基于提高學生解決動點問題能力的實踐探究

支飛斌

（杭州市建蘭中學 浙江杭州 310002）

一、成因剖析

動點問題是初中數學函數以及幾何題型常見的問題。因為動點問題將數學的基礎知識和基本技能完美結合，所以各省市在每年的中考題中都會出現動點問題。

從上表中不難看出，動點問題是當下的熱門考點，主要原因在于：動點問題是將數與代數和空間與圖形這兩塊體系的結合，也是體現數學素養考察的重點。以下是筆者從學生的知識體系、思想方法及運用實踐等方面表現出來的問題進行了分析歸納，發現學生解決動點問題存在以下幾個困難之處。

1.動點概念不成體系，學生思路混亂

筆者發現，浙教版的數學教材中沒有相關的章節對動點問題進行系統梳理，因而教師在教學中不會對其進行相關的概念教學，導致大部分學生在解決動點問題時思路混亂，究其根本，主要是知識體系不完整，如下是筆者對初中數學知識體系的整理：

從此表中，我們可以清晰地看出動點問題游離在知識體系框架之外，但它時時刻刻與每一個知識點緊密相連，這給學生造成了解決問題思路不清、無法快速找到突破口等難題。

2.動點情境錯綜復雜，學生無從下手

動點問題可以和數軸結合形成往返問題；可以和平面直角坐標系結合形成特殊的三角形、平行四邊形等存在性問題；也可以和函數結合形成最值問題或圖形面積問題；還可以和圓結合運用相似形成比值問題等等。因而對于壓軸的動點問題往往題干長、閱讀量大，對學生的綜合素養要求高，學生分理不清點的運動情境從而無從下手。

3.空間想象能力缺乏，學生考慮不全

在幾何動點問題中，往往對學生的空間想象能力要求較高，因而學生在明知需要分類討論時，卻因空間想象缺乏而畫不出對應的情景，導致無法分析這一類情況，最終導致失分。同時動點問題的動靜轉換較多，學生在分析問題的過程中，因沒有把握好“動態”與“靜態”之間的轉化關系，從而不能較全面地分析問題。

4.信心不足不敢嘗試，學生產生畏懼

學生認為自己的基本功不夠扎實，基本解題技能不夠熟練，基礎知識點不夠牢固，導致在解題過程中知其然不知其所以然，從而不知道該運用哪些知識或方法來解答。尤其是數形結合類型的動點問題，或者明確思路但因計算問題而導致后面的數據錯誤，造成失分。也有一些學生認為動點問題的運動路徑復雜，變化多樣，沒有經過針對性的訓練，因而心里會有恐懼感，多次對于動點問題的不解決產生不敢下手的畏懼心理。

二、案例研析

筆者在教學過程中發現，七年級時學生已經開始接觸了動點問題，只是當時的動點問題主要是將動點放在數軸上進行考查，而這類考題將中點公式、字母表示數，相遇追擊知識點結合在一起，在教學用示意圖和方程結合，化繁為簡，收到事半功倍的效果。

1.精心設計一題一課，實現課堂滲透

筆者為了激發學生對動點問題產生興趣，滲透動點問題可以使用數形結合的思想，設計七年級動點問題的變式教學：

【案例1】：筆者從復習回顧—實例講解—學以致用—拓展提升—總結體會五個維度進行展開，在復習回顧中，筆者從數軸上兩點間距離與兩個點對應的數之間的關系、距離公式、數軸上的中點公式、運動表示四個方面進行回顧，在回顧舊知的同時又為探究問題做好鋪墊。

在實例講解—學以致用—拓展提升中筆者設計例題精講、變式教學，一共串起8個問題，讓學生在解決問題的時候深度體會問題解決的本質：

如圖.A、B、C三點在數軸上，A表示的數為-10，B表示的數為14，點C在點A與點B之間，且AC=BC.

（1）求A、B兩點間的距離；

（2）求C點對應的數；

（3）點P為數軸上一動點，其對應的數為x，數軸上是否存在點P，使點P與點A、點B的距離之和為30？若存在，請求出x的值，若不存在，請說明理由；

（4）A、B兩點同時相向運動，A的速度是1個單位長度/s，B的速度是3個單位長度/s，假設運動的時間為t秒，求相遇點時的時間及對應點的數值。

（5）在（4）的條件下，A、B兩點到原點0的距離相等時，求t的值。

（6）A、B兩點同時向左運動，A、B保持速度不變，假設運動的時間為t，求B追上A時的時間及對應點的數。

（7）點P從B點以2個單位長度/s的速度向左運動（只在線段AB上運動），M為AP的中點，N為PB的中點，點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？若不變請求出MN的長。

（8）點P從B點以4個單位長度/s的速度向左運動，A、B速度保持不變，也同時向左運動，求t為何值時，點P恰好是AB的中點。

此模塊是本節課的重點和難點，通過基本問題到變式探究，讓學生經歷動點問題的產生和解決，體會在動點問題下的數形結合思想、分類思想、轉化思想等，讓學生感受用代數方法解決動點問題。

【總結】：通過專題課的學習，讓還在七年級的學生就能經歷、感受、體會到動點問題，在日常教學時將數學思想對學生進行無形的滲透，讓學生的思維得到鍛煉和培養之后，他們對此類問題就不會有畏懼心理，能更加坦然面對。

在教學方法上采用“一題一課”，它是專題課，針對動點問題具有非常強的實效性，在七年級進行了多次動點專題課后，學生對于這類問題沒有以前那么難以接受，能夠更加深刻地理解問題的本質，做題的時候也更加得心應手了。通過從七年級對學生進行數學思想的滲透，學生對于動點問題的興趣有了一定的提高，不再是會有畏懼心理，同時也會去動手嘗試。此外，班上也涌現一批對數學難題格外感興趣的學生，他們往往能碰撞出很多的思想火花碰撞而出。

2.借助畫板巧妙數學設計

動點問題的一大難點就在于它的過程是動態的，而題目往往是定格在某一時刻，因此完整展示這個動態的過程就尤為重要了，很多學生在拿到問題時候，腦海里沒有這樣的運動過程，此時我們就可以借助幾何畫板這個作圖軟件加以輔助，往往可以化抽象為具體，讓學生直觀感受。

【案例2】：在浙教版初中數學八年級上冊第二章《全等三角形》中，第一節內容軸對稱圖形中，有一個經典的問題：唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。”這首詩蘊含一個有趣的數學問題，一位將軍在河的一邊散步，他現在從A點準備到河邊飲馬，然后再回同側的營地B點開會，應該怎樣走才能使路程最短？從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。

我們先將實際問題抽象為數學模型：

直線l同側有兩個定點A、B，請在直線l上找一點P，使AP+BP最小。八年級的學生第一次遇到這個動點問題時，腦海里很難有直觀的圖像，那么此時老師可以借助幾何畫板，將P點的運動情況展示出來，學生通過動態展示就能快速將問題轉化，可以將兩點A、B放置在直線l的異側就好了，這樣我們就可以利用點到點最值模型：“兩點之間線段最短”找到點P的位置了。即連接AB交直線l于點P。

因此，我們可以找點A關于直線l的對稱點，連接A’B交直線l于點P，點P即為所求。

如果將軍在河邊的另外任一點P’飲馬，所走的路程就是AP’+P’B，但是AP’+P’B=A’P’+P’B>A’B=A’P+PB=A P+PB。故在點P處飲馬，路程最短。

【總結】：在日常教學中時，對于課本中出現含動點問題的例題或案例，可多借助幾何畫板進行動態展示，有利于學生直觀地發現滿足條件的情況，同時可視化復雜的數學問題，幫助學生理清解決問題的思路。同時提高學生的課堂參與度，讓學生體驗、理解、思考、探索這類動點的全過程，提高課堂效率的同時激發學生的學習興趣；另一方面，也可以讓學生先通過獨立思并求解，后動畫呈現點的運動過程，讓學生自己比對和校驗，是否存在漏解或多余解，在這個過程中去思考、分析、歸納數學思想和解題技巧方法，提升學生的推理能力。

3.化繁為簡化動為靜，利用基本模型

動點問題題型多樣、涉及的知識面廣，因此想要提高學生的數學思維品質、提升學生處理動點問題的能力，一方面，需要教師重視基礎圖形和基本技能的培養和訓練；另一方面，要“以靜制動”，抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變，把動態問題轉化為靜態問題來解決。

基本圖形和基本模型是初中幾何中非常好用的圖形，而大部分幾何問題都是由基本圖形組成，學生如果能掌握基本圖形和基本模型，那么將事半功倍。筆者將從這兩個方面來進行例舉：

【案例3】：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為長方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中點，點P在BC上運動，當△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則點P的坐標為___.

分析：此題是一個動點問題，它的核心點在于等腰三角形的構造，那么我們對此類動點問題的等腰三角形可以進行模型總結，兩圓一線模型：條件平面上兩定點A、B。要求：找一動點C，使△ABC為等腰三角形。要使△ABC為等腰三角形，那么有以下三種情況：

①AB=AC ②AB=BC ③AC=BC

第①種情況AB=AC，AB和AC有交點A（定點），要AB=AC就是平面上有兩點，這兩點到A（定點）的距離相等，距離為AB（定長），可以利用圓上每一點到圓心的距離相等來找點C。

第②種情況AB=BC，AB和BC有交點B（定點），要AB=BC就是平面上有兩點，這兩點到B（定點）的距離相等，距離為AB（定長），可以利用圓上每一點到圓心的距離相等來找點C。

第③種情況AC=BC，AC和BC有交點C（動點），要AC=BC就是平面上一動點到兩定點的距離相等，可以利用垂直平分線的性質（垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）。

那么基于此模型，我們對此題進行解答，過點P作PM⊥OA于點M.分三種情況討論：

①當OP＝OD時，如答圖，P點位于P1處，OP1＝5，OC＝4，易得CP1＝3，∴P1(3，4)；

②當OD＝PD時，如答圖，P點位于P2，P3處，P2D＝P3D＝OD＝5，P2M2＝P3M3＝4，易得M2D＝M3D＝3，從而CP2＝2，CP3＝8，∴P2(2，4）或P3(8，4).

綜上，滿足題意的點P的坐標為（3，4）或（2，4）或（8，4).

【透視】：在動點問題中，善用總結的模型，借助模型解決基本問題，把動態問題轉化為模型問題來解決。

【案例4】：在我們的隱圓問題中，考查方式往往是以動態形式出現，那么此時我們往往需要化動為靜。

如圖，在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，，點D是 AC邊上一動點，連接 BD，以 AD為直徑的圓交 BD于點E，則線段CE長度的最小值為 .

分析：此題中點E為動點，而點C為靜點，如果能將E點也靜下來，那么本題就迎刃而解了，我們發現∠AEB=90°，

∴點E在以 AB 為直徑的 Oo上，∴Oo的半徑為2，

當點O、E、C共線時，CE最小，在Rt△AOC中，∵OA=2，AC=4，

變式：如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2，若P為△ABC內一動點，且滿足 ∠APC=150°，則線段 PB長度的最小值為 .

分析：因為 AC定長、∠APC=150°定角，故滿足“定弦定角模型”，P在圓上，圓周角 ∠APC=150°，通過簡單推導可知圓心角 ∠AOC=60°，故以 AC為邊向下作等邊△AOC，以O為圓心，OA為半徑作Oo，P在Oo上。當B、P、O三點共線時，BP最短。

【總結】：在隱圓問題中，要找到點的運動軌跡，再結合圓的性質，比如：到定點的距離等于定長的點的集合、同弦所對的圓周角相等或互補、圓內接四邊形對角互補、直徑所對的圓周角是直角等，利用這些圓的基本圖形找其性質，最來解決問題。

總之，動態問題中，要將復雜的圖像簡單化，將動態問題靜止化，從簡單、靜止入手，找到其中的“不變量”，最終達到學生能夠解決此類問題的目的；同時要滲透基本模型，掌握基本模型，會用基本模型，讓學生透過基本模型找到其本質的基本圖形和知識點，拓展學習深度，揭示問題的本質；最后引導學生運用這樣的思路與方法探究相關變式問題。

三、反思淺析

1.教學設計由易到難，注重形式多樣

對于動點問題的教學設計，多設計一題一課，針對每一個小的問題由易到難，注重類比思想和分類思想，同時在教學形式上多下功夫，可以自制教具或制作幾何畫板等，來提升課堂的趣味性。在七年級時，教師可多進行直觀教學，適當拓展學生的知識面，讓學生在產生興趣的同時又能提高解題能力。

2.樹立信心激發動力，注重師生互動

由于動點問題考查的知識面廣、綜合性強，對學生的綜合素養要求高，因而教師應該遵循奧蘇貝爾學習理論，設計題目層次有度，從低檔難度題型慢慢向中檔難度題型的過渡，在此過程中提升學生的自信心，同時在分析過程中多一些師生互動，多一些學生思考的時間，多一些學生表達的時間，多一些學生討論的時間，這些都能激發他們的學習動力。

3.收集素材分類總結，注重自身素養

每年壓軸的動點問題都有很多且具有創新性，所以教師首先要多做，跟上每一年變化，以提高自身的專業素養，對題型的類別和變化也要多做整理，同時在講解動點問題之后也要善于歸納一般的方法，多多滲透數形結合、分類討論等數學思想，達到一題多解到一題優解的效果。

4.題型選擇客觀有度，注重發展規律

初中生的思維正處于從直觀到抽象、從感性到理性的發展階段，因此，在教學中，無論是問題類型的選擇，還是解題策略類別的確定，都不能超越這個階段學生的數學認知能力，而是應當按照學生自生能力發展的規律去提高題目難度，做到相得益彰。