)跨學(xué)科情境，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

人教B版必修第二冊第4.2節(jié)的節(jié)首情境：

地震的里氏震級是根據(jù)最大振幅計算出來的. 2008年5月12日，我國四川汶川發(fā)生了地震，速報震級為里氏7.8級，修訂后的震級為里氏8.0級. 震級相差0.2，最大振幅之間具有什么關(guān)系？

化學(xué)學(xué)科中，我們用pH表示溶液的酸堿性，pH是由c（H）（即溶液中H）決定的. pH=7和pH=8的兩種溶液，它們的c（H）有什么關(guān)系？

以地理中的地震震級、化學(xué)中pH值計算作為問題情境，旨在引導(dǎo)學(xué)生思考這些跨學(xué)科問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì). 在進(jìn)行教學(xué)組織時，可以選其一作為問題情境，也可以兩者同時呈現(xiàn). 比如，以地震震級創(chuàng)設(shè)情境，首先，適當(dāng)介紹地震學(xué)家里克特的研究經(jīng)歷及里氏震級，再呈現(xiàn)地震釋放出來的能量與地震里氏震級關(guān)系的表格，讓學(xué)生對表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、歸納與猜想，并借助信息技術(shù)對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，作出散點(diǎn)圖，讓學(xué)生在直觀想象中“確認(rèn)”自己的猜想，完成數(shù)學(xué)模型的建立，理性建構(gòu)對數(shù)的概念. 在這樣的教學(xué)組織中，經(jīng)歷了以跨學(xué)科素材為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)建模過程，同時還發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，更重要的是學(xué)生經(jīng)歷了科學(xué)研究的一般過程（現(xiàn)象—問題—猜想—驗證—推理—應(yīng)用）. 當(dāng)然，在情境化跨學(xué)科教學(xué)組織時，我們可以靈活處理教材中的跨學(xué)科素材，例如：

案例3 在“基本不等式”教學(xué)時，可將人教A版必修第一冊習(xí)題2.2的第7題作為問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷科學(xué)研究的完整過程.

一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客. 你認(rèn)為顧客購得的黃金是小于10g，等于10g，還是大于10g？為什么？

該情境貼近生活又富有趣味，從學(xué)習(xí)心理上容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的熱情. 要解決這一問題，需要運(yùn)用物理中的杠桿原理找到學(xué)習(xí)對象（設(shè)兩次稱得的黃金質(zhì)量分別為ag，bg，由杠桿原理可得ab=25，問題實質(zhì)是在此條件下比較a+b與10的大小）. 接下來，可先借助信息技術(shù)手段進(jìn)行數(shù)值的驗證，為學(xué)生創(chuàng)建猜想的機(jī)會，然后再引導(dǎo)他們進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬚撟C. 這樣的認(rèn)知過程體現(xiàn)了知識生成與發(fā)展的完整過程，也是科學(xué)研究的一般過程，利于學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

2 “用數(shù)學(xué)”跨學(xué)科教學(xué)組織，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識新課標(biāo)明確指出：“引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界（簡稱“三會”）”. “三會”集中凝練了數(shù)學(xué)學(xué)科育人的三個重要特征：數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)，這些行為表現(xiàn)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模、運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力的體現(xiàn).

2.1 用數(shù)學(xué)的眼光觀察其他學(xué)科現(xiàn)象

胡晉賓認(rèn)為數(shù)學(xué)的眼光是在現(xiàn)實與數(shù)學(xué)之間進(jìn)行的思維切換，就是立足知識儲備，關(guān)涉活動經(jīng)驗，借助數(shù)學(xué)抽象和直觀想象，從現(xiàn)實案例“看到”數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從數(shù)學(xué)內(nèi)涵“想到”現(xiàn)實案例. 由此可見，用數(shù)學(xué)的眼光觀察并欣賞其他學(xué)科知識，不僅可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，還著重提升了學(xué)生的理性思維水平.

案例4 用數(shù)學(xué)的眼光欣賞音樂的奧秘.

2.3 用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)其他學(xué)科概念

數(shù)學(xué)語言分為文字語言、符號語言和圖形語言，數(shù)學(xué)語言具有科學(xué)性、簡潔性和通用性等特點(diǎn)，教學(xué)組織時可以運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表征其他學(xué)科中難以理解的概念或?qū)ο?

案例6 一道課本題中地理概念的數(shù)學(xué)理解.

（人教A版必修第一冊復(fù)習(xí)參考題5第27題）在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點(diǎn)的緯度隨時間周而復(fù)始不斷變化. 如圖3，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點(diǎn)的緯度，φ為當(dāng)?shù)氐木暥戎担敲催@三個量滿足θ=90°－|φ－δ|. 某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點(diǎn)逐漸北移的時間）為初始時間，統(tǒng)計了連續(xù)400天太陽直射點(diǎn)的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負(fù)值）. 下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當(dāng)?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：

請根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格（計算結(jié)果精確到0.000 1）；

（1）設(shè)第x天時太陽直射點(diǎn)的緯度平均值為y．該科技小組通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，推斷y與x近似滿足函數(shù)y=Asinωx，其中A為北回歸線的緯度值，約為23.439 2911，試?yán)帽碇械臄?shù)據(jù)，估計ω的值（精確到10）；

（2）定義從某年春分到次年春分所經(jīng)歷的時間為一個回歸年，求一個回歸年對應(yīng)的天數(shù)（精確到0.000 1）；

（3）利用（2）的結(jié)果，估計每400年中，應(yīng)設(shè)定多少個閏年，可使這400年與400個回歸年所含的天數(shù)最為接近（精確到1）.

這段文字中涉及了緯度、正午太陽高度角等多個地理名詞，這些概念本身就是地理學(xué)科中難以理解的概念，可以借助數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征.地理中的“緯度”可以用幾何圖形（如圖4）來理解，由圖可知赤道上每點(diǎn)的緯度為0°，極點(diǎn)緯度則為90°；還可以用集合的語言來表征“緯線”，緯線是指緯度相同的點(diǎn)的集合，從形上看即同一緯度的點(diǎn)落在同一大圓上.

關(guān)于“正午太陽角”，同樣可以采用幾何圖形加以理解. 借助圖形（如圖5）理解某地正午太陽高度角為θ=90°－|φ－δ|，φ表示該地的緯度，δ表示太陽直射點(diǎn)的緯度. 從數(shù)學(xué)運(yùn)算上理解，當(dāng)緯度差|φ－δ|越小，該地的正午太陽高度角越大，反之越小；從函數(shù)的視角上理解，當(dāng)固定太陽直射點(diǎn)時，該表達(dá)式是θ關(guān)于φ的函數(shù)，它可以反映正午太陽高度的緯度分布規(guī)律；當(dāng)固定某地時，則該表達(dá)式是θ關(guān)于δ的函數(shù)，它可以反映正午太陽高度的季節(jié)分布規(guī)律. 可見，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言輔助理解更容易促進(jìn)學(xué)生對概念的理解與掌握.

3 “項目化”跨學(xué)科教學(xué)組織，培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐能力

面向未來的學(xué)習(xí)應(yīng)該是突出綜合性、實踐性和混合型的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的視角應(yīng)該多元化、綜合化. 因此，組織學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科內(nèi)容的項目化活動是培養(yǎng)學(xué)生綜合實踐能力的必要之舉. 我們可以將教材中的素材設(shè)計成項目化活動，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用各學(xué)科知識、各種工具、資源，以小組合作探究的方式進(jìn)行研究性學(xué)習(xí).

案例7 測量建筑物高度的項目化活動.

（人教A版必修第二冊54頁第23題）根據(jù)實際需要，利用本節(jié)所學(xué)的知識完成一次有關(guān)測量的實習(xí)作業(yè)，并寫實習(xí)報告（包括測量問題、測量工具、測得數(shù)據(jù)和計算過程及結(jié)論）.

為了活動的有序開展，指導(dǎo)建議學(xué)生按下面流程進(jìn)行：

●成立項目小組，確定工作目標(biāo)，準(zhǔn)備測量工具；

●小組成員查詢資料，進(jìn)行討論交流，尋求科學(xué)有效的測量方法，設(shè)計測量方案；

●分工合作，明確責(zé)任，比如，測量、記錄數(shù)據(jù)、計算求解、撰寫報告的分工等；

●撰寫報告，討論交流，展示成果.

在這一項目化活動中，所有學(xué)生充分發(fā)揮了自己的聰明才智. 如在測量工具的設(shè)計上，學(xué)生設(shè)計如圖6所示的“瓶筷器”（一個盛有水的礦泉水瓶+一根筷子），其中礦泉水瓶起水平尺的作用，筷子起鉛垂線的作用，這是物理學(xué)科測量方法的實際應(yīng)用. 學(xué)生的測量方案也在不斷地調(diào)整，如一開始的測量方案1：A同學(xué)將“瓶筷器”與眼睛處于同一水平線上，B同學(xué)幫助觀察水瓶中的液面是否與瓶底平行以確定整個裝置是否水平，C同學(xué)測量眼睛到裝置末端的距離，記錄下數(shù)據(jù)，并向前走2米（用卷尺測量），再次進(jìn)行上述操作（如圖7）.

而實際數(shù)據(jù)是每樓層高度2.9×6+車庫高度2.47+頂部裝飾物高度0.8≈20.6米.

由于誤差較大，將測量方案調(diào)整成方案2：如圖8，A同學(xué)蹲在地上，B同學(xué)站立前方并將一根長棒豎立在地面上，調(diào)整棒的高度直至與A同學(xué)眼中棒的手握處（視為M點(diǎn)）與房頂（視為N點(diǎn)）重合，C同學(xué)測量A同學(xué)眼睛到地面距離、A和B兩位同學(xué)間的距離及手握處距離地面的高度，再測量B同學(xué)到樓底的距離（通過兩者之間磚頭的塊數(shù)和每塊磚的長度來估算）.

學(xué)生還要進(jìn)行研究反思：第一次測量時由于裝置簡陋及場地地面不平，計算出來的結(jié)果誤差較大；第二次幾乎沒有太大誤差（在0.1米—0.2米內(nèi)），但測量者到樓底的距離的操作性不強(qiáng)，若所測物與測量者之間有障礙物（如河流等）則難以完成.測量的過程還是略顯艱辛，由于之前沒有動手實踐過，在使用卷尺時不易很好地固定卷尺的長度.發(fā)現(xiàn)問題后還可以改進(jìn)裝置，如圖9、10所示.

很明顯，在項目化活動中學(xué)生獲得了更加真實的知識體驗，不但有團(tuán)隊合作的探討交流，還有面對困難時的共同應(yīng)對，更有對測量數(shù)據(jù)的誤差分析，以及綜合運(yùn)用各學(xué)科知識（數(shù)學(xué)、物理、勞技等）進(jìn)行動手操作、分工協(xié)作、評估數(shù)據(jù)等，在項目化任務(wù)驅(qū)動中獲得了高階認(rèn)知思維，這些都能促進(jìn)他們對知識形成真實、立體、深刻的理解，培養(yǎng)了綜合實踐的能力.

最后，值得說明的是，由于各版教材中的跨學(xué)科素材還存在層次不明、深度不夠等問題，加之一線教師對其他學(xué)科的知識理解亦不深刻，在教學(xué)組織時只停留在簡單借用其他學(xué)科知識作為情境引入，甚至直接忽略跨學(xué)科素材，使得跨學(xué)科的教學(xué)組織只是流于形式．因此，數(shù)學(xué)教師在處理教材中那些不熟悉的跨學(xué)科素材時，應(yīng)主動與其他學(xué)科的教師交流，探討不同學(xué)科的區(qū)別與聯(lián)系，以促進(jìn)不同學(xué)科的深度融合.另外，跨學(xué)科教學(xué)組織不能太功利化，應(yīng)擺脫“為高考教、為高考學(xué)”的觀念，有計劃、有組織地為學(xué)生提供跨學(xué)科學(xué)習(xí)的機(jī)會，組織學(xué)生以各種形式開展不同的跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷合作交流、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題等過程，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)．

參考文獻(xiàn)

［1］史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［2］丁益民. 2019版蘇教版教材“章首語”的內(nèi)涵解析［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020（07）：54-56.

［3］方元沁. 高中跨學(xué)科教學(xué)初探——以地理中的地震震級為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（10）：56-58.

［4］黃翔，王尚志，張思明，胡鳳娟. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)課程性質(zhì)與基本理念的新思考［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018（02）：22-26.

［5］胡晉賓，劉洪璐. 數(shù)學(xué)眼光的內(nèi)涵及培養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2021（02）：17-20.

［6］李敏. 高中跨學(xué)科能力整合提升策略研究——以地理和數(shù)學(xué)學(xué)科為例［J］. 中學(xué)地理教學(xué)參考，2018（02）：20-23.

［7］丁益民. 拓展作業(yè)：促進(jìn)知識理解的實踐途徑［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2022（04）：12-15.

［8］黃翔，童莉，史寧中. 談數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的跨學(xué)科思維［J］. 課程·教材·教法，2021（07）：106-111.

作者簡介 丁益民（1981—），男，江蘇姜堰人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法;江蘇省“333”高層次人才培養(yǎng)對象，江蘇省教科研先進(jìn)個人，曾兩次獲江蘇省基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎一等獎.