同構法巧解圓錐曲線的雙切線問題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

過圓錐曲線外的一點可作兩條圓錐曲線的切線，一般把此類涉及圓錐曲線的兩條切線問題稱之為圓錐曲線的雙切線問題.這類問題一般涉及到雙切線、雙切點、雙斜率等有關量，求解過程中的處理方法技巧性較強，對運算能力要求較高，是圓錐曲線的一個熱點和難點問題.

本文通過典型例題賞析圓錐曲線雙切線問題的優化解法——同構法，它在解決圓錐曲線雙切線問題中常能達到化繁為簡、舉重若輕的效果.

1 兩種解法比較

示例(2021年全國統一適應性考試(八省聯考)第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C，直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

解法1 (一般解法)因為A(2,2)在拋物線y2=2px上，故22=2p×2，即p=1，拋物線方程為y2=2x.

設過點A(2,2)與圓(x-2)2+y2=1相切的直線的方程為y-2=kx-2，即kx-y+2-2k=0.

則圓心2,0到切線的距離

圖1

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.故選B.

化簡,得2px-(yA+yB)y+yAyB=0.

同理直線AC的方程為2px-(yA+yC)y+yAyC=0，直線BC的方程為2px-(yB+yC)y+yByC=0.

又因A(2,2)，易得p=1，即得直線AB的方程為2x-(2+yB)y+2yB=0.

因為直線AB與圓(x-2)2+y2=1相切，

故選B.

解法3(同構解法)由解法2，可知點B,C的縱坐標yB,yC滿足方程3y2+12y+8=0，考慮到點B,C的縱坐標yB,yC均滿足y2=2x，從而可得6x+12y+8=0.

即3x+6y+4=0.

因為兩點確定一條直線，所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.故選B.

評注(1)示例的解法1容易想到，但運算量較大，費時耗力，容易算錯，解法2與解法3的同構法中代數變形較為簡單，整體替換、設而不求，運算量較少，解題過程更為簡潔.

(2)同構式是指除了變量不同，結構與形式都相同的代數式.同構化的解題思想在高中數學中有著重要的地位，在圓錐曲線中也應用廣泛.一般來說，同構法解答圓錐曲線雙切線問題的步驟如下：

①過曲線外一點(x0,y0)設曲線的切線方程為y=k(x-x0)+y0；

②聯立切線與曲線方程消元，得Δ=0或圓心到切線的距離d=r(圓的切線)；

③將Δ=0(或d=r)整理成以k為主元的二次方程，則k1,k2為方程的兩個根(同構思想)；

④由韋達定理得k1+k2,k1k2；

⑤根據題目條件進一步求解.

2 同構法在圓錐曲線雙切線問題中的應用

解析當過點P的兩條切線一條斜率不存在，另一條斜率為零時，這樣的點P有四個，分別是(a,b),(-a,b),(a,-b),(-a,-b)，顯然這四個點都在圓x2+y2=a2+b2上.

當切線PA,PB的斜率均存在時，設過點P(x0,y0)與橢圓相切的方程為y=k(x-x0)+y0.

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因為直線與橢圓相切，所以Δ=0.

整理成關于k的方程

綜上，交點P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

例2 (2021年全國甲卷理20)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ.已知點M(2,0)，且圓M與l相切.

(1)求C，圓M的方程；

(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與圓M相切．判斷直線A2A3與圓M的位置關系，并說明理由.

解析(1)拋物線C的方程為y2=x，圓M的方程為(x-2)2+y2=1.

(2)若A1A3⊥x軸，且A1A3與圓M相切，則直線A1A3的方程為x=3.

當直線A1A2，A1A3均存在斜率時，設A1(a2,a)，A2(b2,b)，A3(c2,c),則直線A1A2的方程為

即x-(a+b)y+ab=0.

同理直線A1A3，A2A3的方程分別為

x-(a+c)y+ac=0，x-(b+c)y+bc=0.

因為直線A1A2，A1A3與圓M相切，于是

于是圓心M到直線A2A3的距離

故直線A2A3與圓M相切.

綜上，直線A2A3與圓M相切.

(1)求橢圓C的方程；

圖2

(2)如圖2，設R(x0,y0)是橢圓C上的一動點，由原點O向圓(x-x0)2+(y-y0)2=4引兩條切線，分別交橢圓C于點P,Q.若直線OP,OQ的斜率均存在，并分別記為k1,k2，求證：k1·k2為定值；

例4 (2011年浙江卷理21)已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

(1)求點M到拋物線C1的準線的距離；

(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點).過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A,B兩點，若過M,P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

整理,得

故有x0+x1=k1.即x1=k1-x0.

同理有x2=k2-x0.

圓錐曲線的雙切線問題往往需要具備較強的知識綜合性，較高的思維能力與運算能力，而同構法可以將此類問題統一處理，是一種通性解法，能降低思維強度，簡化推理證明過程，具有直觀、簡捷的特點.同構轉化的解題思想能發現數學的結構共性的意識,以及利用結構共性解題的思維導向，這正是高中數學新課標核心素養中不可或缺的重要內容.