解題反思下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離不開(kāi)解題，如何高效地解題決定了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的成敗，充分發(fā)揮解題后的總結(jié)與反思,深入挖掘題目所蘊(yùn)含的知識(shí)本質(zhì)、引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)中收獲更多的感悟,領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法,這樣才會(huì)獲得高效、扎實(shí)的復(fù)習(xí)效果.

1 反思解法

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可能有多個(gè)方法解決，多個(gè)視角思考可以培養(yǎng)思維的發(fā)散性，得出最簡(jiǎn)捷的解法.有些是通解通法，有些是巧解妙法，一定要反思對(duì)一類題型極具指導(dǎo)和啟發(fā)意義的通解通法，不僅要研究其解法更要探尋本質(zhì).

A.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2<0，y1+y2>0

B.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+y2<0

C.當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2<0，y1+y2<0

D.當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2>0，y1+y2>0

解法1在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，要想滿足條件，如圖1，作出點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C,則點(diǎn)C坐標(biāo)為(-x1,-y1).

圖1

由圖象知-x1y2.

即x1+x2>0,y1+y2<0.故選B.

則1=ax3+bx2(x≠0).

設(shè)F(x)=ax3+bx2，

則F′(x)=3ax2+2bx.

令F′(x)=3ax2+2bx=0，

要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，只需

整理,得4b3=27a2.

于是可取a=±2,b=3來(lái)研究:

故選B.

即-x1>x2>0.

即y1+y2>0.

圖2 圖3

同理由圖3經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)a<0時(shí)x1+x2>0,y1+y2<0.

故選B.

即三次方程ax3+bx2-1=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)是重根，不妨記為x1，則

因?yàn)閍≠0,所以x1x2≠0，x1+2x2=0.

即4b3=27a2.

所以當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>0，y1+y2<0.

以上四種方法從不同的角度都解出了這道題，反思這些解法，還能解決怎樣的問(wèn)題，解法的實(shí)質(zhì)是什么，能否推廣？

2 反思原理

反思解題過(guò)程中用到的基礎(chǔ)知識(shí)，注重知識(shí)的形成過(guò)程，尋找問(wèn)題與知識(shí)結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，探究巧妙轉(zhuǎn)化和靈活應(yīng)用，通過(guò)解題反思揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，升華解法的理解.

例2 已知在ΔABC中，A=60°，AC=6，BC=k，若△ABC有兩解，則正數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___.

因?yàn)?°

在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，邊a的對(duì)角為A，則三角形解的情形如下：

(1)A為銳角時(shí)，如圖4：

圖4

(2)A為直角時(shí)，如圖5；

圖5

(3)A為鈍角時(shí)，如圖6：

圖6

3 反思背景

高考中經(jīng)常出現(xiàn)濃厚數(shù)學(xué)背景的題，把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到不同情境中去,反思題目的背景，探究“源”，尋覓“流”， 多方位、全角度地延伸演變，充實(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)，開(kāi)拓?cái)?shù)學(xué)視野.

例3 (2018年新課標(biāo)Ⅲ卷)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°,則k=____.

解析依題意得，拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)，故可設(shè)直線AB:y=k(x-1).

k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4.

=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1

所以k=2.

這道題的背景是阿基米德三角形，復(fù)習(xí)中可以以高考題為載體，展開(kāi)阿基米德三角形簡(jiǎn)單性質(zhì)的探究.

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有如下常見(jiàn)結(jié)論：

如圖7，已知Q是拋物線x2=2py準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作拋物線的切線QA，QB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，Mx0,y0為AB中點(diǎn).

圖7

(1)若AB過(guò)焦點(diǎn)，則AB端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)Q在其準(zhǔn)線上；

(2)阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即xQ=xM；

(3)AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)；

(4) 若AB過(guò)焦點(diǎn)，則AQ⊥BQ；

(5)若AB過(guò)焦點(diǎn)F，則FQ⊥AB；

(6)若AB過(guò)焦點(diǎn)，則阿基米德三角形面積的最小值為p2．

根據(jù)結(jié)論5,很容易解決這個(gè)問(wèn)題，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，則FM⊥AB．

所以k·kFM=-1.

所以k=2.

4 反思變式

解完一道題后,反思解題方法中有無(wú)規(guī)律可循，提煉并總結(jié)出這一類題的解法.表象不同，但實(shí)質(zhì)卻相同，基于轉(zhuǎn)化策略，強(qiáng)化遷移能力，類比出一般情形下的解題方法.

解法1 (“1”的代換法) 由于a，b∈R+,2a+b=1，

解法2 (導(dǎo)數(shù)法)由于a，b∈R+,2a+b=1，則

本題解法很多，可以用“1”的代換法、基本不等式法、代入消元法、柯西不等式法、三角換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法等.要提高難度，只需進(jìn)行變式.比如將條件等價(jià)變形，清除原來(lái)的痕跡，或?qū)l件變換，使其看不清實(shí)質(zhì)條件，還可以改變?cè)O(shè)問(wèn)方式增加難度.

解法1(“1”的代換法) 圓x2+y2-4x-2y+1=0 的圓心為(2,1)，所以2a+b=1.

設(shè)2a+b=λ(2a+3b)+μ(3a+b)，

解法2 (導(dǎo)數(shù)法) 圓x2+y2-4x-2y+1=0 的圓心為(2,1)，所以2a+b=1.

由于a>0,b>0，