從畫數(shù)學(xué)到思維化
——以發(fā)展低年段學(xué)生的“幾何直觀”為例

江蘇省常州市武進區(qū)實驗小學(xué)分校 馮麗萍

一、現(xiàn)狀

1.教師缺乏“畫數(shù)學(xué)”的培養(yǎng)意識

“掌握測量、識圖和畫圖的技能”是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一。而掌握技能需要階段性和連續(xù)性地練習(xí)和鞏固，光憑課堂上的教學(xué)是不夠的。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)計了許多貼近生活的情景圖，教師可借助直觀的事物或操作幫助學(xué)生理解知識。對比“畫數(shù)學(xué)”的畫圖技能目標(biāo)，多數(shù)教師停留在正確畫出幾何圖形的標(biāo)準(zhǔn)，沒有充分挖掘“畫圖”背后的思維價值。如低年段教材中的示意圖，學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系時，從借助表象到形成抽象過程中，教材中也相繼呈現(xiàn)從可視化到思維化的解題要求，可教師往往以示范畫為主，并沒有讓每個學(xué)生嘗試并學(xué)會繪制，受課時因素與教學(xué)方法的限制，很難有效培養(yǎng)學(xué)生畫示意圖的能力等。

2.學(xué)生缺乏“畫數(shù)學(xué)”的運用意識

在小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中，學(xué)生對于明確要求的“畫圖”掌握相對較好，可對于一些抽象知識點的學(xué)習(xí)存在較大難度，導(dǎo)致理解知識點時經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的偏差。學(xué)生沒有“我要畫”的意識，因而教師常講常演，學(xué)生常練常錯，已經(jīng)形成錯誤的思維定式。采訪發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生不會用畫圖準(zhǔn)確表達題意，有的學(xué)生想不到用畫圖的方式去解決問題，從而沒有路徑去有效地開展思維活動。

二、研究意義

（一）多維理解畫數(shù)學(xué)對教師數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的意義

1.學(xué)科特點

數(shù)學(xué)教學(xué)在幾何教學(xué)、數(shù)的認(rèn)識與運算、問題解決和認(rèn)識的深化方面要用到圖形。圖形的應(yīng)用，尤其是直接動手畫圖有助于學(xué)生更好地理解題意，準(zhǔn)確找出數(shù)量關(guān)系。圖形的使用十分利于學(xué)生元認(rèn)知能力的提升，從而更有效地解決問題。而數(shù)學(xué)中的“畫圖”不只是指由抽象向具體的回歸，也與抽象分析密切相關(guān)，包括我們應(yīng)如何通過適當(dāng)?shù)某橄蠼?gòu)出一種新的圖形、一種與簡單的直觀圖完全不同的抽象圖形。

2.課標(biāo)指向

課標(biāo)指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。所以，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用圖形直觀地表征各種思想方法，經(jīng)歷從“畫數(shù)學(xué)”到“思想化”逐步抽象的過程，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，進而在探索解決問題的思路中，更好地掌握“數(shù)形結(jié)合”“假設(shè)”等數(shù)學(xué)思想。

（二）充分認(rèn)識畫數(shù)學(xué)對兒童幾何直觀發(fā)展的啟示

直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，對標(biāo)的關(guān)鍵能力是直觀感知、空間觀念和幾何直觀，幾何直觀的表現(xiàn)水平有以下三點：水平一是能用圖形表示數(shù)或簡單情境中的數(shù)量關(guān)系；水平二是能用圖形表達和分析稍復(fù)雜問題情境中的數(shù)量關(guān)系；水平三是能用圖形表達和分析非常規(guī)情境中的數(shù)量關(guān)系。有學(xué)者指出：“任何表征都能夠表達部分但不是全部的信息，凸顯其中的一些方面而隱藏另一些，所以說，單一的表征形式不利于學(xué)生對知識的全面理解。”所以，引導(dǎo)學(xué)生掌握“畫數(shù)學(xué)”的能力，可以進一步發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、教學(xué)策略

（一）激發(fā)學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的內(nèi)需力

1.畫出“看不見”的數(shù)學(xué)信息，突破難點

小學(xué)低年段數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生常通過數(shù)一數(shù)、擺一擺、撥一撥的方式理解數(shù)量、數(shù)量間的關(guān)系和計算算理等，但遇到數(shù)量關(guān)系較為抽象的問題，學(xué)生在解決問題時發(fā)現(xiàn)難度較大。如圖1（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊第106頁思考題），從圖中可以看到“從前往后數(shù)，第5只是小鹿”；而“從后往前數(shù)，第8只是小鹿”中部分小動物被大樹遮住了，無法通過數(shù)一數(shù)的方式知道“一共有多少只小動物”，這時教師可以引導(dǎo)學(xué)生用簡畫圖表示題中的條件及問題，如圖2，用小棒表示其他動物，用圓圈表示小鹿，我們可以清楚地看到小鹿前面和后面的數(shù)量，突破題中部分條件“看不見”的難點。

圖1

圖2

2.畫出“易混淆”的數(shù)量關(guān)系，理清思路

低年段數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系涉及“一部分?jǐn)?shù)+另一部分?jǐn)?shù)=總數(shù)”和“份數(shù)×每份數(shù)=總數(shù)”這兩個基本模型及其變式，學(xué)生比較容易混淆。如 “一共有21盆花，送給幼兒園一些后還剩7盆，送給幼兒園多少盆？”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第75頁第8題中的第2小題），有學(xué)生用除法“21÷7=3（盆）”來解決，原因是學(xué)生不能厘清“平均送給”和“送給一些”之間的區(qū)別，這時可以嘗試用畫圖來整理題意，如圖3，先用大括號表示一共有21盆花，再用虛線框表示送給幼兒園一些，用小棒表示“還剩7盆”，這樣就可以明顯地看出送走的盆數(shù)是總數(shù)的其中一部分，要用減法求送走的盆數(shù)，而不是把總數(shù)平均分，用除法求出平均分的結(jié)果，從而厘清“易混淆”的數(shù)量關(guān)系。

圖3

3.畫出“難理解”的思考過程，抓住關(guān)鍵

劉曉玫學(xué)者研究了我國小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀能力規(guī)律及水平劃分，其中，二至三年級適合較少概念并只與空間想象有關(guān)的問題情境，屬于水平1——（完全）直觀想象階段。低年段學(xué)生對一些單一概念的疊加操作，如“鋸木頭”“間隔栽樹”“來回一趟”“對折2次”等理解不到位，往往把“對折2次”認(rèn)為是“平均分成2份”，這時教師不僅要通過實物演示幫助學(xué)生理解“把一根繩子對折1次就是把它平均分成2份，把一根繩子對折2次就是把它平均分成4份”，還需要引導(dǎo)學(xué)生在積累了操作經(jīng)驗的基礎(chǔ)上把對折的過程想出來，把對折的結(jié)果畫下來，如圖4所示，從而抓住解決問題的關(guān)鍵。

圖4

（二）鍛煉學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的實踐力

1.豐富“畫”的經(jīng)驗值

很多學(xué)生常用畫小棒的方式來表征簡單的數(shù)學(xué)問題，遇到較為抽象或者與生活經(jīng)驗密切相關(guān)的實際問題時，學(xué)生畫圖的水平還有待提高。教師要喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗，開展實踐操作活動豐富學(xué)生的直觀經(jīng)驗，積極滲透畫圖技巧。如 “路的兩邊一共插了16面彩旗，平均每邊插多少面彩旗”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第97頁第17題），學(xué)生對“路的兩邊”有一定的常識了解，但理解“16面彩旗”時想成“每邊都有16面”，用“16＋16=32（面）”來解決。教師需要引導(dǎo)學(xué)生用畫圖還原插旗的過程，從而更好地理解題意，幫助學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系。

2.增強“畫”的理解力

低年段學(xué)生的看圖能力相比畫圖能力更強，在試卷評析時，看圖列式的得分率相比解決實際問題高出許多。教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識、理解和善用“大括號、實線框、虛線框、豎線、斜線、一一對應(yīng)符號、問號”等有特定數(shù)學(xué)含義的構(gòu)圖要素來表達題中的有效條件和問題，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，促進學(xué)生的幾何直觀。如“先估一估是多少，再數(shù)出來”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊第83頁第4題），學(xué)生在數(shù)的時候需要通過“滿十個圈一圈”的方法讓人一眼看出物體的數(shù)量，如圖5，這就需要學(xué)生充分理解“10個一是1個十”，進而掌握“圈十法”，并運用到計數(shù)單位的學(xué)習(xí)中。

圖5

3.完善“畫”的整體性

畫圖過程中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生完善“畫”的整體性，如準(zhǔn)確描述題中的有效條件及問題，在圖上標(biāo)出數(shù)據(jù)和單位，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合共同表征問題的習(xí)慣，還要關(guān)注隱蔽條件的表征，如“同樣多”“每條邊一樣長”等。

3.提升學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”的思維力

1.有序思考

“畫數(shù)學(xué)”其實就是把靜態(tài)的文字和動態(tài)的數(shù)據(jù)變化用簡潔的數(shù)學(xué)語言表達的過程，它能反映學(xué)生的思維狀態(tài)和水平。低年段學(xué)生大都按“從所給條件想起”或者“從所提問題想起”兩種有序的思考方式來解決問題，無論是哪一種，都能建立各個數(shù)量之間的層級關(guān)系。如“把24本書平均分給3個小組，每個小組分得多少本？你還能算出平均每人分得多少本嗎”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第86頁第4題），按題目要求先求“每組本數(shù)”，再求“每人本數(shù)”，通過畫圖可以幫助學(xué)生理清總數(shù)和份數(shù)分別是多少，如圖6所示。

圖6

2.構(gòu)建模型

“畫數(shù)學(xué)”的結(jié)果除了理解題意和理清關(guān)系，更有助于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。如“小英做了11朵花，小華比小英多做3朵，小華做了多少朵”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊第8頁例4），根據(jù)題意用圓形表示花朵，先畫出小英的花朵數(shù)量，再通過一一對應(yīng)，把小英做的朵數(shù)加上小華比小英多做的3朵就能求出小華做的朵數(shù)，如圖7所示，從而得出該類問題的一般模型：較少的量＋相比多出的部分=較多的量。

圖7

總之，“畫”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常用技能之一，教師在教學(xué)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生“畫”數(shù)學(xué)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。