運用數形結合思想解決初中數學二次函數問題

■山東省濟南泉城中學 牛怡怡

初中生還沒有完成真正意義上的思維和認知發育，對外界信息的認知和理解尚未形成真正成熟的能力，不善于也不樂于學習一些抽象性較強的知識；然而，雖然在整體上并不具有很大的難度，但是由于課程屬性的影響，初中數學和同階段的其他課程相比仍具有抽象性成分比重偏大的特點——這一特征在二次函數這一模塊中體現得尤為明顯，這無疑給學生的學習帶來了一定的困難。為了有效調和這一客觀矛盾，初中數學教師應當更多地從學生的角度出發，根據初中生感性化、具象化的認知特點，在二次函數講解過程中積極踐行數形結合法的教學應用，使學生獲得更好的數學學習體驗，從而實現課程教學質量和效率的雙重提升。

一、彰顯函數元素對圖像信息的囊括表達

從本質上看，“數字”和“字母”本身就是人為創造出來的符號，它們對一些信息概念具有較強的囊括性表達效力，那么以之為基礎的二次函數也就可以看作是一種包含一定信息含義的表達載體。由于發育階段和社會閱歷的限制，絕大多數初中生都更喜歡也更容易理解一些借助具體形象來表示的信息，但是這種模式對信息的傳遞效率較低，不便于應用在講求學習速率的課堂教學環境中。對此，初中數學教師可以將“數字”和“字母”組合而成的二次函數表達式轉化為概括性的圖形信息，以此為依托引導學生實現信息接收、理解效率的提升，從而在更深層次上幫助學生完成思維模式的理性化、抽象化過渡，進而為之后的課程教學打下良好基礎。

例如，對“二次函數”這一堂二次函數系列起始課程的講解，教師可以用二次函數中存在的數字元素概括與之對應的不同的圖像信息的表達特征，讓學生形成有效記憶。譬如，可根據函數圖像中y和x的代入數值表現圖像中曲線的起始、終結端點（如果存在）和各自的極值點等。

二、彰顯圖像信息對函數元素的生動表達

雖然初中生理性化的數學思維培養是一項非常關鍵的工作，不過初中數學教師在具體教學中仍然要時刻以尊重初中生當前的理解層級和習慣為第一意識。和抽象性的二次函數表達式相比，二次函數圖像必然會給初中生帶來更直觀的形象記憶，因此對一些理解難度較大的二次函數課程知識，初中數學教師可以試著用具體的函數圖像代替函數表達式發揮信息展示和技能演示的作用，這樣既能進一步優化學生的二次函數學習體驗，又可以用這種全新的形式激發學生濃厚的二次函數學習興趣。

比如，在講解“確定二次函數的表達式”這一課的內容時，不少學生由于對目標材料中抽象數據信息的提煉或整合能力較差而無法準確理解、表述出有關的二次函數表達式。這時，教師不妨將抽象的題干數據具化為直觀的坐標元素，讓學生借助自己畫出來的坐標系肉眼直接確定幾個代入數據對應的x值或y值，同時借助手動描繪等方式在坐標系中構建出對應的函數圖像，繼而讓更具形象色彩的坐標和圖像成為學生在腦海中構建二次函數表達式中逐項要素認知框架的可靠依托。

三、完善對日常元素的應用

初中生對外界的認知大多以自己身邊的生活元素為路徑和對象，因此也就更容易對身邊的人、事、物形成良好的認知效果。初中數學教師要有效利用這一點，在二次函數教學中有意識地結合學生的生活經歷和理解能力，這也有助于激發學生的學習興趣，便于引導學生將身邊的事物和數學知識結合。教師從學生熟悉的日常元素中提煉出兼具二次函數應用和圖像表現屬性的成分，以之作為講解抽象的二次函數關聯知識的載體。這樣一來，學生首先能以更簡單的路徑達成理想的認知、吸收效果，其次還能充分感受到二次函數在生活中的巨大“存在感”，可謂是一舉兩得。

例如，在帶領學生學習“二次函數的應用”這一課時，教師可以首先用多媒體設備播放一些視頻給學生觀看，體現諸如橋梁構建、股票或匯率信息統計以及體育培訓等活動中對二次函數的應用，并可將這些視頻中表現出的“曲線”以可視化的形式標注出來，設計出對應的二次函數表達式。

四、優化對游戲教學的運用

初中生天生就是熱愛游戲的“游戲家”，據此，初中數學教師不妨結合數形結合的思想，根據學生的趣味取向和二次函數課程教學的具體需要，設計、組織一些富有參與感和趣味性的游戲活動，讓學生能“邊玩邊學”，實現寓教于樂，以樂促學，在游戲中自然而然地完成對知識內容的理解和吸收，并引導學生切身體會到“數形結合”教學法的收獲和快樂。

比如，在學生具備了一定的二次函數學習基礎和計算能力的情況下，教師可以和學生玩一場“看圖配式”的游戲：教師準備兩組幻燈片，一組中的每張幻燈片上分別畫著具有一定相似度的二次函數圖像，同時在另一組中則列出與上一組中表達式一一對應的二次函數表達式；而后教師將學生按照“強弱結合”的原則分成幾個小組，每組依次派出一名代表參賽；代表們在看到教師按照隨機順序給出的二次函數表達式和圖像的幻燈片后，要在最短時間內判斷其中是否存在相關的表達式和圖像并做出正確的“配對”，如果超時或者出現錯配、漏配的情況則要扣除本隊1分的積分，最后看哪一組的積分最高。此外，教師還可以通過提高幻燈片展示速度或者加入干擾信息等方式漸提高游戲的難度。這樣游戲式的教學大大提高了學生的主觀能動性，對學生深度學習非常有幫助。

五、擴充學生思考、解決問題的維度

以例題為載體進行數學應用訓練是數學課堂教學的必有環節。例題是對學生學習情況的驗收，也是教師進行有效評價的依據，有效的例題訓練可以提高學生解決問題的能力，也可以以此為依據查漏補缺。為了切實強化學生的問題處理能力，初中數學教師要以數形結合為主要思路，引導學生進行二次函數信息搜集和知識資源整合，使學生從不同方向拆解題目。這一目標的實現首先需要學生具備扎實的二次函數學習基礎，而教師要做的是在學生具備這一基礎后幫助學生向“上”擴建二次函數知識思維框架，讓學生能快速而準確地做到函數、函數表達式與函數圖像信息表達的有機轉換，以此讓學生逐漸形成審題、解題方面的思維優勢。

比如，在進行關于“二次函數”這一部分內容的綜合練習時，教師可以在黑板上先寫出若干個隨機的二次函數表達式，而后通過設立如“頂點式”“一般式”“交點式”等不同類型的二次函數模塊引導學生選出符合標準的函數表達式，并分別將這些表達式寫進不同的模塊中。之后教師可以從上述標準中同時選擇兩個，再引導學生進行篩選，并用表達式對應的函數圖像中具體的圖像形象表示這些同時符合多項標準的表達式，以這樣的數形結合手段讓學生直觀地理解二次函數中表達式的種類以及種類和圖像之間的關系。

六、完善學生解答問題的方法角度

正如筆者在前文中提到的，初中數學的知識容量相當巨大，其中一部分課程知識的常見考查題型必然要用數形結合的模式才能有效解答，其中的一個典型代表就是二次函數。二次函數表達式的理解和設計要依靠函數圖形的必要輔助，否則學生只能通過主觀聯想在腦中“做圖”，這樣不僅耗時長而且非常容易出現錯誤。從這一角度看，數形結合的應用還可以成為一種具體的解題方法，幫助學生將抽象的知識內容和題干信息具象化為直觀的圖像，以便學生更迅速、準確地解答問題。所以，初中數學教師在講解一些特定題型時應當有意識地增強數形結合方法的存在感，同時引導學生形成利用這一方法思考、解答問題的主觀意識，以此讓學生真正意識到數形結合思想對提高個人成績所能發揮出的巨大作用。

比如，在講解“二次函數與一元二次方程”這一板塊的知識時，教師首先要完成對課程基本知識的串講，之后可通過一些例題帶領學生設計出相應的函數表達式和圖形，并進一步摸索二者之間的信息反映聯系，條件允許的話還可以借助幻燈片或短視頻表現表達式中各項元素的改變在圖形中的表現結果，以便學生在腦海中形成關于這兩種函數表達模式之間互相作用和體現形式的印象。

七、優化學生的學習成果應用方法

任何一門學科的教學均以培養學生的知識與技能應用素養為最終理想，數學中針對二次函數的教學自然也不會例外。初中數學教師要培養學生從題干中迅速捕捉關鍵信息的能力，并形成鮮明的數形結合解題思維。數形結合之所以能在初中二次函數方面具有較大的應用優勢，主要就在于它兼具信息處理的嚴謹性和直觀性。在實際教學的過程中，很多學生常常會接二連三地出現同一類型的問題，這其實就是知識記憶不牢固、技能應用不熟練的表現。初中數學教師要針對學生存在的具體知識短板，引入數形結合的指導思維，幫助學生實現二次函數方面的短板補齊。

八、利用數形結合方法完善知識框架構建

和數學學科中其他方面的內容相比，二次函數的知識點還是比較多的，而且知識內容之間的聯系也會隨著后續學習和考察要求的提升呈現出復雜化的趨勢，因此很多初中生的二次函數考察成績常常會隨著考察容量和層級的提升而下降。若要徹底扭轉這一不利局面，初中數學教師務必要專注于對學生二次函數知識模塊化體系的能動搭建，引導學生以知識模塊的多元聯動、考查思維和應用層級等為切入方面，進而形成一條以二次函數知識遞進成長為總體趨勢的邏輯鏈條。而若要保證這一項工作的順利開展，初中數學教師就必須重視起對思維導圖等圖形化知識脈絡載體的能動利用，從而引導學生借助二次函數知識信息之間的可視化關聯和共向考查應用形成清晰的主觀印象。

例如，在帶領學生進行“二次函數”這一章的綜合復習時，教師要打破以課時為基本單位的授課教學思路，而將本單元乃至整個初中所有數學教材中關于“二次函數”的直接、間接關聯知識點全部整理、提煉出來，并在每個知識點外畫一個圓作為區框，在區框和區框之間以線條連接，而這段線條就是每兩個區框間所存在的知識變量，如在“確定二次函數的表達式”和“二次函數的應用”之間，教師應當在線條上標注“建橋問題”，以此提示學生在進行二次函數應用題解答時應當借助“建橋”這一經典例題實現函數表達式的設計和目標數值的求取。

九、利用數形結合方法形成逆向思維素養

逆向思維是一種頗有實用效果的學習思維模式，它是指與常規思維路徑相反的思維模式。逆向思維的有效運用可以幫助學生獲得更多的解題渠道，也可讓學生的數學應用思路變得更多樣。逆向思維素養也是現代初中生亟需提升的一個方面，具體到數形結合的二次函數教學過程中，盡管初中生對圖形信息的感知更直接，然而某些二次函數中特定題型的解析思路卻更具備數字適配性。因此，初中數學教師在培養學生運用數形結合方法的能力時，也要有意識地引導學生嘗試“由形而數”的思維轉化，讓學生能通過這種“反其道而行之”的方式接觸新穎的解題思路，從而為學生二次函數解題能力以及數學綜合素養的優化注入更多的靈感。

比如，同樣是對“二次函數的應用”這一部分的教學講解，教師可以在完成傳統的“以數思形”的教學后，引導一些尚未取得理想解題效果的學生嘗試“以形推數”的新思路，如在“通過觀察排球在空中的運動曲線，利用題目中給出的數據信息計算出排球的預期落點”這類題目中，教師可以讓學生試著將自己在圖示中看到的排球運動軌跡以及題干中對應的數據分別標注出來，而后根據二次函數的基本表達原則進行數值代入和表達式的推導，通過這種方式逆推出當y值為“0”時x的數值——即排球的落點。

除了以上幾方面主要的策略以外，初中數學教師還可將環境教育的思維引入二次函數模塊的數形結合教學工作中，在教室等學生經常活動的場合環境中加入一些二次函數“圖形結合”元素，如一些經典例題中的二次函數表達式和對應的圖形，或者將這些內容以擬人化的卡通角色貼畫粘貼在教室墻壁上，從而讓學生在主觀意識上不斷增強熟悉感，進一步促進學生以“數形結合”思維理解、運用二次函數的學習發展。

十、結語

數學絕不是一門枯燥、深奧的學科，它的學習是具有多種形式和方法的，教師理應讓學生體會到輕松和快樂。初中數學教師要真正認識并努力踐行這一點，在二次函數教學中加大對數形結合法的研究和應用力度，圍繞多元主題和復合型思路制定、應用具體的教學策略，讓學生以更簡便、直觀、有效的方式學會二次函數、用好二次函數，從而為他們將來的數學學習和課程核心素養的穩步成長打下堅實的基礎。