清華大學強基計劃校測筆試中的解析幾何問題

唐浩哲

(北京市十一學校)

清華大學強基計劃從2020年開始實施,截至目前共實施了3年,其校測的數學筆試考題為35道選擇題,題量和難度都大于高考數學試題,因此掌握解題技巧是清華大學強基備考的關鍵.解析幾何是高中數學的重點內容,也是清華大學強基校測筆試的重要考點,本文梳理了近3年校測考題中與解析幾何相關的題目,并給出了解答過程,供讀者參考.

圖1

例7 (2021年清華大學)已知a,b,c成等差數列,點P(－1,0)在動直線l:ax＋by＋c＝0上的投影為M,點N的坐標為(3,2),則( ).

圖2

A.直線l過定點

B.直線l與定直線垂直

C.|MN|的最大值為4 2

D.|MN|的最小值為2 2

圖3

本題與例3 相似,需要在動中尋找到不動,繼而確定出點M的運動軌跡,再完成后續的計算.本題還需要注意的是選項A 對于整個題目的求解有很強的提示作用,這樣“臺階”性質的選項在清華強基校測中經常出現,要善于利用.

圖4

本題難度不大,但要想快速并準確求解,關鍵在于對條件和目標式的識別和轉化,以及利用好三角換元的方法和數形結合的思想.

圖5

例11 (2022年清華大學)設點P在直線x－3y＋10＝0上,點A,B在圓x2＋y2＝5上.若∠APB的最大值為60°,則點P的坐標可以是( ).

A.(－4,2) B.(－1,3)

C.(2,4) D.(5,5)

圖6