以中考題為例淺談分類討論在幾何動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用

張曉會(huì)

(廣東省中山市第一中學(xué) 528400)

對(duì)于幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，我們不妨借助作圖軟件，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所處的不同位置或者問題本身的可能性來做出相應(yīng)的圖形，進(jìn)行分類討論，再結(jié)合幾何語(yǔ)言進(jìn)行表述.這就要求我們首先找出整個(gè)動(dòng)點(diǎn)的范圍，和動(dòng)點(diǎn)位置改變所對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)，然后再結(jié)合題目條件和不同情形的圖形，應(yīng)用相關(guān)知識(shí)計(jì)算出所求的量.

本文以近三年中考?jí)狠S題為例，說明分類討論思想在幾何動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用，并作出變式輔以相應(yīng)的圖形進(jìn)行說明.

例1 (2018中山)如圖，已知Rt△OAB中，∠OAB=90°∠ABO=30°斜邊OB=4，將Rt△AOB,繞點(diǎn)O順時(shí)針旋60°，連接BC.

圖1

(1)∠OBC=____°；

(2)連接AC，作OP⊥AC垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；

(3)點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OBC邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，記運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y可取得最大值？最大值是多少？

圖2 圖3 圖4

本題考查了直角三角形、旋轉(zhuǎn)以及二次函數(shù)最值問題等的相關(guān)知識(shí)，也可以相應(yīng)改變圖形和一些條件做相應(yīng)變式練習(xí)，將“∠ABO=30°”改為“∠ABO=45°”和將“Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋60°”改為“Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋45°”，其余條件不變，依次求上述三個(gè)問題.

例2(2019中山)如圖5，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)．

圖4 圖5

(1)當(dāng)t=2時(shí)，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；

(3)是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(1)證明：略．

圖7 圖8

③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如圖8所示．

本題考查了菱形、三角形面積、二次函數(shù)最值、勾股定理等的相關(guān)知識(shí)，也可以改變圖形和一些條件做相應(yīng)變式練習(xí)：將“AB=AC”去掉，將“BC=10cm”改為“BD=4cm，DC=6cm”，其余條件不變，依次求上述第二、第三個(gè)問題.

圖9 圖10

(1)求b，c的值；

(2)求直線BD的函數(shù)解析式；

(3)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上．當(dāng)△ABD和△BPQ相似時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

由以上幾個(gè)中考題不難看出，幾何動(dòng)點(diǎn)問題經(jīng)常會(huì)用到分類討論這一數(shù)學(xué)思想，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中不僅要注意學(xué)生基本的運(yùn)算、推理能力的培養(yǎng)，更要有意識(shí)、有目的、有步驟地培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力和思考能力，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密邏輯性，進(jìn)而形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.