也談符號意識及其培養

摘要：作為數學課程要培養的學生核心素養的主要表現之一，符號意識是把符號視為重要的語言，理解符號的意義，體會符號的特點，并根據非符號表征的情境創造符號和使用符號，因而表現為符號理解、符號表示、符號操作三個方面。根據這三個方面表現的關系，在小學數學教學中，教師可以重點引導學生創造數學符號表示意義，操作數學符號發展意義，并在這一過程中充分理解數學符號的意義，體會（感悟）數學符號的特點（功能），從而培養學生的符號意識。

關鍵詞：小學數學；符號意識；符號表征；符號操作

一、 符號意識的表現

符號意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出的數學課程要培養的學生核心素養的主要表現之一。仔細分析新課標對符號意識的描述可以發現，其主要表現為三個方面。首先，“知道符號表達的現實意義”“知道用符號表達的運算規律和推理結論具有一般性”（③④ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：8，8，8。），這指向“符號理解”。它要求學生能夠認識常見的數學符號（如數字符號、字母符號、運算符號、關系符號、表示圖形的符號以及具有特定意義的輔助符號等），理解它們在具體情境中表示的意義，體會它們所具有的準確性、簡約性、抽象性、一般性等特點（邵光華，張妍，程玉婷.再談數學語言及數學語言能力培養［J］.教育研究與評論，2022（7）：54。）。其次，“能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規律”③，這指向“符號表征”。它要求學生能夠創造數學符號表征非數學符號表征的情境。最后，“初步體會符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式”④，這指向“符號操作”。它要求學生能夠操作數學符號進行運算和推理，展開形式化的數學思考。

進一步分析可以發現，三個方面是緊密聯系的。符號理解和符號表征是互逆的過程，一個是從符號到意義，另一個是從意義到符號。在沒有符號之前，符號表征是符號理解的基礎，即先根據意義創造符號表征，再由此理解符號的意義。而有了基本符號之后，符號理解則是符號表征的基礎，即先理解基本符號的意義，再由此針對具體情境創造符號表征。在符號理解和符號表征的基礎上，可以通過符號操作展開形式化的數學思考，從而獲得數學結論，解決數學問題。此外需要指出的是，體會數學符號的特點特別重要，它有助于“感悟符號的數學功能”，形成符號表征和符號操作的意識。

實際上，布魯納的認知表征理論認為：智慧發展的一般進程是，從動作表征經圖像表征而達到符號表征的世界。從這個角度看，在數學課程領域，符號意識其實就和核心素養的另一個主要表現——幾何直觀類似：幾何直觀是把圖形視為重要的語言，讀圖，體會圖形的特點（直觀），并根據非圖形表征的情境作圖和用圖，因而表現為圖形理解、圖形表征和圖形操作三個方面（程茂山.也談幾何直觀的培養［J］.教育研究與評論（小學教育教學），2022（9）：69。）；符號意識是把符號視為重要的語言，理解符號的意義，體會符號的特點，并根據非符號表征的情境創造符號和使用符號，因而表現為符號理解、符號表示、符號操作三個方面。

二、 符號意識的培養

根據上述符號意識三個方面表現的關系，在小學數學教學中，教師可以重點引導學生創造數學符號表示意義，操作數學符號發展意義，并在這一過程中充分理解數學符號的意義，體會（感悟）數學符號的特點（功能），從而培養學生的符號意識。

（一） 引導學生創造數學符號表示意義

數學源于對現實世界的抽象。數學研究對象和結論，或者說數學概念和命題，也就是數學意義，常常需要創造數學符號來表示（有時可以借助自然語言符號來表示）。教學中，教師要引導學生經歷創造數學符號表示數學意義的過程，體會到數學符號表征既有“講道理”的必然成分，也有“人為規定”的偶然成分，即“理性”的“創造”。這體現了弗賴登塔爾的“再創造”教育思想，能幫助學生充分理解數學符號的意義，體會數學符號的簡約性、一般性特點，同時感受數學的文化本質。如果學生先入為主地記住了教材中采用的和要求掌握的現代通用的數學符號，教師要引導學生嘗試創造不同的數學符號表示相同的數學意義，并適當展現數學史上人類創造過的不同的數學符號；同時，要引導學生比較不同的數學符號，體會它們的優劣。這正如波利亞所說的：“讓你的學生提出問題，要不就像他們自己提問的那樣由你去提出這些問題；讓你的學生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答?！保▎讨巍げɡ麃?數學的發現（第二卷）［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981：179。）例如，十進位值制記數法是算術發展史上的重大創造，而現代通用的阿拉伯數字是這一記數法的重要表現形式。在小學數學“數與運算”內容的教學中，教師要引導學生嘗試創造數概念的符號表征（即記數法），通過手指記數、實物記數、結繩記數、刻痕記數、算籌記數、算盤記數、古羅馬數字記數、漢字記數、阿拉伯數字記數等活動“再現”人類記數史（石志群.數學符號教學：基于原理，發揮價值［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（3）：4546。），體會現代通用的阿拉伯數字所蘊含的簡潔的“數碼”思想（用不同的符號表示不同的數）、整體的“進制”思想（將多個小的計數單位組成一個大的計數單位）和直觀的“位值”思想（用不同的位置表示不同的計數單位），認識其他記數法的不足（比如算籌記數、算盤記數、古羅馬數字記數沒有很好地體現“數碼”思想，古羅馬數字記數、漢字記數沒有很好地體現“位值”思想）。同時說明：十進制記數法與非十進制（如二進制、八進制、十二進制、六十進制）記數法相比，并沒有特別明顯的優勢，更多地是因為人類恰好有十個手指以及十這個數不大不?。ū硎境Ｒ姷臄禃r所用的數碼和數位平衡得較好，都不多不少）而被廣泛采用。

同樣地，教學數的大小比較、四則運算以及分數概念、小數概念、負數概念乃至各種圖形及其關系時，可以讓學生嘗試創造表示等于、不等于、大于、小于、加、減、乘、除、運算順序、分數、小數、負數、點、線、角、三角形、四邊形、圓、平行、垂直等含義的符號，并適當介紹有關符號的演變過程。（有關歷史可參見：徐品芳，張紅.數學符號史［M］.北京：科學出版社，2006；關于等號、不等號的教學案例可參見：劉勁苓，文靜.數學文化素養話題之十一：等號和不等號［J］.教育視界，2022（29）。）

再如，字母表示數是代數發展史上的基礎性創造。最初，字母表示的是確定的未知數（常量），由此發展出了方程方法；后來，字母可以表示不確定的任意數（變量），由此發展出了具有較強一般性的代數知識體系（包括函數內容）。在小學數學“數量關系”的教學中，教師要引導學生從具體的例子中尋找一般的數量關系，進而創造這些一般規律的符號表征，如用符號（字母式子）表示數位分解、因數分解以及和差關系、倍比關系、更復雜的組合關系，表示五種運算律以及一些有趣的運算規律，表示分數的基本性質、分數的四則運算法則，表示比例的基本性質、正比例關系、反比例關系，表示等式的基本性質，表示多邊形的內角和公式、多種平面圖形的面積公式、多種立體圖形的體積公式，表示釘子板上的多邊形的面積公式、圖形縮放前后面積的變化規律、表面涂色的正方體的有關規律，表示諸如圖1等所示的圖形拼擺中的一般數量關系，表示現實中常見的諸如“路程=速度×時間”等的數量關系……體會其中“講道理”的必然成分和“人為規定”的偶然成分。

這里值得一提的是，新課標在小學部分刪去了方程的有關內容（移到了初中部分）。因此，在小學數學教學中，更多地要引導學生從不確定的任意數（變量）的角度看字母表示。比如，小明有x張漫畫卡，小華比小明多5張漫畫卡，那么小華有x+5張漫畫卡。這一信息放在可用方程求解的具體問題中時，x可以是確定的未知數（常量），但教師更多地要引導學生體會“x+5表示比x多5的數量”的一般性。

（二） 引導學生操作數學符號發展意義

數學在抽象的基礎上，通過對研究對象和結論的形式化運算和推理獲得進一步發展，形成更多的結論和方法，即抽象結構。這里的形式化運算和推理主要表現為符號操作。教學中，有了數學符號表征之后，教師要引導學生根據形式化規則操作數學符號，獲得新的數學符號表征，從而發展新的意義。在這一過程中，學生能更充分地體會到數學符號的簡約性、一般性特點，形成良好的符號意識。

例如，在小學數學“數與運算”內容的教學中，在學生理解了“相同計數單位的個數相加減”以及“個數和個數相乘除得到結果的個數，計數單位和計數單位相乘除得到結果的計數單位”的算理之后（一開始不是很理解的話，也可以在具體計算中慢慢理解），教師可以引導學生探索基于現代通用的阿拉伯數字（記數符號）的計算形式（規則），從而實現以20以內的不進位、進位加法和不退位、退位減法以及表內乘法和除法計算為基礎，通過符號操作完成多位數乃至小數的四則運算（主要指向現代常用的豎式，也可以是其他形式，如乘法的“鋪地錦”）。有了合適的計算形式（規則），學生不需要具體地考慮（就像計算20以內的不進位、進位加法和不退位、退位減法以及表內乘法和除法那樣）兩個數的運算結果是多少，而只需要對數字（記數符號）進行相應的符號操作，得到最終的符號表征，從而體會到形式化的符號操作因為不考慮情境背景和具體意義而簡化了思維，具有簡約性。與此同時，教師還可以引導學生探索、比較基于其他記數法的四則運算形式（規則），從中深入體會阿拉伯數字的優越性。

再如，在小學數學“數量關系”內容的教學中，教師可以引導學生基于數位分解、因數分解、和差關系、倍比關系等的符號表征（字母式子），通過利用運算律進行式子變形（符號操作），得到（或說明）一些有趣的運算規律。以蘇教版小學數學三年級下冊“有趣的乘法計算”的教學為例，可以通過（10a+b）×11=110a+11b=100a+10（a+b）+b的符號操作說明兩位數乘11的計算規律，也可以通過（10a+b）（10a+10-b）=100a（a+1）-10ab+10ab+b（10-b）=100a（a+1）+b（10-b）的符號操作說明“頭同尾合十”的兩位數乘法計算規律。同樣地，“和與積的奇偶性”“3的倍數的特征”乃至在圖2中用“十字形”任意框出的五個數之和與中間數的關系等一般的數量關系（規律），都可以基于一般化的符號表征（字母式子），通過符號操作（利用運算律進行式子變形）得到（或說明）。

此外，列方程解決實際問題是最典型的先創造數學符號（列方程）表示意義，再操作數學符號（利用性質解方程，不考慮實際意義）發展意義（得結果，還具有實際意義）的過程，可以充分展現數學符號的簡約性、一般性。雖然方程的有關內容移到了初中，但是在小學數學教學中，教師還可以適當滲透方程思想，以體現符號表征與操作在解決問題時的優勢。例如，實際問題“甲庫搬出240袋水泥到乙庫后，甲庫還比乙庫多130袋，則原來乙庫比甲庫少多少袋”，因為比常見的“誰給誰后就同樣多”的問題更復雜，學生解決時常常理不清數量關系。如果借助符號表征和操作來解決，則很簡單：由（甲-240）-（乙+240）=130，得（甲-乙）=610。

最后需要指出的是，雖然在創造數學符號表示意義以及操作數學符號發展意義的過程中，學生可以較好地理解符號的意義，但是，因為符號具有不同程度的抽象性，其意義也常?？梢宰兓Ｒ虼?，教師還需要注意反過來，引導學生閱讀所給符號，適當發散思維，解釋各種可能的意義。比如，將“0”理解為“沒有”或“一種臨界狀態”。再如，將“=”理解為“計算結果”或“等量關系”。又如，將“2a+2b”理解為長方形周長的一般形式。

（高慧，南京師范大學附屬中學新城小學北校區。）