強基計劃數(shù)學(xué)備考系列講座(10)
——圓錐曲線探究求解路徑

王慧興正高級教師 特級教師

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

1 知識與技能

1.1 要點全覽

表1

1.2 要點解析

1)定義

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中刪除了橢圓與雙曲線的準(zhǔn)線,這樣導(dǎo)致離心率就淪為一個比值,失去了其幾何意義,但高校強基校考堅持完整檢測圓錐曲線的焦點、準(zhǔn)線與離心率.

表2

表3

圖2

6)阿波羅尼斯圓

給定兩點A,B與常數(shù)k＞0,且k≠1,則滿足|PA|＝k|PB|的動點P的軌跡是一個圓,稱為阿波羅尼斯圓.

圖3

表4

8)極點、極線

(2)橢圓、雙曲線、拋物線對應(yīng)的極點極線、配極原則以及自極三角形如圖5、圖6、圖7所示.

圖4

圖5

圖6

圖7

2 探究求解路徑

2.1 基于概念

2.2 直線與曲線

1)方程分析

例2 如圖8所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是x軸正半軸上一個動點,以F為焦點、O為頂點作拋物線C.設(shè)P是第一象限內(nèi)C上的一點,Q是x軸負(fù)半軸上一點,滿足PQ為拋物線C的切線,且|PQ|＝2,圓O1,O2均與直線OP相切于點P,均與x軸相切.求點F的坐標(biāo),使得圓O1與圓O2面積之和S的值最小.

圖8

圖9

3)典型結(jié)論

諸如“阿基米德三角形”“彭色列閉合定理”“對稱性生成平行弦”“垂直弦生成定點弦”“阿波羅尼斯圓”等典型結(jié)論,多次成為命題立意的題材.

圖10

2.3 極點極線

圖11

2.4 仿射變換

通過仿射變換可以把圓與橢圓關(guān)聯(lián)起來,把橢圓情境轉(zhuǎn)化為圓的情境,借助圓的幾何性質(zhì)能夠簡化橢圓中繁雜的計算.

圖12

2.5 組合分析

對于①,拋物線及其內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一段線段;對于②,拋物線及其內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一個點;對于③,拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋該直線上的任意一點.

根據(jù)以上三種情況,我們知道用有限多條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋與這有限多條拋物線的對稱軸均不平行的直線,而平面中存在這樣的直線.于是,用有限多條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋一條直線,當(dāng)然不能覆蓋整個坐標(biāo)平面.

本例表現(xiàn)拋物線的幾何性質(zhì),檢測考生組合分析能力.

3 實戰(zhàn)演練

圖13

7.(北京大學(xué))A,B為y＝1－x2上在y軸兩側(cè)的點,求過A,B兩點的切線與x軸圍成的三角形面積的最小值.

8.(浙江大學(xué))已知點P(3,1),拋物線x2＝4y上存在相異兩點A,B,使得四邊形PAQB是矩形,則點Q的軌跡方程是________.

11.(北京大學(xué))如圖14所示,用一個平面截一個等邊圓柱(高等于底面直徑),截面是橢圓,并且與圓柱底面僅有一個公共點.現(xiàn)沿著母線展開圓柱側(cè)面,則展開面的交線形狀是________.

圖1

圖14