直線與圓的方程高考熱點賞析

廖永福

(福建省廈門市國貿協和雙語高級中學)

直線與圓的方程是解析幾何的基礎內容,在高考試題中主要以客觀題的形式出現,屬于中低檔題.考查熱點主要有求直線的方程、求圓的方程、判定直線與圓的位置關系、距離問題、弦長問題、對稱問題、最值問題和交會問題等.

1 求直線的方程

2 求圓的方程

本題主要考查圓的方程的求法,解題的關鍵是確定圓心和半徑,屬于基礎題.求圓的方程一般有兩種方法:一是幾何法,通過研究圓的性質求出圓的基本量;二是代數法,設出圓的方程,用待定系數法求解.

3 判定直線與圓的位置關系

例3 (2021 年新高考Ⅱ卷11,多選題)已知直線l:ax＋by－r2＝0與圓C:x2＋y2＝r2,點A(a,b),則下列說法正確的是( ).

A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切

B.若點A在圓C內,則直線l與圓C相離

C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離

D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切

分析 把點與圓、點與直線的位置關系轉化為a2＋b2與r2的大小關系,結合直線與圓位置關系的判定定理求解.

本題主要考查點與直線、點與圓以及直線與圓的位置關系的判定和性質,考查邏輯推理和數學運算能力,解題的關鍵是熟練掌握有關的性質和公式,屬于基礎題.

變式 (2016年山東卷文7)已知圓M:x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0 所得線段的長度是2 2,則圓M與圓N:(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是( ).

A.內切 B.相交

C.外切 D.相離

答案 B.

4 距離問題

例4 (2020年全國Ⅱ卷文8)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為( ).

分析 先根據條件設出圓的標準方程,求出圓心的坐標,再根據點到直線的距離公式求解.

解 由圓過點(2,1)且與兩坐標軸都相切,設圓心的坐標為(a,a)(a＞0),則圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2,所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2,整理得a2－6a＋5＝0,解得a＝1或5.

本題主要考查圓的方程的求法、直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式,考查邏輯推理和數學運算能力,解題的關鍵是根據條件設出圓的標準方程,屬于基礎題.

5 弦長問題

6 對稱問題

例6 (2022年新高考Ⅱ卷15)設點A(－2,3),B(0,a),若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓C:(x＋3)2＋(y＋2)2＝1 有公共點,則a的取值范圍為_________.

分析 先求出點A關于直線y＝a對稱的點A′的坐標,即可得到直線A′B的方程,再根據圓心到直線A′B的距離小于或等于半徑列出不等式,求解即可.

7 最值問題

例7 (2021年新高考Ⅰ卷11,多選題)已知點P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上,點A(4,0),B(0,2),則( ).

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當∠PBA最小時,|PB|＝3 2

D.當∠PBA最大時,|PB|＝3 2

分析 求出圓心到直線AB的距離,可得點P到直線AB的距離的取值范圍,可判斷選項A 和B的正誤;再由圖可知,當∠PBA最大或最小時,PB與圓M相切,利用勾股定理可判斷選項C和D 的正誤.

綜上,選ACD.

圖1

本題主要考查直線與圓的位置關系,這是與圓有關的最值問題,考查轉化思想與數形結合思想,解題的關鍵是掌握當∠PBA最大或最小時,PB與圓M的位置關系,屬于中檔題.一般地,若直線l與半徑為r的圓C相離,圓心C到直線l的距離為d,則圓C上的點P到直線l的距離的取值范圍是[d－r,d＋r].

變式 (2020年全國Ⅰ卷理11)已知圓M:x2＋y2－2x－2y－2＝0,直線l:2x＋y＋2＝0,P為l上的動點.過點P作圓M的切線PA,PB,切點分別為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為( ).

A.2x－y－1＝0

B.2x＋y－1＝0

C.2x－y＋1＝0 D.2x＋y＋1＝0

答案 D.

8 交會問題