基于“模型認知”的小學數學深度學習

王長友

［摘? 要］ 學生對模型的認知，是逐步清晰、逐步深化的過程。在小學數學教學中，教師要創設情境，激活學生認知，引導學生建構數學模型，并對數學模型進行意義賦予?；凇澳Ｐ驼J知”，教師可以引導學生進行深度學習。數學建模不僅是一種意識，還是一種能力、一種素養。基于“模型認知”的數學深度學習，能不斷提升數學學習力，發展學生的數學核心素養。

［關鍵詞］ 數學模型；模型認知；深度學習

模型是人認識世界的基礎，一個人在學習中儲備的模型越豐富，他解決現實問題的能力就越強?；凇澳Ｐ驼J知”，教師可以引導學生進行深度學習。學生對模型的認知，是逐步清晰、逐步深化的過程。所謂“數學模型”，是指“將事物的特征、關系等抽象、提煉出來，用數學語言來概括、描述的一種結構”。廣義地說，一切的數學概念、法則、定理等都是數學模型。所謂“數學建?！保侵浮敖祵W模型并用它解決問題的過程”。數學建模不僅是一種意識，還是一種能力、一種素養。

[?]一、創設情境，匹配“數學模型”

數學模型，按照認識過程，可以分為描述性模型和解釋性模型；按照模型對象，可以分為概念性模型、方法型模型和結構性模型。在數學教學中，教師要創設情境，注意要讓學生匹配數學模型。換言之，情境要具有一種適切性，能催生學生的建模內需，引發學生的建模興趣，激發學生內在的認知沖突，引導學生積極主動地建模。

創設情境，就是要從學生數學學習的“最近發展區”出發，引導學生從現實向數學進行有效過渡。好的數學建模離不開情境，更離不開關聯數學與現實問題。由于小學生的生活經歷比較有限，因而對一些實際問題的認識比較模糊，容易被紛繁復雜的現實干擾。情境就是對現實問題的簡化、純化。置身于情境之中，學生應當能提出問題、分析問題。比如教學“相遇問題”，教師就必須創設情境，以便學生能在情境中感知、感受到相遇問題的特征，進而通過分析建構出關于相遇問題的數學模型。我們知道，現實中的相遇問題是復雜的，還有許多干擾因素，而情境中的相遇問題往往舍棄了許多非本質性的、干擾性的因素，僅僅呈現與相遇問題相關的一些量。顯然，情境較之于現實更數學化一些。當然，教學中，教師也可以創設更貼合生活的情境，讓學生從情境中自主地選擇一些條件，并借助這些條件解決問題。

情境認知是一種介于現實認知和數學認知中間的一種認知。教學中，教師可以借助情境，引導學生與現實互動、與數學互動。通過情境，假設現實與數學之間的關聯。在數學教學中，教師要根據數學知識的特質以及學生的具體學情，精心設計情境，讓情境真正成為學生數學建模的重要載體與媒介。

[?]二、激活認知，提煉“數學模型”

“認知沖突”是激活學生數學思維，促進學生思維碰撞，生成學生原有認知的重要手段。在小學數學教學中，教師要激活學生的原有認知，讓學生的原有認知與新知之間產生認知沖突。激活學生的認知，要引導學生用數學化的眼光觀察，用一般化的思維概括，用結構化的視角審視。只有激發了學生的認知沖突，才能誘發學生參與、融入數學新知的再創造過程中。

激活學生的認知，就是要讓學生用數學化的方式來對相關內容進行表征，引導學生經歷從“境”到“型”的過渡。激活學生的認知，一般有兩種方式：其一是引導學生感知，其二是引導學生操作。比如教學“間隔排列”這一部分內容，筆者先呈現日常生活中的一些現象，比如電線桿的間隔排列、地磚的間隔排列、絲綢花紋的間隔排列等，從而豐富學生的感知。接著引導學生觀察：兩端物體是什么？中間物體是什么？引導學生思考：兩端物體相同，兩端物體和中間物體之間有怎樣的關系？兩端物體不同，兩端物體和中間物體之間有怎樣的關系？在感知的基礎上，引導學生操作：擺一擺，讓兩端物體比中間物體多一個；擺一擺，讓兩種物體的個數相同。通過感知、操作，有效地架構學生的已有知識與數學新知的關聯。由此激活了學生的認知，引導學生經歷了數學知識的再創造過程，就能讓學生自主建構數學模型。這樣建構的數學模型與學生的生活、實踐有著密切的關聯，因而這樣的模型是有生命力的模型。

經歷數學知識的再創造建構數學模型，教師要有意識地將學生的已有知識經驗融入其中，從而引導學生將數學模型建好、建深。借助數學模型，學生能更深入地理解數量之間的關系，能解決更多的數學問題。同時，在數學建模的過程中，能有效地發展學生的思維能力、實踐能力。

[?]三、意義賦予，豐富“數學模型”

當一個數學模型建立以后，教師可以引導學生針對這樣的數學模型進行意義賦予。所謂“意義賦予”，就是“給一個抽象的數學模型以現實性的意義”。借助數學模型，學生零散的、瑣碎的數學知識就能有效地整合，相關的現實問題就能得到生動的詮釋。數學模型是對現實生活中的一類現象的概括，因而其具有一定的概括性。如果說，建構數學模型是對現實的抽象、提純，那么，意義賦予就是對數學模型的應用，就是促進學生應用數學模型對相關問題解決進行遷移。

盡管學生掌握的數學模型是有限的，但教師在教學中完全可以利用有限的數學模型，激發學生的想象，因為學生的想象力是無限的。學生喜歡異想天開，這對數學模型進行意義賦予是十分有益的。作為教師，要調動學生進行數學模型意義賦予的積極性，發掘學生對數學模型進行意義賦予的創造性，鼓勵、激發學生對數學模型的意義賦予。比如教學“相遇問題”，在引導學生建構出相遇問題的數學模型——“速度和×相遇時間=路程和”這一部分內容之后，學生積極主動地舉例并說明這一模型的應用，這就是學生對數學模型進行意義賦予的過程。如有學生說，甲、乙兩輛車同時從A、B兩地出發，相向而行，已知兩輛車的速度，它們經過多長時間相遇？有學生說，甲、乙兩輛車同時從A地出發，相背而行，已知兩輛車的速度，經過多長時間兩車相距多少千米？有學生說，兩輛車在一條環形的公路上行駛，從同一點出發，相背而行，已知兩輛車的速度，經過多長時間兩車可以相遇？同一個數學模型，激發了學生的無限想象力，讓學生生發出不同行駛路徑、不同行駛方向等的現實解釋。這樣的意義賦予，不僅能培育學生的數學思維、想象，而且能促進學生對數學模型的靈活應用。

值得注意的是，學生的“意義賦予”有可能會出現一些偏差，甚至會出現一些錯誤。在小學數學教學中，教師要抓住學生閃光的地方多加激勵、表揚，從而對學生的數學意義賦予進行鼓勵，而對于學生的錯誤，教師要委婉地進行批評，引導學生認識到錯誤的本質，從而規范學生的意義賦予。在這個過程中，學生能更深刻地認識數學模型。

[?]四、協同會話，評價“數學模型”

當學生建構數學模型之后，教師還要引導學生反思數學模型、評價數學模型。教學中，教師要引導學生協同會話，了解彼此對數學模型的闡釋，從而逐步學會評價數學模型。在評價的過程中，學生能不斷地比較每一個數學模型的優點、缺點，從而對彼此的數學建模進行點評，了解其中的缺點和優點。這樣的協同會話，能促進學生數學學習力的提升，促進學生數學核心素養的生成。

建構數學模型之后，只有引導學生協同會話，才能提升學生的凝練、解釋能力，從而讓數學模型不斷完善。尤其對于數學模型中需要彌合的地方，教師更要引導學生進行深度研討。比如教學“梯形的面積”這一部分內容，在引導學生建構了梯形的面積計算模型之后，筆者引導學生評價模型。學生聯系自己的已有知識經驗，從各個視角展開評價。有學生說，可以將平行四邊形看成特殊的梯形，也就是梯形的上、下底相等，這樣，梯形的面積計算模型也適用于平行四邊形的面積計算；有學生說，可以將三角形看成特殊的梯形，也就是梯形的上底為0，這樣，梯形的面積計算模型也適用于三角形的面積計算；還有學生說，梯形的面積計算模型可以演變成我們已經學習的長方形、正方形、平行四邊形、三角形等圖形的面積計算模型，梯形的面積計算模型的本領真大?。≌窃趯μ菪蔚拿娣e計算模型評價的過程中，學生對梯形的面積計算模型有了更為深層次的認知。

數學模型是人類認識世界、改造世界的重要工具。在小學數學教學中，教師要以學生的已有認知作為模型建構起點，引導學生提煉、概括、建構、豐富、評價數學模型。作為教師，要擁有數學建模的眼界，引導學生超越素材、情境的表面。不僅要引導學生建構數學模型，還要引導學生應用數學模型、創新數學模型?；凇澳Ｐ驼J知”的數學深度學習，能不斷提升數學學習力，發展學生的數學核心素養。