在變式遷移中厚植“植樹問題”模型思想

江西贛州市南康區逸夫小學（341000） 楊娟

“間隔”問題早在第二冊的教材中就已出現過，是在“十幾減9”練習二的思考題（第12頁）中（如圖1）。在第三冊教材“9的乘法口訣”練習二十的第8題（第82頁）中也有出現（如圖2）。

圖1

圖2

這兩道題釋放出強烈的信號，那就是教材對認識兩端都栽樹題型中特有的“棵數”與“間隔數”的數量關系，早已埋下伏筆。因此，四年級的學生早已深諳“棵數-1=間隔數”的玄機：無非就是算上端點后減1的問題。數量關系式“間隔數×株距=路長”，充其量就是一個一般“份數乘以每份數”的乘法問題，或者可以看成求幾個相同加數的和的簡便計算，返璞歸真到乘法的起源。同樣，“路長÷間距=間隔數”也可以視為除法含義中的“包含除”，看看總長度里面含有幾個間距。

為了找到更有力的證據，筆者對學生進行了測評調研，結果表明：已知株距與棵數求路長的答題正確率高達100%；已知路長求棵數的答題正確率為91.5%，答題錯誤的4個學生中有2人是將兩端的2個端點數直接按一比一的比例轉換成間隔數，導致間隔數多加了1，另外2人則無視端點數與間隔數的關系，錯把間隔數當成植樹棵數。

基于以上現象，筆者設計了“植樹問題”第一課時的教學。

一、直觀引入，喚起舊知

筆者出示圖2，引導學生讀圖并提取其中的數學信息后提出一個數學問題。學生能準確捕捉到“株距為5米”這一關鍵信息，還能提出“整條林蔭道從頭到尾一共有多長”這一基本問題。學生不但能準確地列出簡約的算式，還能解釋清楚為什么要這樣算，對每一步算式的算理都一清二楚，并牢牢記住“棵數-1=間隔數”這一規律。

【設計意圖】如果直接提出植樹問題，勢必會將間隔數和棵數的關系這一難題拋給學生，而學生也會對這一難題苦惱不已，降低了學習植樹問題的熱情。而將同一情境換成學生熟悉的問法：將株距設為每份數，將間隔數設為份數，路長設為總數，繞開難題，面對簡易的乘法口訣“五九四十五”，學生消弭了距離感，消除了抗拒感，學習動機大大增強。最后，學生通過觀察得出“棵數比間隔數多1”的結論。

“植樹問題”屬于綜合實踐板塊，這樣的課程與前后知識的聯系微弱，基本上就是獨立單設的一個板塊，主要是為了訓練學生某方面的思維能力。“植樹問題”的目標是訓練學生在生活中遇到類似實際問題時對加1還是減1的果斷研判。“多1”“少1”的錯位對應關系在生活中和數學中經常出現，但是沒有引起足夠的注意，也沒有被單獨作為一門“顯學”來研究，“植樹問題”就將這類問題集中暴露出來。正因為如此，如果突然提出棵數與間隔數的對應關系，學生勢必一時難以接受，也很難快速回憶起相關知識。而通過與之前的基礎知識（如乘除法計算）關聯起來，就能讓學生自然而然地發現“多1”和“少1”的對應問題。

二、探究新知，建立模型

1.研習例1

題目：中國科考隊要在南極科考站旁100米長的隔離墻上插上五星紅旗（兩端都插），一共要插上多少面五星紅旗？

學生初次審題，發現信息不全。教師補充完善：每隔5米的距離插一面五星紅旗。

【設計意圖】本環節沒有直接呈現完整信息，而是故意賣關子，半遮半掩，讓學生自己發現，考驗了學生的眼力和敏銳性，增強了學生的思維性。通過這種自查自糾的訓練，學生全面掌握了植樹問題的解題模型結構。

筆者引導學生揣摩題意——為什么要強調“兩端都栽”？通過對題意的認真解讀，掃清文字上的障礙，避免因為遺漏字詞而誤解題意。

筆者要求學生先獨立解題然后檢驗。大多數學生選擇畫圖的方法（如圖3）。

圖3

筆者追問：“能清晰地看出到底有幾棵樹嗎？”促使學生制訂化繁為簡的策略：先畫兩個只有幾棵樹的簡圖，列出相應算式，然后根據路長為35米這一條件，在不畫圖的情況下，憑借前面總結的規律和公式，直接運算。這樣，“植樹問題”的解題模型呼之欲出。

2.研究棵數與間隔數的關系

解答了兩道題后，學生對植樹問題的整個脈絡有了全面的了解，此時，歸納棵數與間隔數的關系則是最后一關。

筆者引導學生用圓點代表樹，用線段表示間隔，畫圖后觀察（如圖4）。

圖4

筆者又請學生用磁貼動態演示兩端都栽的情境：你能設法一招暴露間隔數和棵數的差距嗎？引導學生用“一一對應”的方法揭示間隔數和棵數之間“多1”與“少1”的關系（如圖5）。

圖5

3.舉例

學生即興舉例，筆者用課件配合演示：借助旗桿、路樁理解“兩端都栽”與“兩邊都栽”的區別；借助紅旗深化理解“棵數”與“間隔數”的對應關系，為解決基本的植樹問題清除障礙。

【設計意圖】間隔數和棵數的數量關系是植樹問題的核心問題，也是植樹問題的精華所在，解決這個問題是攻破“植樹問題”的第一道堡壘。但是，這一問題需要學生自己發現并掌握解決的竅門，內化理解，而不是死記公式，也不能糾結于“加1”還是“減1”，關鍵在于通過直觀的手段揭示棵數與間隔數的根本關系。因此，采用“一一對應”的畫圖法，學生就會發現兩端都栽的情況下，端點數總比間隔數多1。這為后續研究其他兩種類型奠定了基礎。

植樹問題中間隔數和棵數之間的數量關系與植樹方式密切相關，植樹方式發生變化，那么間隔數與棵數之間的關鍵數據就會發生變更，有時加1，有時減1，有時不增不減。正因為存在這樣的變數，教學時，教師應有意出示一些信息不全的題目，如遺漏株距這個條件，這樣學生在做題時憑借經驗和直覺，自會想到尋求株距。株距確定后，學生便能夠通過獨立思考推理出計算棵數的前提是計算出間隔段數。遇到難點時，教師再一步步引導學生探究發現間隔數與棵數之間的對應關系。學生通過歸納法、直觀圖示法等各種方法理解間隔數和棵數之間的對應關系存在天然的合理性。最后，在總結規律的過程中，學生也能隱隱約約感覺到兩端都不栽和一端栽另一端不栽時，棵數與間隔數會循著類似的規律發生相應的變化。

三、鞏固新知，拓展提高

1.鞏固練習

練習環節一方面是幫助學生鞏固植樹問題的基本模型，另一方面是將生活中的類似問題模型化，將學生心中的固定模型變活，讓學生對植樹問題做到靈活理解、隨機應變，但是又能抓住本質，做到萬變不離其宗。

筆者出示習題：某新冠肺炎疫情高風險區域的疫情防控志愿者在為出境人員做核酸檢測，相鄰兩人之間相隔3米。隊伍有30米長，一共排了多少人？A.9；B.11；C.10；D.22。

在學生得出正確答案后，教師可追問：“如果要使‘D.22’成為答案，該如何修改題干？”

這樣，以現有素材為基礎，對其進行變式改編，能充分提高學生對這類問題的識別力：雖然題目情境不是植樹，但是本質仍是植樹問題。

2.拓展練習

在第八冊第三章的“運算定律”的教學中，課本出現兩道等差數列問題：①1+2+3+4+…+99+100；②2+4+6+…+16+18+20。這兩題的項數很明確，綜合運用加法交換結合律，然后配對湊整即可解題，這是學生熟練掌握的。但對于14+17+20+…+83+86+89這個數列，推算項數異常困難。如果將植樹問題中的“核心技術”遷移過來，那么問題就迎刃而解：間距為3，總長為89-14=75，那么間隔數就為75÷3=25，間隔數為25，棵數就為25+1=26。因此，這個數列有26項。由此，筆者把等差數列問題與植樹問題巧妙融合，實現各元素對應，擴大了植樹問題的應用范圍。

筆者出示習題：求這些數列的項數？1，2，3，…，99，100，共（ ）個數；2，4，6，…，98，100，共（ ）個數；數列15，20，25，…，75，80，85，共（ ）項。

引導學生按照植樹問題的模式去解決問題：在學生求出項數后，筆者追問：“求出項數可以用來干什么？”學生自然聯想到影院算座位的情境。

【設計意圖】植樹問題是一個框架，里面可以“裝下”許多內容，只是這一模型一旦“披上”別的“外衣”，學生就很難辨認其真面目。因此，必要的變式訓練不但可以拓寬學生的思維，而且有助于加深學生對植樹問題本質的認識。

植樹問題的本質就是一些間隔數與“點數”之間的特殊對應關系，繩結問題、敲鐘問題、插旗問題、排隊問題、上樓問題等，都可以歸結為植樹問題。學生熟悉了植樹問題的經典模型后，思維難免會僵化，只有遇到植樹情境才會熟練應用植樹問題的規律和公式，一遇到變式問題，就會思維受阻。這說明學生只是認識了植樹問題的形式，沒有領悟植樹問題的本質和靈魂。因此，教師要讓學生在類比遷移中歸納出植樹問題的精髓和本質。

3.備選練習

筆者出示習題：某部隊士兵依次出列報數，班長讓第一個士兵報數為16，往后每個人報的數比前一個人報的數大2，最后一個人報的數是36，一共有幾個人報數？這些數的總和是多少？出示這道題，是為了讓學生進一步感受到植樹問題輻射面很廣，遷移力很強。

植樹問題是小學數學中的一個經典問題，在多版教材中均有編排，足可見其重要性和經典性。經典之所以成為經典，是因為其規律具有可塑性，形式具有變通性，模型具有發散性。兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽，三種情境下，棵數和間隔數都具有特定的微妙關系，這就體現了規律的可塑性；圓周植樹問題、封閉路線植樹問題中，棵數和間隔數的關系相同，這就體現了形式的變通性；敲鐘問題、繩結問題、上樓問題，都可以歸為植樹問題，這就是植樹問題的發散性。可見，變式訓練，是教學植樹問題的制勝法寶。

綜上，學生充分經歷了模型創建和模型應用后，真正把握了植樹問題的內涵。這個模型思想一旦厚植于學生頭腦中，學生的潛力就會得到無限激發。