對分課堂在高等代數(shù)課程教學中的實踐與探索

吳校良，孫 飛，牛英春，田 楊

（1.內蒙古民族大學，內蒙古 通遼 028043；2.通遼職業(yè)學院師范教育系，內蒙古 通遼 028000）

高等代數(shù)是數(shù)學類專業(yè)的一門基礎核心課程，該課程對于后繼課程的學習有很大的影響。高等代數(shù)課程的特點是比較抽象、理論性比較強。傳統(tǒng)的高等代數(shù)課堂主要以講授為主，學生參與性較差，不利于學生主動學習、發(fā)現(xiàn)問題、勇于思考、合作交流等能力的培養(yǎng)［1-2］。

首先介紹了對分課堂，并以文獻［3］中第6章第5節(jié)“線性子空間”為例，展示了在對分課堂教學理念下如何進行教學設計、教學實踐情況以及教學效果分析，最后對應用對分課堂需要注意的事項進行了說明。

1 對分課堂教學模式

1.1 對分課堂介紹［4-5］對分課堂是復旦大學張學新教授于2014年基于腦科學與學習科學創(chuàng)立的本土教學新模式，其核心理念是將課堂時間對半分，一半給老師講授，一半給學生討論，并且將講授與討論的時間錯開。這種教學模式將傳統(tǒng)的講授式教學、學生自學、小組合作和師生互動等形式結合了起來［2-4］。對分課堂承繼傳統(tǒng)文化，創(chuàng)新教育理念，構建有效方法，顯著增強學生的學習積極性和主動性，提升教學效果。對分課堂自提出之日起就迅速在全國高校及中小學傳播開來［2］。通過長期的教學實踐，筆者認為高等代數(shù)課程教學可以采用對分課堂教學模式，融入對分課堂教學理念。

1.2 對分課堂的基本流程［5-7］見圖1。

圖1 對分課堂基本流程Fig.1 Basic process of PAD class

1.3 對分課堂教學模式的特點［5，8］（1）對分課堂普適性強，既能用于文科，也能用于理工科；既能用于理論課，也能用于實踐課；既能用于高等院校，也能用于中小學校；既能用于小班授課，也能用于大班授課。（2）對分課堂操作簡單，容易上手。老師在接受培訓后甚至是了解對分的操作流程后就能在自己的課堂上實踐。對分課堂可以單獨使用，也可以結合線上平臺進行使用。（3）對分課堂能顯著提升學生學習的主動性，個性得到發(fā)展，合作交流能力得到提升。（4）對分課堂在講授和討論之間留有一定的時間間隔，利于學生消化吸收，同時為討論做好充分的準備。（5）“亮考幫”作業(yè)是對分課堂的一個特色，是對所學知識的有效梳理，也為開展小組討論做好準備。其中，“亮”是指學生寫出自己能掌握、比較擅長的知識內容，在小組討論環(huán)節(jié)在小組內進行展示；“考”是指針對自己擅長的知識提出一個問題，考考小組同學；“幫”是指學生沒有掌握、存在疑問的內容，在小組討論中尋求同學幫助。

1.4 高等代數(shù)對分課堂環(huán)節(jié) 根據(jù)高等代數(shù)課程的特點，建議主要采取隔堂對分的形式，也就是把講授與討論錯開，把講授放于一次課的第二小節(jié)，把討論放于下一次課的第一小節(jié)。

教師在課堂應當把課程微視頻、課件、鏈接等資料發(fā)布到學習通平臺，并明確指出教學目標與具體要求，布置好小測驗和作業(yè)。

（1）課堂講授：教師講框架，講重點，根據(jù)學生程度適當留白。（2）內化吸收：閱讀教材，完成課堂留白，完成小測驗，完成作業(yè)，完成“亮考幫”。在此環(huán)節(jié)，教師要及時查看學習通小測驗和作業(yè)情況，分析存在的主要問題，并在下次課及時反饋給學生。（3）小組討論：教師回顧主要內容，學生分組討論，教師抽查，學生自由發(fā)言，教師總結。在此之后，教師可根據(jù)實際情況就重點內容安排1~2道題目進行隨堂測驗。

2 教學設計

2.1 教學目標設計 （1）了解線性子空間的概念、生成子空間的概念和相關結論。（2）掌握線性子空間的判別方法，并能求出一些特殊子空間基和維數(shù)。（3）了解基的擴充定理的內容及其證明思路。（4）培養(yǎng)學生自主學習、歸納總結、合作共享的意識和能力。（5）培養(yǎng)轉化的解題思想與方法。

教學重點：掌握子空間的判別方法。教學難點：不同類型子空間基與維數(shù)的求法。

2.2 教學方法設計 采用對分課堂教學模式，即“講授+內化吸收+討論”，教師先進行知識的精講，學生課后內化吸收，完成課后任務，下節(jié)課第一節(jié)進行小組討論。

2.3 講授環(huán)節(jié)設計 （1）線性子空間的概念與判別方法。首先復習線性空間的概念，并從集合角度比較線性空間P[x]和線性空間P[x]n，從而引出線性子空間的概念。

定義1數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集W稱為V的一個線性子空間（或簡稱子空間），如果W對于V的兩種運算也構成數(shù)域P上的線性空間。

對于線性空間V的非空子集W，線性空間V中的兩種運算所滿足的一些規(guī)律在W中自然成立，由此引出線性子空間簡化的判別方法。

定理1設W是線性空間V的一個非空子集，則W是V的一個子空間當且僅當W對于V兩種運算是封閉的，即① ?α,β∈W，有α+β∈W；② ?α∈W,k∈P，有kα∈W。

對于該定理，教師并不書寫詳細的證明，留給學生補充。

通過例題鞏固判別方法。

例1設A是數(shù)域P上的s×n矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的所有解的集合W是線性空間Pn的子空間，稱為是齊次線性方程組AX=0 的解空間。并且齊次線性方程組AX=0 的基礎解系就是其解空間的一組基，維數(shù)為n-r，其中，r是矩陣A的秩。

對于例1，教師從齊次線性方程組解的性質給予解釋，詳細過程留給學生書寫。

（2）生成子空間的概念與性質。

定義2設α1,α2,…,αr是線性空間V中一組向量，這組向量所有可能的線性組合所成的集合記為

則它是V的一個子空間，稱其為由生成元α1,α2,…,αr生成的子空間。

根據(jù)子空間對兩種運算的封閉性以及基的判別方法可得：

推論1L(α1,α2,…,αr)是線性空間V的包含α1,α2,…,αr的最小子空間，即如果子空間W包含α1,α2,…,αr，則L(α1,α2,…,αr)?W。

推論2線性空間V任何一個有限維子空間W都是生成子空間。

定理2①兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價。②L(α1,α2,…,αr)的維數(shù)等于向量組α1,α2,…,αr的秩，而它的一組基就是α1,α2,…,αr的一個極大線性無關組。

對于②，教師引導學生回顧基的定義和極大無關組的定義，通過比較得到結論。

例2在線性空間P3中求子空間L(α1,α2,α3,α4)的基與維數(shù)。

通過例2，鞏固定理2結論，進一步強化子空間基的求法。教師帶領學生回顧極大無關組的求法，完成題目的解答。

（3）基的擴充定理。由子空間的定義可知，子空間的維數(shù)不能超過原線性空間的維數(shù)，由子空間的基出發(fā)，可以得到線性空間的一組基。

定理3設W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間，α1,α2,…,αm是W的一組基，那么這組向量必可擴充為整個線性空間V的基。也就是說，在V中必定可以找到n-m個向量αm+1,αm+2,…,αn使得α1,…,αm,αm+1,…,αn是V的一組基。

教師首先從逐個添加的角度進行直觀的解釋說明，再利用數(shù)學歸納法給出完整嚴密的證明。

最后，教師再通過例題鞏固本節(jié)的重點，突破難點。

例3設。（1）證明W是線性空間P2×2的子空間。（2）求W的基和維數(shù)。

分析：（1）利用定理1證明W是子空間（證明留給學生）。（2）利用基的判別方法：W中一組線性無關的向量，且W中每個向量都能被這組向量線性表示。

考慮取出線性空間P2×2的一組基：

則W中每個向量都可以由E11,E12,E21,E22線性表示，

顯然E11,E12,E21,E22線性無關，且可以表示W中的每個向量。

思考：這能說明E11,E12,E21,E22是子空間W的一組基嗎？如果是，請說明為什么，如果不是，請給出子空間W的一組基。

思考部分的解答留給學生課后作業(yè)完成。

（4）總結與布置作業(yè)。總結本節(jié)主要內容：子空間的概念與判別定理；生成子空間的概念與性質；基的擴充定理。

布置課后任務：①通讀教材本節(jié)內容，補充完整課上的留白，可以到學習通觀看課程視頻。②完成學習通本節(jié)客觀題測驗（主要針對概念與相關結論）。③完成學習通作業(yè)，包括完成“亮考幫”的書寫，完成一道子空間的證明，完成課上例3的解答，完成教材課后習題第15題的解答（選做）。

2.4 課后內化吸收環(huán)節(jié)設計 學生完成教師所布置的任務（閱讀教材、補充留白、測驗、作業(yè)、“亮考幫”）。

2.5 小組討論環(huán)節(jié)設計 ①小組討論：學生按課前分組開展討論大約20分鐘。②全班交流：在小組討論結束后教師提問2~3 組同學匯報討論情況或存在的問題，大約5 分鐘，再讓3~4 名同學自由發(fā)言，大約7分鐘。對于存在的問題，可以由老師解答，也可以由同學解答，最后老師做總結，大約5分鐘。③重點內容隨堂測驗設計：教師在學習通發(fā)放事先準備好的測驗題目，學生完成后拍照提交，大約8分鐘。

以上是文獻［3］中“線性子空間”一節(jié)在對分課堂模式下簡略的教學設計，具體實踐情況及效果如下。

3 教學實踐及效果分析

3.1 講授環(huán)節(jié)及效果分析 學生參與比較積極，聽課率較高。全班41名同學，只有1名同學有注意力不集中的表現(xiàn)。

相比于傳統(tǒng)兩小節(jié)講授的模式，對分課堂模式下講授環(huán)節(jié)只有一小節(jié)，學生在心理預期上能接受，壓力不大。同時，由于上一小節(jié)是小組討論，學生大腦處于興奮的狀態(tài)，不易產生困倦。另外，本節(jié)內容難度不大也是原因之一。

3.2 內化吸收環(huán)節(jié)及效果分析 教師可以通過學習通后臺觀測到全班學生小測驗及作業(yè)完成情況。

小測驗完成率較高，全班41人，有39名同學按時完成測驗，平均成績?yōu)?0.5分。由于事先告知小測驗不計成績，所以學生無負擔解答，基本能反映出實際水平。

全班41人，全部按時提交作業(yè)。作業(yè)中證明子空間的題目，按照步驟解答即可，比較容易，完成率較高；求子空間的基的題目在課堂上老師進行過思路分析，但需要進一步分析整理，難度中檔，完成率略有下降；課后習題第15 題難度偏大，計算量也較大，只有少部分同學進行了解答，完成率較低；書寫“亮考幫”難度不大。由于中低檔難度的作業(yè)一定是本節(jié)的重點內容，極有可能在隨堂測驗、單元測驗中出現(xiàn)類似的題目，而隨堂測驗、單元測驗要計入成績，所以學生會比較重視。

全班41人，根據(jù)需要有15人觀看了學習通中部分視頻，觀看率較低，這與本節(jié)內容難度不大有一定的關系。

3.3 討論環(huán)節(jié)及效果分析 全班41人，按座位就近分成10組，每組3~5人，除1名學生外其他同學都能參加討論，狀態(tài)較好。學生討論期間，教師教室內走動，適當旁聽各小組討論。教師不主動參與小組討論的內容，但對于小組的求助要給予適當指導，發(fā)現(xiàn)對概念的錯誤理解要及時指出。

在學生討論20分鐘后，教師提問了2名同學，另有4名同學自由發(fā)言。下面分享兩位同學發(fā)言時師生、生生交流情況：

學生A（教師點名發(fā)言）：“我們小組主要通過互相提問復習了子空間的概念和判別方法，并且就小測驗和作業(yè)內容進行了討論，解決了一些模糊的認識。現(xiàn)在面向全班提一個我們在討論中已經解決的問題：在證明子空間的時候是否需要驗證這個子集是非空的，如何去驗證？”這個問題難度不大，教室安靜大約10秒后，就有同學回答：“必須驗證，因為定義要求是非空子集，對于如何驗證不是空集，這很簡單，那就是驗證原線性空間的零向量在這個子集中就可以了。”對于這個回答學生A給予了肯定。老師對這個問題又進行了追問：“原線性空間的零向量為什么一定在這個子集中呢？會不會有不在的時候？”全班安靜。最后還是學生A進行了回答：“這是因為要證明這個非空子集是子空間，所以子空間也一定有零向量，而由性質可知，原線性空間的零向量和子空間的零向量是相同的。”

學生B（學生自由發(fā)言）：“我們小組有一個問題，對于作業(yè)中的子空間，能否直接猜出它的維數(shù)呢？”老師環(huán)視全班，一個同學回答：“我知道它的維數(shù)不超過4，因為原線性空間的維數(shù)是4，子空間的維數(shù)自然不能超過4。”學生B的問題，稍有些難度，沒接觸過的同學不好回答，但在作業(yè)中也有同學是先寫出了維數(shù)是2，再求子空間的基。對這個問題老師給予了正面解答：“由于作業(yè)題比較特殊，我們可以從其構成初步判斷維數(shù)；我們先看原線性空間的一般元素，這個矩陣中4個位置上的數(shù)彼此是沒有關系的，就是說任意取值，有4個獨立的位置，而線性空間P2×2恰好就是4維的。對于子空間中的一般元素，發(fā)現(xiàn)4個位置上的元素只有兩個是獨立的，任意取值的，所以可以初步判斷維數(shù)為2，但要注意這并不是嚴格的推理；另外，對于一些復雜的子空間，是無法猜測其維數(shù)的，比如教材習題第15題。”

提問和自由交流之后，老師進行了總結提升：在證明推理中要注意嚴謹性，有理有據(jù)；同時指出作業(yè)中容易犯的一個錯誤是誤認為原線性空間的基E11,E12,E21,E22也是子空間的基，錯誤的根源在于沒有驗證這組向量是否在子空間之中，而只是注重了基的判別定理的形式；另外，這個作業(yè)題也提示我們，在尋找子空間的基時可以考慮從原線性空間的基出發(fā)。

在小組討論之后，教師安排了重點內容測驗。課后經查看學生提交情況，有90%以上的同學能完整地書寫解答過程。

小組討論能順利進行，這主要是由于前面有內化吸收、課后小測驗、作業(yè)、“亮考幫”的充分準備，學生有備而來，有可討論的話題。

4 高等代數(shù)對分課堂需要注意的問題

4.1 精心備課，合理留白 在課堂講授階段，教師要根據(jù)學生的實際能力和教學內容來安排哪些內容不講，哪些內容講，講到什么程度，這對教師提出很高的要求。高等代數(shù)課程內容是十分抽象的，教師要逐步培養(yǎng)學生的抽象思維能力，難度大的問題教師要詳細講，一般難度的問題教師主要提點思路或給出部分解答，較容易的問題教師要留給學生完成。

4.2 布置分層作業(yè)，獨立完成測驗 對于書面作業(yè)，盡量分層布置，不同程度的學生可以完成不同層次的作業(yè)，讓每位學生都有不同程度的成就感。要注意強調課后的小測驗不計成績，隨堂的小測驗計成績，其目的是讓學生能獨立完成課后小測驗，重視隨堂測驗，提升教學效果。“亮考幫”是討論順利進行的保證，應要求學生認真完成，但不必追求“亮”“考”“幫”中問題的數(shù)量。

4.3 自由討論，解決個性問題 在小組討論中不必特意要求學生提出討論高難的問題，只要有討論，就有思考，就有收獲，就能解決個性的問題，就能培養(yǎng)合作交流能力和解決問題能力。

對分課堂容易上手，易于操作，但是針對不同的課程與學生還要靈活掌握，有針對性進行調整，以取得更好的教學效果。