以形助數有魔力 學生思維得發展
——以人教版三年級下冊《探秘經過時間》為例

王曉燕

（廈門市集美區寧寶小學 福建廈門 361021）

數學是一門非常考驗思維能力的學科，需要理解，而不是死記硬背。數學知識需要理論聯系實際，把數形相結合才能解決數學難題。什么是數形結合呢？數形結合是解決實際問題時，首先要分析題目中的數量關系，再結合相應的圖形進行直觀的理解。數形結合在小學數學教學中非常重要，小學階段數學能力較差，正是培養數學思維能力的關鍵時期，數形結合能直觀地表達題目中的數量關系，使問題變得簡單明了，容易解決問題，激發學習動力。數學與形的結合可以培養學生多方面的思考能力，引導學生運用數形結合的思維方式思考問題，小學教材要求學生自主探究，主要目的是培養學生的多方面思考能力和解題能力，同時運用數學思維靈活解決問題。

一、數形結合簡述

1.數形互換百般好

在小學階段，常用的是數形結合一般有數形互換、以數助形、以形助數三種類型。數形互換是數字與圖形的轉換，是數形組合的一種重要表現。在解題時，我們經常把數與形進行換邊變，正如華羅庚所說的“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”例如，按規律填數1、4、9、16、25、（ ）、……像這樣純粹是數字學生或許沒辦法發現其中的規律，一旦把這些數字用相應的正方形呈現，學生輕而易舉地就能發現其中的規律。再如，用小棒擺正方形：

……

接著往下擺，擺n個小正方形需要多少根小棒呢？引導學生將圖形問題轉化成數字推理題，很快就能推出n個正方形需要（3n+1）根小棒。數形互換是解題中不可忽略的一種策略，有多個優點。

2.以形助數更直觀

以數助形，借助數的簡潔性和概括性來提煉事物或圖形的本質。在數學教學中將具體形象放在支撐的地位，通過“數”來描述、詮釋“形”的特征，使數學達到深化、嚴謹的效果。以數助形的方法能夠準確表征圖形特征，也有利于開拓學生的解題思路。在教育教學中，教師應該為學生挑選恰當的例子，讓學生感知以數解形的方式方法。在日常教學講解和探索基礎知識過程中，教師應該從多方面尋找數形結合思想相關的素材，給學生體會數形結合思想的機會，幫助學生開闊眼界，拓寬知識面，讓學生積累豐富的經驗，增強學生對數形結合思想的應用意識。例如遇到判斷一個角是否為直角、兩邊是否相等、圖形的周長是多少等類似問題時，讓學生明確不僅僅可以直接進行測量，還可以通過計算得出相應結論。日常教學中，除了講解應該掌握的知識外，教師可以根據學生掌握知識的實際水平，適當拓展一些幾何與圖形的問題，以此增強學生對數形結合思想的體驗，例如去探索一些平面圖形邊的長度關系，角、周長、面積的大小關系。

在實際的學習生活中，遇到以數解形的并不多，因此比較易被老師和學生所忽視。但是正是由于其稀少性，則教師更應該抓住這種少有的機會鍛煉學生，培養學生的思維能力。面對小學生實際的知識儲備情況和思維發展水平，應該加強學生用已經掌握的數、算式、方程等來表示相關圖形的特征，使列寫出來的表達式子能夠恰當的解決相關問題。例如（如下圖）：

這是人教版六年級上冊練習十四第11題（P66）的加星題，學生已經掌握了圓的周長等相關知識，怎么求每組的繩長呢？引導學生分解捆圓的繩子，把繩長轉化成相應的數據，發現其中的規律。

兩個圓：一個圓的周長（兩個圓周長的一半）+2條直徑

四個圓：一個圓的周長（四個四分之一圓的周長）+4條直徑（1×4）

九個圓：一個圓的周長（四個四分之一圓的周長）+8條直徑（2×4）

引導學生繼續挖掘知識：如果是捆十六個圓又是什么樣的情況呢？原本較復雜的圖形的問題，借助圖形中隱藏的相應的數據及數據的規律，學生直觀地發現其中的規律。

二、以形助數促學生思維發展——以人教版三年級下冊《計算經過的時間》一課為例

以形助數，把抽象的數學語言、數學問題形象化、直觀化，有助于學生把握數學問題的本質，是學生能順利解題的關鍵。在教學人教版三年級下冊《計算經過的時間》一課時，教師創設“點燃航天夢”活動情境，以一把有魔法的時間尺貫穿整節課，以形助數，把無法觸及的、抽象的時間以具體的時間尺呈現，讓“時間”可視化、直觀化，引導學生解決多種計算時間的類型題，在解決問題的過程中發展學生的思維能力，學生的素養得到一定的提升。

1.以形助數易計算

（1）借用時間尺，直觀計算過程

教材例題是簡單的計算經過時間，教師結合創設的情境改編例題：智慧列車一號9時出發，15時到站，經過了多少小時？學生有的通過在鐘面上撥一撥得出答案；有的在時間軸上數一數得到答案；有的通過計算15-9=6，知道經過了6小時。教師引導學生把算式與時間軸結合起來看，并用手比畫減的過程。以形助數，學生直觀計算方法，初步感受經過的時間=結束的時間-開始的時間。

（2）借用時間尺，突破計算難點

智慧列車二號9：30出發，15：00到站，經過了多長時間？學生在已有的基礎上，舉一反三輕松列出算式，但是計算遇到困難。老師適時地引導學生，能不能在借用有魔法的時間尺來幫忙呢？學生通過在時間尺上標出開始時間和結束時間，直觀地算出經過的時間。在此基礎上，引導學生說明其中的道理，學生有一下解法：

9：30-10：00經過30分鐘，10：00-15：00經過5小時，合計5時30分；先用10時減9時30分其實就是退位減（退1時當60分）的過程。

9：30——14：30經過了5時，14：30——15：00經過了30分，合計5時30分。

學生均能借用時間尺算出答案，引導學生把在時間尺上數的方法轉化成算式，學生把直觀的體驗轉化成抽象的算式，在學生經歷兩種方法的基礎上，啟發學生思考：15時-9時30=？怎么計算呢？學生輕松突破計算難點。時間尺，讓計算時間的難點直觀化、形象化。以數助形，學生直觀地進行經過時間的計算。

（3）借用時間尺，解決新問題

一天24小時，是一把時間尺。把一個月里每天的時間尺連接起來，又是一把新的時間尺，產生了新的計算經過時間的問題。如明明21時上床睡覺，第二天早上7點起床，睡眠時間有多長？睡眠問題，源于學生生活，學生樂于解決。學生憑自己的生活經驗，知道睡眠時間已經跨日了，教師追問：“該如何解決這個問題呢？”借用時間尺，部分學生通過數，得到睡眠時間是10小時；大部分學生嘗試列式解決，此時出現兩種解法：①24時-21時=3時，3時+7時=10時；教師追問：7時是怎么來的？引導學生發現，其實7時也是結束時間（7時）-開始時間（0時）計算得到的，溝通了分段計算經過時間其實就是分別利用結束時間-開始時間求得每一段的時間，最后再相加；②7時+24時=31時，31時-21時=10時，學生對于這種解法不太理解，引導學生借用時間尺來幫助理解。這位學生說：第二天早上7時就是在第一天的24時的基礎上加上7時，在用總的結束時間（31時）-開始時間（21時）=10時。以形助數，學生的思維被打開了，想出了不一樣的解題方法。

2.以形助數明區別

實際生活中，除了計算經過幾時幾分，常見的還有計算天數、月份、年份等，學生在解題過程中，要靈活運用掌握的知識，借用時間尺解決生活中更多更難的問題。

教師出示：航天科技小制作的征集時間從4月18日到4月25日，一共經過了多少天呢？大部分學生脫口而出：7天，因為25-18=7天。教師不做點評，讓學生在時間尺上數一數，驗證答案。感知沖突，學生的興趣被點燃，通過計算是7天，實際是8天，到底哪個環節出了問題？少算的1天是哪一天？

學生以4人小組為單位，借用時間尺，探究其中的奧秘。

通過探究、交流、分享，學生借用時間尺的直觀，知道25-18=7（天），7天對應的是時間尺上的19日、20日、21日、22日、23日、24日、25日，在時間尺上直觀地發現18日這天沒有算，因此要加上1天，一共經過了8天。原本抽象的、不可觸及的時間，形象地在時間尺上呈現，大大降低了難度。

教師引導學生小結計算經過天數的方法，并追問：為什么計算經過幾時幾分用結束時間-開始時間就行，而計算經過天數要用結束日期-開始日期+1，為什么要加1？你能說說其中的道理嗎？

教師同時出示兩把時間尺，讓學生分別在24時時間尺上找9時、月的時間尺上找18日，學生發現兩把時間尺上找到的不一樣，9時在24時時間尺上是一個點，18日在月的時間尺上是一段。在學生感知的基礎上，教師揭示時間點與時間段的差別，計算經過的天數要算的是經過幾個時間段，結束日期減開始日期會把開始的日期當天也減掉，所以要加1。

從“時間點”到“時間段”的認識，對學生而言，是認知的飛躍。以形助數，

借時間尺之直觀，把復雜的問題簡單化，把兩者的區別可視化。

3.以形助數巧聯系

匈牙利數學家波利亞指出：“學習任何知識點的最正確的途徑是有自己去發現，因為這種發現理解最深、也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。”計算經過的時間與計算經過的天數，看似不同，實則相同。當學生分別掌握了的解題的辦法后，教師拋出挑戰性的問題：計算經過的時間和經過的天數有什么聯系嗎？同時出示兩條時間軸，引導學生借助圖形思考。

借助時間尺，學生清晰地溝通了計算經過時間與計算經過天數之間的聯系，二者都可以用總時間-未開始的時間。其中，計算經過的天數需明確未開始的時間即（開始日期-1）。溝通知識之間的聯系，把碎片知識系統化，是學好數學、輕松學數學的前提。以形助數，學生結合時間尺，利用減法的含義把二者巧妙聯系。

以形助數有魔力，本節課以時間尺貫穿始終，學生動腦、動手、動口，多種感官齊參與，把抽象的數學問題簡單化、具體化。借助時間尺，化抽象為具體，實實在在地觸摸“時間”，利用操作、觀察、思考相結合，解決關于經過時間的系列問題，激發學生多向思維，培養學生的形象思維能力和邏輯思維能力。