數理統計教學內容拓展探討

唐 立，吳錦標

（中南大學 數學與統計學院，長沙 410012）

數理統計起源于19 世紀，成熟于20 世紀，是從實踐中逐步發展起來的一門數學學科。它不僅在理學門類統計專業課程中起著核心基礎的作用，數理統計還與其他學科結合，形成生物統計、經濟統計等統計學派[1]。無論是理學門類的數理統計，還是與其他學科結合的數理統計，都是力求為所有的統計方法提供理論基礎。近幾十年來，統計學科及其應用的內容飛速地發展，我們數理統計的教學內容理應適應這一要求，不斷探索與時俱進的教學內容并提升和拓展。

從文獻上來看，數理統計課程教學改革一直為人們所關注。但是教學改革的研究文章中，大家主要關注的是教學手段和教學方法的改進，對數理統計教學內容提出改革的文章很少。我們這篇文章，以理學門類統計專業數理統計教學為例，針對目前數理統計教學內容中可能存在的某些不足，提出對現有教學內容的一些拓展建議，使得數理統計這門課程更好地與后續課程和統計學科發展相銜接，更好地發揮其基礎課程的重要作用。目前數理統計的教學內容，除了預備知識，主要由參數估計、假設檢驗和方法應用三部分構成，接下來，我們主要針對這三個部分，分別探討教學內容的拓展思路。

一、參數估計部分相關樣本數據教學內容拓展

首先，我們來看看現在數理統計教學使用的教材情況，因為教學內容與教材是密切聯系的。世界上第一本數理統計教材公認是1946 年H.克拉美編寫的《統計學的數學方法》，而我國的數理統計教材在20 世紀80 年代才開始走向成熟。其中代表教材有陳希孺、倪國熙[2]編著的《數理統計學教程》，以及魏宗舒[3]編著的《概率論與數理統計教程》等。現在國內有著豐富的數理統計相關教材，為老師授課、學生學好這門課程提供了良好的條件。但是經過我們多年的教學發現，這些教材內容基本上一致，幾十年來變化不大，不能完全滿足統計學科發展和后續課程的要求。因此，我們有必要考慮在現有教學內容的基礎上，進行一些拓展。

數理統計理論知識是圍繞統計推斷展開的，統計推斷包含兩部分內容——（非）參數估計和假設檢驗。從參數估計這部分內容來看，這些教材和教學內容中涉及到的樣本，都是從總體中抽取的獨立樣本。也就是說，所有講解的知識，都是建立在樣本獨立性的假設下。但是，隨著統計學科的發展，目前統計專業后續課程已經越來越豐富，通常包含隨機時間序列分析、隨機過程、數據挖掘和大數據探索等課程。隨機時間序列分析和隨機過程的統計推斷需要數理統計理論的支撐，這個道理是不言而喻的[4]。另外，數據挖掘和大數據探索的一些核心算法同樣依賴于數理統計[5]。我們注意到，這幾門后續課程中涉及到的樣本數據經常是同一總體中抽取的相關數據，也就是說抽取的樣本數據不是獨立的。這種從同一總體中抽取的相關數據的統計推斷知識，在現有的數理統計教材和教學中幾乎沒有提到，學生在學到這些后續課程的時候，可能會感覺到理論上有一定的跳躍。所以，我們建議探討如何在教學內容中，適當地補充相關樣本數據的數理統計知識，特別地，可以適當地補充相關數據的參數估計內容。

例如，我們可以拓展教學內容：介紹最簡單情況下的相關序列的矩估計法。與獨立序列的矩估計法是用樣本的原點矩去估計總體的原點矩類似，這種相關序列的矩估計法，就是用樣本均值和樣本協方差，去估計序列理論上的均值和協方差。由此，學生可以了解到，相關序列的參數估計方法，可以由獨立序列的參數估計法延拓得到。

具體地，若記相關序列{Yn}理論上的均值為μ，協方差函數為

又設抽樣得到的樣本數據為{yn}，其樣本協方差函數為

類似于現有數理統計中，獨立序列的矩估計法原理，是根據樣本的原點矩依概率收斂到總體的原點矩。對于最簡單情況下的相關序列{Yn}，同樣可以證明：相關序列的樣本均值n和樣本協方差函數（k），分別依概率收斂到相關序列理論上的均值μ 和協方差函數γ（k），即n→∞時

針對不同層次的學生，我們可以詳細或者簡略地給出這些結果的證明。事實上，想要給出詳細的證明，我們只需在預備知識部分，引入最簡單情況下相關序列的中心極限定理和大數定律即可[6]。顯然，這兩個極限定理是獨立序列的中心極限定理和大數定律的拓展。

可見，作為現有數理統計教學內容中獨立樣本數據統計推斷的延拓，我們可以在參數估計等部分中，適當地拓展相關數據的理論和應用，從而進一步完善數理統計身為基礎課程的功能，為學生后續課程的學習埋下伏筆，打下基礎。這些拓展知識，不只是對學生后續學習有很好的啟迪作用，也讓學生了解到統計方法之間的聯系，了解到統計理論和應用發展的歷史進程。

二、假設檢驗部分似然比檢驗法教學內容拓展

眾所周知，在參數和非參數的假設檢驗中，似然比檢驗法是個非常常用而又高效的方法，其在假設檢驗中的地位等價于極大似然估計法在參數估計中的地位[7]。現有的數理統計教學中，對參數估計中的極大似然估計是非常重視的，它一直是教學的一個重點內容。但是在現有的數理統計教學中，對于在假設檢驗中具有同等地位的似然比檢驗法卻很少涉及。然而，學生在后續的學習和實踐中，極有可能會遇到只有用似然比檢驗法才能較好解決的問題。所以，我們若能在數理統計這門基礎課程教學中，就初步講授這一方法，讓學生留下一定的印象，后面不管是理論上還是實際中需要用到這一方法時，學生都容易想到和接受。

似然比檢驗法和廣義似然比檢驗法（這里我們統稱為似然比檢驗法）是一種業已成熟的假設檢驗方法，其用途非常廣泛。該方法可以用于獨立數據，也可以用于相關數據，可以用于參數的假設檢驗，也常用于非參數的假設檢驗。對于簡單假設的檢驗，奈曼—皮爾遜引理證明了似然比檢驗是最優檢驗。對于非簡單假設，最優檢驗往往不存在。而對于最優檢驗不存在的情形，似然比檢驗常常也是表現最佳的。目前數理統計教材和教學中，對于似然比檢驗法極少提及，只有個別教材中有基本概念和一、兩個例子。為了方便學生后續的學習和實踐，我們建議增強這一方面的教學內容。

例如，我們可以在參數的假設檢驗教學內容中，增加參數似然比檢驗法介紹。具體地，設總體密度函數為f（x，θ），θ∈Θ，檢驗參數假設為

設x1，x2，…，xn為來自該總體的一組樣本，可構造似然比檢驗統計量為

式中：L（θ）為似然函數。

若H0成立，則上式中分子的值與分母的值應該差異不大。若H0不成立，則上式中分子的值將遠大于分母的值。所以，檢驗的拒絕域取為

式中：c 為某個常數，使得

式中：α 為檢驗的顯著性水平。

在目前的數理統計教學中，關于參數的假設檢驗，我們主要講解了一個正態總體的均值和方差的假設檢驗，以及兩個正態總體均值差和方差比的假設檢驗。這些假設檢驗中用到檢驗統計量時，都是直接給出的，沒有推導它們的由來。事實上，這些檢驗統計量，都可以由上述的參數似然比檢驗統計量Λ 推導得到。所以，我們可以考慮增加一個小節的教學內容，專門介紹用似然比檢驗法來做所有正態總體參數的假設檢驗。這樣，既可以使學生更加深刻地體會現有的假設檢驗方法，又可以讓學生掌握自己構造檢驗統計量的一般方法。

三、方法應用和算例教學內容拓展

（一）拓展的教學內容的方法應用

針對上述一、二部分拓展的教學內容，我們可以在方法應用部分進一步舉例應用這些方法，以便學生更加深入地理解和掌握這些方法。

1.針對相關數據參數估計拓展內容的應用

我們可以選擇將前面拓展的相關數據的參數估計方法應用到最簡單的一步線性相關模型中。具體地，一步線性相關模型可以表示為

式中：已知序列{εn}獨立同分布，且εn～N（0，σ2），|θ|＜1，μ，σ2，θ 是未知參數。

這個模型正好與目前數理統計教學中的經典內容——一元線性回歸模型相呼應。一元線性回歸模型使用的是獨立數據進行參數估計，而這個一步線性相關模型使用的是相關數據進行參數估計。

這時注意到該模型理論上的協方差函數為

應用前面介紹的參數估計的拓展內容，即使用相關數據參數的矩估計方法，就可以得到一步線性相關模型中未知參數的估計。也就是說，只要令一步線性相關模型中序列{Yn}的樣本均值n和樣本協方差（k），等于序列的理論均值μ 和協方差γ（k），就可以估計出模型中的三個未知參數μ，σ2，θ。

2.針對拓展的似然比檢驗法教學內容的應用

為了加強學生對似然比檢驗法的理解，我們可以在方法應用部分的教學中，舉一個似然比檢驗法用于對兩類模型做出選擇判斷的例子。具體地，我們可以利用目前數理統計教學內容中，已有的線性回歸模型來舉例。下面簡單地介紹這個方法的應用。

式中：εi，δi獨立同分布，且εi～N（0，σ2），δi～N（0，τ2），β0，β1，σ2，γ0，γ1，γ2，τ2為未知參數。

這時，似然比檢驗統計量取為

在H0成立的情況下，Λ 漸近服從自由度為1 的卡方分布，即Λ～χ2（1）。故在顯著性水平α 下，若，則拒絕H0，即選擇模型Yi=γ0+γ1xi+γ2zi+δi較合適。否則接受H0，即選擇模型Yi=β0+β1xi+εi較合適。

這個例子可以讓學生認識到，似然比檢驗法不但可以用于參數的假設檢驗，也可以用于非參數的假設檢驗，它是一個有著廣泛用途的重要方法。

（二）算例的拓展

1.加強與現實社會的聯系

數理統計課程教學內容偏于理論，需要通過舉例說明，才能讓學生真正理解和掌握這些理論和方法。目前數理統計教學中需要舉例說明的地方很多，從參數估計到假設檢驗，再到方法應用都大量存在。從教材上來看，一般的數理統計教材上的例題和習題都有一點年代久遠了，更新不多。因此，我們建議在舉例說明這方面，進一步加強與現實社會的聯系。這樣，既有利于提高學生的學習興趣，又能為學生理論聯系實際提供訓練基礎。

特別地，在方法應用部分，經典的數理統計教學內容包含方差分析和回歸分析兩部分。這里以方差分析為例來討論算例的拓展。現有的方差分析舉例說明主要是在經濟、生產等方面，實際上，該方法可以用于現實社會中各行各業的各種數據分析。比如，方差分析在醫學中就有著廣泛的運用，解決了很多重要的問題[8]。而這類運用，在目前數理統計教學中卻鮮少提及。所以，我們可以在這里考慮拓展一些醫學相關的例子。

具體地，我們可以針對某種醫學實驗結果數據，使用方差分析方法，找出對該實驗結果影響較大的那些因素。例如，表1 所示的一組數據，是在不同的縫合方法（因素A）、不同的縫合后的時間（因素B）下，得到的一組醫學實驗結果。該實驗結果是用神經縫合后的軸突通過率來表示的。使用方差分析法就可以得到，不同的縫合方法或者不同的縫合后的時間及它們的交互效應對實驗結果，亦即軸突通過率是否有顯著性影響的結論。

表1 不同縫合方法和不同縫合后時間下的軸突通過率 %

2.充分利用統計軟件

數理統計目前的教學內容中幾乎沒有提到如何使用統計軟件來實現各種方法的數據計算或者圖形演示等。事實上，現在幾乎所有數理統計教學內容中方法的計算，都可以借助計算機和統計軟件來實現[9]。

例如，像上面提到的方差分析，在實際中都是用統計軟件來實現的。因為實際中的數據往往比較多，無法用手算來實現。所以，適當地增加各種數理統計方法對應的統計軟件操作介紹，有利于學生未來在實際問題中運用這些方法。

又例如，課堂上介紹某個結果時，若用統計軟件演示一下這個結果，可以讓學生印象更加深刻，也使知識點變得生動有趣。比方說，正態性檢驗中比較直觀的判斷方法，就是看數據的直方圖和qq 圖。正如圖1 和圖2演示的那樣，我們可以在教學時使用eviews 軟件來實現這一操作。

圖1 和圖2 分別演示的是某組數據{Wn}的直方圖和qq 圖。從圖中可以看出，這組數據{Wn}是大致服從正態分布的。但是，只看圖形來判斷數據的正態性，顯然是比較粗糙、不夠準確的。所以，我們就自然地引導學生進一步學習更為精準、細致的方法了。

圖1 某組數據{Wn}的直方圖

圖2 某組數據{Wn}的qq 圖

可見，隨著計算機和統計軟件的發展，我們應該將這一部分知識適當地引入數理統計教學中，從而避免數理統計教學內容與時代的發展脫節。

四、結束語

綜上所述，我們除了可以在現有數理統計教學內容基礎上，在參數估計部分增加相關數據參數估計的內容，在假設檢驗部分加強似然比檢驗法的介紹，在方法應用部分補充前面增加的知識的運用外，我們還建議加強數理統計教學內容中各種例子與現實社會的聯系，以及統計軟件的使用等。

總之，我們探討了在數理統計教學內容的主要方面：參數估計、假設檢驗和方法應用怎樣適當地拓展，以適應統計學科的發展和后續課程的需求。不斷調整和拓展現有的數理統計教學內容是一項必須而又重要的工作，我們這里只是做了一點初步的探討，拋磚引玉，希望與大家一起交流，共同促進數理統計教學的發展。