基于APOS理論的小學數學概念教學案例研究

江蘇師范大學教育科學學院（221116） 王智杰

小學階段的數學教學，涉及諸多數學概念。數學概念是數學思維的細胞，它不僅是數學知識的基礎，也是學生思維的基本單元，具有抽象性、邏輯聯系性等特征。而小學階段的學生，其思維認知水平正處于形象思維階段，理解并掌握內涵豐富且意義深邃的概念具有一定的困難。

美國學者杜賓斯基（E.Dubinsky）于20世紀80年代提出的APOS理論，是一種專門針對數學概念學習過程的理論，該理論涵蓋了學生進行概念學習時的四個階段，即操作（Action）、過程（Process）、對象（Object）和圖式（Scheme）。APOS理論的提出對小學數學概念教學有著重要的指導意義。本文基于APOS理論，并以特級教師吳正憲老師的“平均數”一課為例，對小學數學概念教學進行深入研究，嘗試提煉其教學思路，為后續改進教學做準備。

一、基于APOS理論的“平均數”名師課堂案例分析

本研究基于APOS理論，采取視頻分析的研究方法，對特級教師吳正憲老師的“平均數”一課進行案例分析，并嘗試提煉其教學思路。

1.操作（Action）——創設問題情境，引發學習興趣

“操作階段”是APOS理論的第一階段，是指學生通過接受一系列的指令去改變學習對象的過程，這是學生構建數學概念的起點。在這一階段，學生應該像數學家一樣去思考和體驗，這樣有助于為接下來的“過程階段”提供感性的素材。因此，在這一階段，教師需要在了解學生認知發展水平的基礎上，給學生創設一定的問題情境，并盡可能地給學生安排一些活動，包括外部動手操作活動與內部思維活動。

【教學片段1】

師：黑板上有三個字——“平均數”，這就是今天吳老師要和小朋友們一起討論的話題。你們聽說過這個詞嗎？在哪里聽說過要算這個“平均數”的事呢？

生：考試成績出來后要算平均分。假如我們班這次考試成績的平均數是95，95分就是我們三（1）班同學考試的平均分。

在這個教學引入環節中，吳正憲老師設計了開放性問題，巧妙地引導學生將數學中的“平均數”概念與日常生活聯系起來。這一問題情境是學生主動創設的生活情境，既體現了數學與生活的聯系，又激發了學生的積極性與主動性。在這開放的、自由的教學氛圍中，學生初步感知了“平均數”的概念，符合APOS理論中“操作階段”的教學要求。

2.過程（Process）——適時提問引導，深入挖掘理解

在APOS理論的第一階段“操作階段”，學生對所要學習的概念有了一個初步的認知，但這只是簡單的感性認知，是對概念表層的理解。在接下來的第二階段“過程階段”，教師需要適時引導學生進一步挖掘概念的內在本質，從而促使學生思考與頓悟，這是概念學習的關鍵所在。

【教學片段2】

師：你們怎么理解平均分是95分這件事？

生1：平均分就是有些人的分比它高幾分，有些人的分比它低幾分。平均分是95分，就是有人的分數會比95分高，有的人的分數會比95分低。

師：那這個你們所說的平均分在你們心中是什么樣的呢？

生2：要把全班所有同學的分數通通加起來，再除以班級總人數，就是除以38。這樣就把分數高的同學的分數給了分數低的同學。

師：這樣分數低的同學的分就慢慢升高了（用手勢比畫平均與高低）。那你們班平均分數是95分，你一定考了95分嗎？

生3：不一定。可能會比95分高，也可能會比95分低。

在這個深入探究“平均數”概念的過程中，吳正憲老師將課堂還給學生，讓學生述說感受并舉例說明，學生能夠在輕松的課堂氛圍中開動腦筋、各抒己見。隨后，吳正憲老師又以手勢比畫的方式，讓學生客觀形象地感知平均數在一堆數中所占的位置，并強調了“平均分是95分不代表你一定考了95分，你的分數可能會比95分高，也可能會比95分低”的重難點，讓學生在辨析中透過表層，深入感知“平均數”的概念。

3.對象（Object）——變式提升訓練，形成立體感知

通過前面“操作階段”以及“過程階段”的訓練，學生對新學習的數學概念有了一定的了解，并且能夠掌握概念相應的本質特點。但概念是一個較為抽象的知識，學生只有將其作為一個整體來運用才能掌握。但是，此時學生在理論上對概念的掌握還未達到要求，即對新概念的認識還是孤立的。因此，在第三個階段“對象階段”，教師需要組織一次新的活動，讓學生對概念進行新的概括，促進學生以“理解”的方式去運用概念，即將概念當作一個“工具”去解決問題。

【教學片段3】

師：既然大家已經在生活和學習中見過平均數，對其有一點印象，那么今天吳老師要和你們一起往平均數的“深處”走一走。有一座城市，身高不到1.1米標準線的兒童乘車可以不買票，以前6歲的兒童身高差不多1.1米。可是后來人們吃得好，越長越高了，6歲的兒童還沒上學呢，就不能免票了。很多家長就有意見，提出“能不能把1.1米這個身高線提高點，再定一個新的標準”。請想一想，假設你就是有關部門的官員，你怎么定新標準呢？小組討論后說一說。

生1（第一組）：1.3米、1.2米、1.2米以下。

生2（質疑）：你們說1.2米和1.3米，有沒有依據？

師：沒有依據就定標準，那你們這個決定是不是有點不靠譜。一拍腦袋就定1.2米和1.3米，你們也不同意對不對？

生3：應該讓全國的小孩都進行一次體檢，測身高，得到的數據全部加起來再除以人數，求大家身高的平均數。

生4：我不同意，這太麻煩了，可以找一些身高差比較大的人，將他們的身高加起來再除以人數。

師：這個主意不錯。可以選一部分人作為代表，那怎么選這些代表？（生4不知所措）

師：沒關系，注意一個詞，你慢慢會懂的。“不要刻意地去找，要隨意地挑一挑”，就是隨意選一群人。不知道你們通過剛才的討論，有新想法了嗎？

生1（第一組）：我們要有依據，不能一拍腦袋就做決定。

師：一拍腦袋就做決定的不是“好官員”，我們得調查研究。調查研究會獲得很多數據。因為調查研究的時候要拿到全部人的數據有點麻煩，所以他們組（生4所在的組）提出了選部分代表，然后再求平均數。

在這一階段的教學中，吳正憲老師將生活中一個常見的現象轉換成兒童的語言，并在活動中給學生充分展示的機會，足以體現學生的主體地位。回到概念教學中，吳正憲老師在學生初步認識與理解平均數概念的基礎上，采取變式訓練的方式，讓學生觀察、思考、交流、討論，發現平均數在生活中的應用，并讓學生體會到“理論依據”與“數據處理”的奧秘，從而滲透了一定的數據統計的思想。這種環環相扣、層層遞進的問題使課堂教學得到了進一步的升華，學生在親身體驗、反思實踐的過程中多角度、多層次地感知“平均數”，概念在學生頭腦中呈現“立體化”的形象。

4.圖式（Scheme）——建立新舊聯系，完善認知結構

小學數學的學習呈現螺旋式上升的特點，所以概念的學習并不是經歷一次“A-P-O-S”就能完成的。初級“圖式”的形成需要經歷兩次關鍵性的飛躍：一是擺脫具體對象形成符號化階段，即“對象階段”；二是形成新的認知結構，即由“對象階段”上升到“圖式階段”。因此，在“圖式階段”，教師需要指導學生主動將所學新概念與原有認知結構中的舊知識結合起來，形成實質性的聯系。

【教學片段4】

師：假如吳老師在黑板上畫圖，將這些數據展現在折線圖中，平均值會在高的和矮的中間。那我們就把身高標準值定為1.2米。還有其他的想法嗎？

生：我定標準時，要比平均值稍微高點。

師：這位同學的意思是把標準值定得比平均值高一點。剛才同學們都說定在1.2米左右，那我們看這個圖（出示圖1）。圖中曲線最高處是在1.2米處，1.2米左邊的都可以享受免費待遇，那假如我們要使更多的兒童享受免票政策，是不是可以在1.2米的右邊“畫線”？可見，平均數是解決這個問題的重要的數據。

圖1

在這一階段，吳正憲老師采取數形結合的方式，將平均數與統計圖聯系起來，更加形象直觀地讓學生了解平均數在該組數中的位置，使學生在頭腦中構建有關平均數的“圖式”，形成完整的認知結構。

綜上可見，吳正憲老師在教學“平均數”時，將課堂還給學生，尊重學生的想法與發現。整堂概念教學課節奏緊湊，教學步驟環環相扣、層層遞進，使得學生對“平均數”的概念從原來的淺顯感知到深入理解，建立了屬于他們自身的認知“圖式”。

二、基于APOS理論的小學數學概念教學反思

結合吳正憲老師的“平均數”教學案例可以看到，小學數學概念教學需要深刻理解并巧妙把握APOS理論的四個階段。

1.操作階段——生活性激興趣

“操作階段”的目的是讓學生思考，而引起學生思考的重要舉措是激發學生的興趣。建構主義學生觀強調學生并不是空著腦袋進教室的，學生在日常生活中已經積累了豐富的生活經驗。可見，如何巧妙地將抽象、深奧的概念與學生的實際生活聯系起來，是概念教學課堂引入環節的關鍵所在，同時也是后續教學的有效保障。因此，在課前，教師需要了解學生的認知發展水平，創設合理的教學情境，巧妙地將數學與生活緊密聯系起來。這種具有生活性和真實性的問題情境的設置符合學生的身心發展規律，能很好地引導學生走進真實的情境之中，激發學生的學習興趣和探究欲望，為后續活動的開展和數學的學習奠定良好的基礎。

2.過程階段——問題鏈引深思

“操作階段”為后續的教學奠定了心理基礎，但是并不能引發學生的數學思考。在“過程階段”，教師需要將學生的學習興趣轉化為深入思考的動力。因此，教師此時需要提出一些具有啟發性、遞進性的問題去引發學生的思考。在活動進行的過程中，教師需要根據學情巧設遞進式問題鏈。以高質量的問題為切入點促進數學知識與數學思想方法之間的聯通，以遞進式的問題為深入點促進學生對數學問題的深入探究、對數學思想的深入理解，并將問題以問題鏈的方式組織起來，統整學生數學思維，提升學生數學思維的廣度與深度，發展學生的整體意識。此過程能促進學生對概念的理解和把握，為下一階段做準備。

3.對象階段——變式題強認知

概念的學習不能只停留在具體的情境教學中，需要學生走出固定的情境。概念學習是一個逐漸深入的過程，是需要學生主動參與和積極領悟的過程，僅僅靠教師的講解是不能達到概念學習的要求的。因此，在概念教學的“對象階段”，教師可以采取靈活變式的方式，讓學生在深入理解概念的基礎上體會到概念的靈活運用，讓學生在不同的變式中深刻感悟概念的本質內涵，在辨析中全方位地了解概念的中心。如此一來，就能幫助學生在外部刺激的強化過程中逐漸形成對新概念的思考與認知，從而將這個新概念作為一個整體去進行辨析。學生只有在練習中強化、在變式中深思，才能把握概念的本質。

4.圖示階段——新舊聯善結構

零散孤立的知識是不能牢固地存在于學生的觀念系統中的，只有數學知識之間相互聯系，才能加深學生對數學知識的理解。因此，在概念學習的最后，學生應該形成完整的認知結構。但是，日常數學教學通常是分模塊進行的，為了能夠強化學生對知識的理解與應用，教師需要將新概念與學生頭腦中原有的舊知聯系起來，并重新組織這些在本質上具有聯系的知識點，從而構建一個更大更牢固的知識體系。在最后的“圖式階段”，教師需要指導學生總結本課知識，并將數學知識與生活實際再次聯系起來，以形成新的“圖式”。這一過程需要學生在長期的學習過程中不斷總結與完善，因為只有復思考與辨析所形成的“圖式”才是概念教學的最終目的，才能使學生在今后的問題解決中將概念運用自如。