從通性通法的角度分析2022年新高考Ⅰ卷中的解析幾何試題

金鐘植正高級(jí)教師 特級(jí)教師

(廣東省廣州市白云中學(xué))

2022年高考結(jié)束后,考生和社會(huì)各界普遍認(rèn)為今年全國卷的幾套數(shù)學(xué)試題特別難.但是,筆者認(rèn)為看似很難的數(shù)學(xué)試卷中,并沒有出現(xiàn)“偏、怪、難”的試題.每道試題考查的都是基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)和基本技能,即如果從“以不變應(yīng)萬變,注重?cái)?shù)學(xué)通性通法”的角度進(jìn)行備考,考生不會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)試題很難.下面以新高考Ⅰ卷中的解析幾何試題為例,分析如何從數(shù)學(xué)通性通法的角度求解高考數(shù)學(xué)試題.

例1 (2022年新高考Ⅰ卷11,多選題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2＝2py(p＞0)上,過點(diǎn)B(0,－1)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),則( ).

A.C的準(zhǔn)線為y＝－1

將直線AB的方程y＝2x－1 代入x2＝y(tǒng),得x2－2x＋1＝0,解得x＝1,所以AB與C相切,故B正確.

由題知直線PQ的斜率一定存在,則可設(shè)直線

分析 如圖1 所示,根據(jù)軸對稱性的轉(zhuǎn)化及橢圓的性質(zhì),不難發(fā)現(xiàn),要求△ADE的周長,只需求長軸長的2 倍即可.離心率可確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)橫坐標(biāo)中三個(gè)參數(shù)的比值,又因已知弦長|DE|＝6,故可根據(jù)坐標(biāo)法求解相關(guān)參數(shù)的值.

圖1

分析 對于第(1)問,從題設(shè)看,要求直線l的斜率,從“直線AP,AQ的斜率之和為0”入手,有兩個(gè)切入點(diǎn):一個(gè)切入點(diǎn)是設(shè)含兩個(gè)參數(shù)的直線l的方程,并將之與雙曲線聯(lián)立,再用“斜率之和為0”的條件構(gòu)造含參數(shù)的方程,根據(jù)這個(gè)方程代數(shù)結(jié)構(gòu)的特殊性求出斜率;另一個(gè)切入點(diǎn)是直接設(shè)出直線AP,AQ的方程(只含斜率一個(gè)參數(shù)),并與雙曲線聯(lián)立即可將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)用一個(gè)參數(shù)表示,通過斜率的比值“約掉”參數(shù),兩種方法本質(zhì)上都屬于坐標(biāo)法.

對于第(2)問,根據(jù)題設(shè)和三角公式不難算出直線AP,AQ的斜率,進(jìn)而可確定P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用弦長公式及三角形面積公式求解.

以上從數(shù)學(xué)通性通法的角度分析了2022年新高考Ⅰ卷中解析幾何試題.從中不難發(fā)現(xiàn),只要平時(shí)在備考中注重了數(shù)學(xué)通性通法,不管如何命題,應(yīng)對高考是沒有任何問題的.除了解析幾何部分,考生普遍反映2022年新高考Ⅰ卷中的第18 題也是一道很難的題目,但仔細(xì)觀察題目中的條件,只要懂得三角變換中的通性通法,即關(guān)注三種結(jié)構(gòu):角的結(jié)構(gòu)、函數(shù)名的結(jié)構(gòu)以及運(yùn)算形式的結(jié)構(gòu),解決這個(gè)問題還是比較容易的.總之,要在高考中取得好的成績,就要在高三備考中始終關(guān)注數(shù)學(xué)通性通法.