“奔馳定理”妙解一類三角形的面積比問(wèn)題

福建省莆田哲理中學(xué) (351100) 吳毓敏福建省莆田第二中學(xué) (351131) 盧 妮

平面向量及其應(yīng)用是2019年人教A版必修課程與選擇性必修課程中幾何與代數(shù)主題的開(kāi)篇，融合了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算.通過(guò)形與數(shù)的結(jié)合,感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解.當(dāng)向量與三角形結(jié)合，已知向量關(guān)系，求解三角形面積的比值，是選擇、填空題中的難題，而借助向量形的特征，往往能起到妙解的效果.本文通過(guò)一道試題來(lái)探究求解這類題型的相關(guān)規(guī)律.

一、試題呈現(xiàn)

A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.4:2:1

二、常規(guī)解法探究

圖1

圖2

圖3

評(píng)注：小題巧解，可借助特殊圖形.建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,是解決向量問(wèn)題的一種常用辦法.解析法是將幾何問(wèn)題代數(shù)化，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

三、奔馳定理妙解及推廣

圖4

三角形的“四心”(重心、內(nèi)心、外心、垂心)具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，是試題的重要載體，與之有關(guān)的試題往往難度較大.事實(shí)上“四心”有關(guān)性質(zhì)是奔馳定理的推論.

四、變式應(yīng)用

千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)，正是數(shù)學(xué)的美，一道好題，一種巧解，一絲聯(lián)系，一點(diǎn)變化，在解題中我們不能只停留在會(huì)做的層面，還需總結(jié)規(guī)律，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)觸類旁通.