求解圓錐曲線相關軌跡方程問題的不同方法應用分析

祝紅梅

(菏澤市定陶區第一中學)

在高中數學的學習過程中,圓錐曲線扮演著重要的角色,涉及圓錐曲線的問題既考查基礎知識,也對綜合能力有一定的要求,應受到學生的重視和關注.與圓錐曲線有關的軌跡方程問題作為一類基礎問題,解答的方法和思路靈活多變,需要學生掌握并熟練運用.本文主要介紹求解圓錐曲線相關軌跡方程問題的三種不同方法,并結合具體例題分析各種方法的解題思路與步驟,以便于學生學習與思考.

1 定義法

定義法是常見的一種方法,具體是指分析軌跡運動特點,推斷滿足特點的曲線類型,再設出曲線的標準方程并結合條件求解基本量.運用該方法求解圓錐曲線的軌跡問題的一般步驟如下.

1)分析題意,根據幾何性質找出運動軌跡具備的幾何數量關系;

2)憑借幾何數量關系推斷曲線類型,如橢圓上的動點到兩個焦點的距離之和是定值;

3)設出曲線的標準方程式,代入所給條件求出基本參數,從而得到具體的軌跡方程.

2 相關點法

相關點法本質上是建立動點坐標與其他已知點坐標之間的關系式,將動點的坐標代入已知點所在的具體方程式中,得到軌跡方程.相關點法也是解題過程中較為常見的方法,一般解題的步驟如下.

1)假設所求點的坐標為(x,y),結合問題所給條件,找出動點(x,y)與其他點坐標(x0,y0)之間的數量關系式;

2)將(x,y)代入點(x0,y0)對應的方程式中,得到與x,y有關的方程,從而得到問題所求的軌跡方程.

3 參數法

參數法主要是對未知參數進行假設,用假設的參數表示所求的動點坐標x,y,根據給出的條件列出與參數相關的等式,消去參數得到x與y之間的關系式即為問題所求的軌跡方程.運用參數法求解圓錐曲線相關的軌跡方程問題,一般解題步驟如下.

1)分析問題,選擇合適的參數進行假設;

2)結合所給條件,分別求出x,y對應的參數表達式,用假設的參數表示動點(x,y);

3)消去參數,運算得到x,y之間的關系式,即問題所求的具體軌跡方程.

通過上述例題分別對定義法、相關點法以及參數法求軌跡方程進行了具體分析,不同解法對應不同的求解思路與步驟,面對不同情形的設問應采取合適的解題方法.盡管方法不同,但求解圓錐曲線的軌跡方程問題都是幾何性質與代數運算的綜合運用,同時也提醒學生熟悉并掌握常見的幾何性質、曲線定義、向量坐標運算等知識.只有熟悉基礎知識和基本方法,才能正確高效地求解圓錐曲線相關的軌跡問題.

鏈接練習

1.已知點A(0,7),B(0,－7),C(12,2),以點C為一個焦點,作過A,B的橢圓,求橢圓的另一個焦點F的軌跡方程.

2.在平面直角坐標系xOy中,拋物線y＝x2上異于坐標原點O的兩不同動點A,B滿足AO⊥BO,求△AOB的重心G的軌跡方程.