第二類曲面積分的算法研究

汪 葉 范利萍

河南大學數學與統計學院 河南開封 475001

一、概述

高等數學是高等院校非數學專業學生必修的一門公共基礎課程，其主要內容是一元函數和多元函數微積分學。多元函數積分學包含了二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分等六種積分。其中，第二類曲面積分是多元函數積分學教學內容體系中的最后一個積分，是教學的重點和難點。經歷了前面五種積分的學習，再加上第二類曲面積分的概念、定理和公式的抽象性，導致部分學生思路混亂，產生畏難情緒。第二類曲面積分的題目綜合性強，難度高，方法多變，計算過程復雜而冗長，學生不易掌握。因此，教師要逐步引導學生思考和探索第二類曲面積分不同題型對應的計算方法，鼓勵學生及時總結，幫助學生理解和掌握第二類曲面積分的相關知識，提高學生分析和解決問題的能力，培養學生的創新能力。

二、第二類曲面積分的算法

其中，dydz、dzdx和dxdy稱為投影元素。要想靈活掌握第二類曲面積分的計算方法，除了深入理解其物理背景和概念之外，還要熟練掌握其性質，例如，利用對稱性和奇偶性、輪換對稱性[4-5]簡化計算，同時要熟悉與高斯公式有關的各種題型。下面主要探討第二類曲面積分的算法。

(一)直接投影法

當積分的被積表達式中只有一個投影元素時，采用直接投影法將第二類曲面積分轉化為二重積分計算。計算口訣是：一投、二代、三定號。一投指根據投影元素確定將曲面Σ投影到哪個坐標面上；二代指將曲面的方程代入被積函數；三定號指由曲面的側決定二重積分的符號。例如，當被積表達式中含有投影元素dxdy時，首先將曲面Σ往xOy面上投影得到投影區域Dxy，然后將曲面方程z=z(x，y)代入被積函數，最后由曲面的側判定二重積分的符號，上側為正，下側為負。其他兩種情形類似可得，這里不再贅述。

例1 設Σ是球面x2+y2+(z-a)2=a2的外側，計算曲面積分Σz2dxdy。

(二)二化一法

當Σ是一張平面時，法向量是常向量，此時利用兩類曲面積分之間的聯系將第二類曲面積分轉化為第一類曲面積分計算更為簡便，該方法稱為二化一法。公式如下：

(1)

其中，cosα、cosβ和cosγ是有向曲面Σ在點(x，y，z)處的法向量的方向余弦。

例2 計算曲面積分?Σxzeydydz-xzeydzdx+zdxdy，其中Σ是平面x+y+z=1在第一卦限部分的上側。

(三)合一法

(2)

例3 計算曲面積分?Σxdydz+ydzdx+zdxdy，其中Σ是曲面z=x2+y2，0≤z≤1在第一卦限部分的上側。

原式=?Σ[x·(-2x)+y·(-2y)+z]dxdy

=?Dxy(-x2-y2)dxdy

(四)利用高斯公式將其化為三重積分

當Σ是一張封閉曲面時，可以通過高斯公式將第二類曲面積分轉化為三重積分計算。高斯公式如下

(3)

解：由高斯公式:

(五)補面法

當積分的被積表達式很復雜，且Σ不是封閉曲面時，不能使用方法一直接投影法，也不能使用高斯公式(因為不滿足高斯公式的封閉性)，怎么辦呢？聯想到格林公式[1]存在類似的問題：當曲線不閉合但還想使用格林公式時，怎么處理呢？解決方法是添加輔助曲線使之閉合后再用格林公式。類似地，這里可以添加輔助曲面使之封閉后再用高斯公式，即補面法。一般地，優先添加平行于坐標面的平面。注意，補面時需要標注曲面的側。

例5 計算曲面積分

?Σ(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy

其中Σ是曲面z=x2+y2，0≤z≤1的上側。

顯然有?Σ1(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=0。而由對稱性和奇偶性可得?Ω(6x+6y)dv=0。然后采用柱面坐標法計算三重積分，得到：

原式=-?Ω[3(x2+y2)+7]dv

=-4π

(六)“挖洞”法

當空間閉區域Ω上存在奇點時，高斯公式的第三個條件不滿足，怎么辦呢？再次聯想到格林公式[1]的類似情形，是采用“挖洞”的方法解決的。于是，這里也可以采用“挖洞”的方法將奇點挖去，然后在復連通區域上使用高斯公式。注意復連通區域有兩個邊界曲面，外邊界曲面的側應取為外側，內邊界曲面的側應取為內側。

例6 設Σ是一張不經過點M0(x0，y0，z0)的光滑閉曲面，側取外側，計算曲面積分。

情形2：當M0(x0，y0，z0)∈Ω時，M0是奇點。以M0為中心，以r為半徑做小球面Σ1：(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2，取內側。注意r要足夠小，使得Σ1包含在Σ內。記Σ和Σ1圍成的空間復連通區域為Ω1，Ω1上無奇點，可以使用高斯公式，得到：

故有：

記Σ1圍成的小球體為Ω2，在上式的曲面積分中被積函數P=x-x0，Q=y-y0，R=z-z0在Ω2上無奇點，可以再次使用高斯公式。注意曲面Σ1的側是內側，于是有：

故，原式=4π。

結語

本文通過實例分析，探討了第二類曲面積分的六種典型題型和相應的計算方法，加深了學生對該知識點的理解。在教學中，教師要循序漸進地引導學生思考，提高學生化未知為已知的能力，提升學生運用已學知識分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新意識。同時，學生在學習時要進行大量的練習，這樣才能擁有較強的運算能力、嚴密的邏輯推理能力，最終達到“運用之妙，存乎一心”的境界。