課程思政背景下微積分基本公式教學設計

董 瑩 王書臣 蘇詩雯

（1.大連民族大學 理學院預科教育學院 遼寧大連 116605；2.東北大學 馬克思主義學院 遼寧沈陽 110167）

《高等學校課程思政建設指導綱要》明確指出：“要在課程教學中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學精神的培養結合起來，提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力。理學類專業課程，要注重科學思維方法的訓練和科學倫理的教育，培養學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感[1]。”微積分的課程思政包括認識論與辯證法、數學文化與人文素質、愛國主義教育與人格完善[2]。在課程思政背景下，講授微積分的教師應從這三個方面認真挖掘每一課節中的思政元素，設計好課堂思政目標和相應的教學策略，才能把課程思政落實到每一節課。

微積分中充滿著辯證法，恩格斯指出：微積分“本質上不外乎是辯證法在數學方面的運用”[3]。微分學解決的基本問題是非均勻量的變化率問題，而積分學解決的基本問題是連續變化過程中的非均勻量的總和問題，二者表面上關聯不大。微分作為微分學的基本概念，在導數的基礎上，成功地解決了直與曲的矛盾（微分的實質就是用曲線的切線研究曲線的性質），解決了直與曲的矛盾之后，定積分的概念自然生成了。所以，微分是溝通微分學與積分學的橋梁和紐帶。此外，從微積分基本公式的外在形式來看，左端是定積分，是個極限值，而右端是某個函數的函數值之差，這也從一個角度反映了無限與有限之間的對立統一，矛盾著對立著的雙方，無不在一定的條件下相互轉化，這正是辯證唯物主義的對立統一規律。

中國古代數學家劉徽的割圓術和沈括的會圓術最早地使用了“以直代曲”和極限的思想。這也是微積分的萌芽思想，“近似替代”和“取極限”是定積分概念中的關鍵兩步，本節課是上節課的延續，還應該繼續重復一下，加強對中國傳統文化的認知，提升民族文化的自信和愛國主義情愫[4]。

微積分學基本公式就是微積分課程中非常特色及典型的一部分內容。它不僅提供了計算定積分的一種簡捷有效方法，更重要的是它揭示了導數和定積分之間的內在聯系，從而揭示了微分與定積分的互逆關系，從此，微分學和積分學形成了一個有機整體。下面我們就在課程思政的背景下對該部分內容的教學作以全面的設計。

一、教材分析

微積分學基本公式就是微積分課程中非常特色及典型的一部分內容。它不僅提供了計算定積分的一種簡捷有效方法，更重要的是它揭示了導數和定積分之間的內在聯系，從而揭示了微分與定積分的互逆關系，從此，微分學和積分學形成了一個有機整體。從學習的角度看，為后面的學習（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）奠定了基礎。因此，它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用。

二、教學目標

【知識目標】了解積分上限函數以及其性質，熟練掌握和應用微積分學基本公式。

【能力目標】培養學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力。

【思政目標】了解微積分基本公式的數學文化發展歷史，學會用聯系和辯證的觀點看問題，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。培養積極探索、堅持不懈的科學精神。

三、教學重難點

【重點】認識積分上限函數。熟練運用微積分學基本公式計算定積分。

【難點】會利用原函數存在定理的思想計算相關例題，本節定理及公式的證明。

四、教法與學法

【教法】培養學生數學理性思維，掌握科學探索的基本方法也是高等數學課程思政的基本任務之一。因此，本節課采用引導啟發式教學法，在教師與學生的互動中構建新知識，掌握新方法。

【學法】“授之以魚，不如授之以漁”，注重發揮學生的主體性，讓學生在學習中學會怎樣發現問題、分析問題、解決問題。

【教學手段】黑板教學和多媒體輔助教學相結合。

五、教學過程

1.復習提問設題引入

其含義是：

英文中求和一詞是Sum，將S拉長變成了∫，就記成了積分符號。顯然，該符號從外形到含義均表達了“求和”的含義，堪稱“形意兼備”。

則積分就可以歸結為求極限的問題。

當時我們是利用定義采取分割、代替、求和、取極限這四個步驟求得的這個結果。（設計意圖：特別強調近似替代中的“以直代曲”思想在劉徽的割圓術和沈括的會圓術中早已有之。）通過上節課的計算大家都有這樣的體會：這樣的計算，還是比較麻煩的。能不能有一種更簡潔的方法解決定積分的計算的問題呢？

【引例】：思考一個蘋果作自由落體運動的運動過程，設速度v=v（t）是時間間隔[T1，T2]上t的一個連續函數，在時刻t時物體所在位置為S（t）。求下落的蘋果在這段時間內所經過的位移？

由上節課我們的引例“求變速直線運動的路程”知：物體在時間間隔[T1，T2]內經過的路程可用速度函數表示為：

另一方面，這段路程還可以通過位置函數S(t) 在[T1，T2]上的增量S(T1) -S(T2)來表達，即

由于S′(t)=v(t)，所以我們觀察

（設計意圖：這種方法引入可激發學生的興趣和求知欲望。這個問題的解決將為歸納出微積分基本公式作鋪墊。）

2.探索新知充分準備

上面這個問題啟發我們猜想：對于任意一個一般函數f(x)，設F′(x) =f(x)，是否也有

要說明這一問題，我們就要討探討一下對于任意一個給定的一般函數，與它所對應的原函數之間具有什么樣的關系呢?（設計意圖：由引例歸納概括出公式能使學生的感性認識升華到理性認識，培養學生從特殊到一般的認知方法。）

從形式上看，如果我們能夠得到這個結論，那我們求定積分的問題就歸結為找原函數的問題。那么給定一個連續函數如何找它的原函數F(x) 呢？

這一特殊形式的積分有兩點應該注意：

因f(x)在[a,x]連續，該定積分存在。此時，為了明確起見，將積分變量x改用其他符號如t來表示，這是因為定積分與積分變量的選取無關。

（設計意圖：講述難點、引出一類特殊的函數。）

重要結論:

（原函數存在定理）函數f(x)在[a,b]上連續，

課上展開證明

定理的重要意義：

（1）肯定了連續函數的原函數是存在的。

（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系。使得定積分的計算有可能通過原函數來實現。

3.分析探究給出公式

接下來我們就證明并給出微積分學基本公式。

（利用上面的工具推導出微積分學基本公式。）

微積分學基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）：

f(x)在[a,b]上連續，F(x)是f(x)在區間[a,b]上的一個原函數則

該公式是由牛頓和萊布尼茲各自獨立提出的，所以我們稱它為牛頓萊布尼茲公式，同時這個公式是溝通微分學和積分學之間的橋梁，因此我們也稱它為微積分學基本公式。

這樣我們就找到了用f(x)的原函數（即滿足F′(x) =f(x)）的數值差F(b) -F(a)來計算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。（設計意圖：利用前面的準備知識證明出微積分學基本公式。）

4.動手實踐強化提高

運用微積分基本公式這個問題用幾秒鐘的時間很快就被解決了，事實上，歷史上人類利用了一千多年的時間才完成了這個問題的計算。（設計意圖：熟悉公式、學以致用。對課前提出的問題加以解決。）

例2.汽車以每小時36公里的速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=-5米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。

當t=0時，汽車速度v0=36公里/小時=米/秒=10米/秒，剎車后汽車減速行駛，其速度為v（t）=v0+at=10-5t。

當汽車停住時，速度v（t）=0，故從v（t）=10-5t=0解得t=2秒。

于是在這段時間內，汽車所走過的距離是：

即在剎車后，汽車需走過10米才能停住。（設計意圖：生活中蘊涵數學知識，數學知識又能解決生活中的問題。該例題與生活密切聯系，讓學生感受數學在生活中的廣泛應用。）

5.課堂小結

我們簡單回顧一下這節課整體的學習思路，我們首先用一個極其簡單的例子推導出一個基本的形式，猜想出是否一般函數都有這個性質。在猜想的啟發下采取分析的思想構造出積分上限函數并證明了它是連續函數的原函數，從而進一步證明出了牛頓萊布尼茲公式。積分上限函數地給出就是為了證明微積分基本公式給出的一個全新的函數，給出這個函數就是一個重要的創新過程。整個推導微積分學基本公式的過程中我們可以看到是一個非常嚴密、完美的過程，我們不僅要接受數學的知識，還要接受數學的思想方法，更要學會欣賞數學的美。它就像一幅美麗的畫卷展現在我們眼前，讓我們充分體會到了數學是美的。（設計意圖：小結除了注重知識，還注重引導學生對解題思路和方法的總結，切實提高學生分析問題、解決問題的能力，并讓學生養成良好的學習數學的方法和習慣。）

本節主要內容：一個定義，一個定理，一個公式。

讓學生知道理解概念是關鍵，掌握公式是前提，實際應用是深化。

6.課后探究

由于積分上限函數在本節內容起了至關重要的作用，所以希望大家在課后探討一些有關它的習題。（設計意圖：進一步強化難點、為下一節課內容埋下伏筆。）

六、教學反思及探索方向

【反思】注重學生的表情變化、學生的討論形勢還比較單一。

【探索方向】教學過度環節設計要細致、教學期間為學生介紹數學史的知識。