基于區(qū)間算法的頻控陣陣元位置誤差分析

唐 虎, 曾光輝, 廖 軼, 王文欽

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 四川 成都 611731)

0 引 言

在雷達(dá)探測和測距中,為了獲得高的分辨率和強(qiáng)抗干擾能力,一般要求所設(shè)計(jì)的天線波束具有較窄的主瓣寬度與較低的旁瓣電平[1]。但是由于制造誤差的存在,必然會(huì)出現(xiàn)陣列天線實(shí)際的性能指標(biāo)偏離理論設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)的問題[2],進(jìn)而導(dǎo)致實(shí)際陣列發(fā)射波束的性能不能滿足要求,因此在實(shí)際情況中通常需要使用一系列昂貴的校準(zhǔn)系統(tǒng)，在天線安裝前對其進(jìn)行校準(zhǔn)[3],以達(dá)到可接受的性能水平。陣列天線的誤差分析是天線設(shè)計(jì)中重要的一步,因?yàn)樗梢灶A(yù)測制造誤差對天線性能的影響程度,并使校準(zhǔn)系統(tǒng)能夠更好地校準(zhǔn)天線。

目前,學(xué)術(shù)界提出了許多方法，用于分析相控陣中的誤差問題。例如,文獻(xiàn)[4]建立了天線安裝非理想情況下的坐標(biāo)變換模型,并分析了由此引入的系統(tǒng)測向誤差,文獻(xiàn)[5]針對陣面安裝誤差對相控陣?yán)走_(dá)測角精度影響問題,建立了相控陣?yán)走_(dá)的陣面安裝誤差與測角精度誤差模型,文獻(xiàn)[6]與文獻(xiàn)[7]研究了綜合導(dǎo)航系統(tǒng)誤差對艦載相控陣?yán)走_(dá)測量精度的影響。除此之外,區(qū)間分析法也被廣泛應(yīng)用于誤差分析中[8],文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]首次將區(qū)間算法用于相控陣的誤差分析,分析了相控陣的幅度和相位誤差對其發(fā)射波束的影響,文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了基于區(qū)間算法的拋物反射面天線的誤差分析,并且區(qū)間分析算法還可以與凸優(yōu)化聯(lián)合形成穩(wěn)健波束[12]。然而，這些方法都是基于相控陣的模型,無法直接應(yīng)用到頻控陣等其他新型陣列。

頻控陣(frequency diverse array, FDA)這一概念首先由Antonik等[13]提出,引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[14-16]全面介紹了FDA雷達(dá)的概念、原理和應(yīng)用,文獻(xiàn)[17]研究了FDA雷達(dá)波束的相位方向圖特性,并指出該分布特性與相控陣基本一致。而對于功率方向圖特性,由于各陣元的載頻相對于起始陣元存在一個(gè)微小的頻偏,其波束隨范圍、角度和時(shí)間的變化而變化[18],從而進(jìn)一步擴(kuò)展了FDA的應(yīng)用,如目標(biāo)檢測與定位[19-22]、范圍依賴的雜波和干擾抑制[23-25]、高分辨率雷達(dá)成像[26-29]、安全通信[30-31]和無線傳輸[32]。目前對于頻控陣的功率方向圖已有大量的研究，但是這些研究方法大部分基于理想的條件(陣元位置是精確、無誤差的),而在實(shí)際情況中陣元位置往往會(huì)存在誤差,因此波束主瓣寬度以及峰值旁瓣電平等會(huì)偏離設(shè)計(jì)值,從而使得FDA在實(shí)際應(yīng)用中達(dá)不到所期望的效果,因此對FDA各陣元位置誤差的分析具有重要的意義。然而,作為一種新型陣列,目前鮮有對FDA位置誤差進(jìn)行分析的文獻(xiàn),而傳統(tǒng)的誤差分析方法都基于相控陣。而FDA相對于相控陣,其功率方向圖產(chǎn)生了距離相關(guān)性[33-34],因此傳統(tǒng)的基于相控陣的誤差分析方法并不能直接適用于FDA,所以需要尋求新的可行方法，對FDA的陣列位置誤差影響進(jìn)行研究。

本文提出了一種基于區(qū)間算法的FDA陣元位置誤差分析方法,此方法首先假定陣元位置誤差存在于一個(gè)已知的區(qū)間,然后將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的相位誤差區(qū)間,再利用改進(jìn)的區(qū)間劃分規(guī)則求出區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間寬度值,將其代入?yún)^(qū)間算法公式，進(jìn)而求出由誤差引起的波束上界和下界值。數(shù)值仿真結(jié)果證明了該方法的可行性。本文的主要結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)使用區(qū)間算法，由給定的陣元位置誤差范圍(誤差的上界與下界)進(jìn)行推導(dǎo)，得到波束的誤差范圍(誤差的上界與下界);第3節(jié)通過蒙特卡羅方法驗(yàn)證區(qū)間算法的有效性，以及使用此方法對波束性能進(jìn)行分析;第4節(jié)對全文的工作進(jìn)行總結(jié)。

1 理論模型

1.1 FDA理論

均勻線性FDA的陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 均勻線性FDA的陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Array structure of uniform linear FDA

假設(shè)FDA有M個(gè)陣元,第m個(gè)陣元發(fā)射信號的頻率為

fm=f0+Δfm，m=0,1,…,M-1

(1)

式中：f0表示載波頻率；Δfm表示第m個(gè)陣元的頻率偏移。第m個(gè)陣元發(fā)射的信號為

xm(t)=αmej2πfmt

(2)

式中:αm表示第m個(gè)陣元發(fā)射信號的復(fù)加權(quán)系數(shù),αm=amejβm；am表示第m個(gè)陣元的幅度加權(quán)；βm表示第m個(gè)陣元的相位加權(quán)。假定遠(yuǎn)場區(qū)位置為(r,θ),將M個(gè)陣元在此處的信號進(jìn)行累加，得到該處實(shí)際的和信號形式為

(3)

式中：c表示光速；rm表示第m個(gè)陣元到目標(biāo)點(diǎn)的距離。于是rm可寫成如下形式：

rm≈r-mdmsinθ

(4)

式中：dm表示第m個(gè)陣元與第m+1個(gè)陣元之間的間距;r表示第0個(gè)陣元到目標(biāo)點(diǎn)的距離。當(dāng)Δfm?f0時(shí),式(3)可以重寫為

(5)

式中：γm1=2πΔfm(t-r/c)；γm2=2πf0msinθ/c。

于是,FDA的陣因子可表示為

(6)

令φm=γm1+γm 2dm,則AFm(φm)=amej φm,則式(6)可簡化為

(7)

式中：φ=(φ0,φ1,…,φM-1)。

因此，在目標(biāo)點(diǎn)處產(chǎn)生的波束可寫為

(8)

B(φ)=|EN|2

(9)

圖2 3種不同頻偏的波束圖Fig.2 Beam patterns with three different frequency offsets

1.2 區(qū)間分析算法

區(qū)間分析算法早已被用于相控陣的幅度和相位誤差分析。陣列位置作為陣列天線的一個(gè)重要參數(shù),其誤差必定會(huì)影響天線的性能。同時(shí)，F(xiàn)DA作為一種新型陣列,很少有文獻(xiàn)對FDA的陣列位置誤差進(jìn)行分析。因此,有必要尋求一種可行的方法對FDA陣列位置誤差進(jìn)行分析。從理論推導(dǎo)角度來看,由式(6)可知,陣列位置參數(shù)d存在于FDA發(fā)射波束的相位項(xiàng)中。因此,陣列位置誤差是通過轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的相位誤差進(jìn)而影響FDA的發(fā)射波束的。從物理角度來看,陣列位置誤差的物理本質(zhì)是空間分布誤差,該誤差將對電磁波的傳播距離產(chǎn)生影響,而電磁波的傳播距離的變化會(huì)引起陣列相位的畸變,最終將明顯地改變形成的波束方向圖,進(jìn)而極大影響天線性能。因此,可以將陣列位置誤差轉(zhuǎn)換為相位誤差，然后利用區(qū)間分析法對其進(jìn)行分析。但與傳統(tǒng)基于區(qū)間分析算法分析相控陣相位誤差不同的是,FDA的發(fā)射波束相比于相控陣多了距離維波束。此外,傳統(tǒng)方法分析的相位誤差僅為2°和5°[10],而由陣列位置誤差引起的相位誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5°。因此,傳統(tǒng)的基于區(qū)間分析算法的相位誤差分析方法并不直接適用于FDA的陣列位置誤差分析，需要對傳統(tǒng)的基于區(qū)間算法的相位誤差分析方法進(jìn)行改進(jìn),通過修改其區(qū)間劃分規(guī)則,使其適用于FDA的陣列位置誤差分析。下面給出由誤差區(qū)間引起的波束的上界和下界公式[9]。

(10)

Binf(φ)=

(11)

式中:

AFm(φm)=AFR,m(φm)+jAFI,m(φm)=amej φm=
am(cosφm+j sinφm)

(12)

并且,μ{AFR,m(φm)}、ω{AFR,m(φm)}、μ{AFI,m(φm)}、ω{AFI,m(φm)} 分別代表AFm(φm)的實(shí)部和虛部的區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間寬度。因此,只要通過計(jì)算得到實(shí)部和虛部的區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間寬度,將計(jì)算結(jié)果代入到式(10)和式(11)中,即可得到由誤差引起的波束變化的上界和下界。

詳細(xì)的基于區(qū)間分析法的頻控陣陣列位置誤差分析方法如以下步驟所示。

步驟 1由于陣列位置d這一參數(shù)存在于頻控陣波束的相位項(xiàng),所以陣列位置誤差會(huì)引起發(fā)射波束的相位變化。因此,首先通過陣列位置誤差區(qū)間求得其引起的相位誤差變化區(qū)間。考慮如下陣列位置誤差區(qū)間:

(13)

(14)

(15)

于是,式(13)中的陣元位置誤差區(qū)間便被轉(zhuǎn)換到了相應(yīng)的相位誤差區(qū)間。

步驟 2分別求出發(fā)射波束實(shí)部和虛部區(qū)間的中點(diǎn)μ{AFR,m(φm)}、μ{AFI,m(φm)},以及區(qū)間寬度ω{AFR,m(φm)}、ω{AFI,m(φm)}。由式(12)可知

AFR,m(φm)=amcosφm

(16)

AFI,m(φm)=amsinφm

(17)

所以

(18)

(19)

(20)

(21)

以sinφm為例(cosφm同理),由于φm取值區(qū)間的不同,求出的sinφm的函數(shù)值區(qū)間也不同。傳統(tǒng)基于相控陣的區(qū)間分析方法討論的相位誤差僅為2°或5°,即Δφm=2°或5°,因此得到的相控陣的陣列因子的相位誤差區(qū)間為γm=[φm-Δφm,φm+Δφm]。傳統(tǒng)方法考慮的相位誤差Δφm<90°,因此整個(gè)相位誤差區(qū)間寬度小于π,即2Δφm<π,此時(shí)不會(huì)存在同時(shí)包含π/2和-π/2的情形,因此對于每個(gè)陣元,其實(shí)際相位值必定是圖3(a)中所示的4種區(qū)間中的一種。而與傳統(tǒng)方法不同的是,由陣列位置誤差引起的相位誤差可能大于90°(Δφm>90°),這可能導(dǎo)致相位誤差區(qū)間長度大于π,即2Δφm>π,此時(shí)可能存在π/2和-π/2同時(shí)包含在相位誤差區(qū)間中的情況(這種情況下,該區(qū)間的最大值是1,最小值是-1)。因此,在后續(xù)的區(qū)間劃分中,傳統(tǒng)的4段區(qū)間已經(jīng)無法滿足要求。本文修改了其區(qū)間劃分規(guī)則,進(jìn)而讓其能適用于Δφm>90°的情況。改進(jìn)的區(qū)間算法的相位誤差區(qū)間劃分規(guī)則如圖3(a)和圖3(b)所示。由陣列位置誤差引起的相位誤差存在于如圖3所示的5種區(qū)間內(nèi),即如圖3(b)所示的這種形式是傳統(tǒng)方法所未考慮到的形式,而這種形式在考慮陣列位置誤差的影響時(shí)可能存在,因此傳統(tǒng)的基于區(qū)間算法的相位誤差分析方法并不能適用于FDA陣列位置誤差分析,需要修改為圖3所示的5種區(qū)間劃分形式。

圖3 正弦函數(shù)的區(qū)間劃分示意圖Fig.3 Interval partition diagram of sin function

根據(jù)圖3(a)和圖3(b)所示的區(qū)間劃分規(guī)則得到如下公式:

(22)

并且

(23)

于是,sinφm與cosφm的中點(diǎn)與寬度如下

(24)

(25)

(26)

(27)

步驟 3通過將cosφm與sinφm的中點(diǎn)與寬度代入到式(18)～式(21)，便可以得到AFR,m(φm)與AFI,m(φm)的中點(diǎn)與寬度,然后再將以上求得的值進(jìn)一步代入到式(10)和式(11)，便可以計(jì)算出陣列位置誤差對波束性能影響的上界與下界。

此外,該算法的復(fù)雜度分析如下。根據(jù)公式(10)和公式(11)可知,計(jì)算一次區(qū)間中點(diǎn)所用的加法次數(shù)和乘法次數(shù)分別為1次和1次;計(jì)算一次區(qū)間寬度所用的加法次數(shù)和乘法次數(shù)分別為1次和0次;虛部同理。因此，計(jì)算區(qū)間上界Bsup(φ)總共所用的加法次數(shù)和乘法次數(shù)分別為8M-1次和4M+4次,即總的計(jì)算次數(shù)為Γsup=12M+3。而在區(qū)間下界計(jì)算過程中,可以很直觀地發(fā)現(xiàn)，其總的計(jì)算次數(shù)Γinf≤12M+3次。因此，該算法總的計(jì)算次數(shù)區(qū)間大致為18M+3<Γ≤24M+6;采取近似進(jìn)而可以得到該算法的復(fù)雜度為M。可以看出該算法在一次時(shí)間復(fù)雜度下便能計(jì)算出由陣元位置誤差引起的波束上界和下界值,進(jìn)而證實(shí)了該算法具有較好的計(jì)算性能。

2 數(shù)值仿真

2.1 有效性驗(yàn)證

首先,波束誤差的上界Bsup(φ)與下界Binf(φ)可以利用第1.2節(jié)所述的過程計(jì)算得到。其次,由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的具有陣元位置誤差的波束為

(28)

式中：s表示第s次蒙特卡羅仿真；Q表示總的仿真次數(shù),這里設(shè)定為5 000；κs∈[-1,1]是均勻分布的隨機(jī)數(shù)。最后,只需要驗(yàn)證所有蒙特卡羅波束在所提方法計(jì)算出的波束上界與下界之間即可。

從φm=γm1+γm2dm可知,相位誤差由γm2dm=2πfmm·(sinθ-sinθ0)dm/c產(chǎn)生,因此取觀測角度Q(θ=30°)觀察波束距離維的分布時(shí),γm2dm=0,即陣元位置誤差并不會(huì)影響距離維波束形狀,于是波束的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的含誤差的波束相同。如圖4所示，取α=0.005、線性頻偏在θ=30°處的距離維波束的分布情況；而對于其他頻偏，只存在波束形狀的不同,但波束的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的存在誤差的波束仍然相同。

圖4 距離維波束的上界與下界以及存在誤差的波束Fig.4 Upper and lower bounds of the range-dimension beam and the beam with errors

對于角度維波束,選定目標(biāo)位置為(r0,θ0)。其中r0=25 km,θ=30°,選取觀測時(shí)間t=(500/3)μs,即在0時(shí)刻發(fā)射的電磁波的能量剛好傳播到50 km處時(shí)進(jìn)行觀測,詳細(xì)解釋見文獻(xiàn)[39]。對于γm1=2πΔfm(t-r/c-r0/c),此時(shí)在目標(biāo)點(diǎn)處γm1=0,因此發(fā)射波束在目標(biāo)點(diǎn)處與Δfm無關(guān),所以不同Δfm的FDA結(jié)構(gòu)在目標(biāo)點(diǎn)處具有相同的角度維性能,即發(fā)射波束的形狀僅與γm2dm=2πfmm(sinθ-sinθ0)dm/c這一項(xiàng)有關(guān)。在θ≠30°時(shí),由陣列位置誤差引起的相位誤差是存在的,因此角度維波束的上界與下界以及含有誤差的波束分布在不同的位置。綜合以上分析可以發(fā)現(xiàn),提出的算法在分析陣元位置誤差時(shí)與頻偏參數(shù)幾乎無關(guān),即該算法適用于任意頻偏形式的FDA,且在存在陣元位置誤差時(shí),不同構(gòu)型的FDA在目標(biāo)點(diǎn)處距離維不受影響,角度維性能相同。這里以Taylor窗頻偏為例,圖5(a)、圖5(b)分別表示α=0.005與α=0.01時(shí),角度維波束的上界與下界以及存在誤差的波束的分布情況。由圖5可以發(fā)現(xiàn)，所有存在誤差的波束均在上界與下界之間,證明此方法可以估計(jì)在目標(biāo)距離處波束誤差的上界與下界。

圖5 Taylor窗頻偏FDA的角度維波束Fig.5 Angle-dimensional beam of Taylor window frequency offset FDA

這里進(jìn)一步給出3種頻偏對應(yīng)的波束上界與下界以及無誤差的波束在三維空間中的分布,如圖6所示。其中，圖6(a)～圖6(c)分別代表線性頻偏、對數(shù)頻偏、Taylor窗頻偏波束上界與下界以及無誤差波束在三維空間中的分布。從仿真結(jié)果可以看出,無論是在目標(biāo)點(diǎn)還是非目標(biāo)點(diǎn),無誤差的波束總是介于由所提方法計(jì)算得出的誤差引起的波束上界和下界平面之間，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

圖6 α=0.005時(shí),存在誤差的三種頻偏對應(yīng)的波束的上界與下界以及無誤差的波束在三維空間中的分布Fig.6 Three dimensional distribution of the beam of upper and lower bounds of three frequency offsets with and without error when α=0.005

2.2 基于區(qū)間分析的波束性能分析

由第2.1節(jié)可知,陣列位置誤差僅僅影響FDA發(fā)射波束的角度維,并且對于不同形式的FDA結(jié)構(gòu),在目標(biāo)點(diǎn)處,其角度維波束性能相同。因此,此處以Taylor頻偏的角度維為例,僅考慮Taylor-FDA角度維波束性能。

圖7(a)和圖7(b)分別表示α=0.005和α=0.01時(shí),由區(qū)間分析法計(jì)算出的BW的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的具有誤差波束的BW的分布。其中s=1,2,…,5 000。每次試驗(yàn)對應(yīng)的縱坐標(biāo)的值是該次蒙特卡羅試驗(yàn)形成的波束的主瓣寬度值(具體表現(xiàn)為一個(gè)點(diǎn))。圖8(a)和圖8(b)分別表示α=0.005和α=0.01時(shí),由區(qū)間分析法計(jì)算出的PSLL的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的具有誤差波束的PSLL的分布。結(jié)合圖7與圖8可以看出,不管是對BW還是PSLL,存在誤差波束的BW與PSLL均在由本文所提方法計(jì)算出的BW和PSLL的上界與下界之間。

圖7 Taylor頻偏角度維波束的BW的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的存在誤差波束的BWFig.7 Upper and lower bounds of the BW of the Taylor frequency offset angle-dimensional beam and the BW with the error beam generated by the Monte Carlo method

圖8 Taylor頻偏角度維波束的PSLL的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的存在誤差波束的PSLLFig.8 Upper and lower bounds of the PSLL of the Taylor frequency offset angle-dimensional beam and the PSLL with the error beam generated by the Monte Carlo method

接下來,進(jìn)一步分析本文所提方法估計(jì)波束誤差的性能。由于本文是基于已知的陣元位置誤差區(qū)間計(jì)算波束誤差的上界與下界,而實(shí)際波束誤差的上界與下界可以通過大量的樣本實(shí)驗(yàn)得到,因此本文主要通過蒙特卡羅方法模擬得到實(shí)際波束誤差的上界與下界,然后再與所提方法求得的上界和下界進(jìn)行比較，進(jìn)而進(jìn)行性能分析。圖9(a)表示計(jì)算出的BW的上界與下界和實(shí)際BW的上界與下界隨α的變化關(guān)系,圖9(b)表示計(jì)算出的BW的上界與實(shí)際BW的上界的差值，以及計(jì)算出的BW的下界與實(shí)際BW的下界的差值隨α的變化關(guān)系。圖10(a)表示計(jì)算出的PSLL的上界與下界和實(shí)際PSLL的上界與下界隨α的變化關(guān)系,圖10(b)表示計(jì)算出的PSLL的上界與實(shí)際PSLL的上界的差值以及計(jì)算出的PSLL的下界與實(shí)際PSLL的下界的差值隨α的變化關(guān)系。

結(jié)合圖9與圖10可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)α=0時(shí),陣元位置不存在誤差,因此所提方法計(jì)算出的BW的上界與下界和實(shí)際BW的上界與下界均等于無誤差波束的BW，并且計(jì)算出的PSLL的上界與下界和實(shí)際PSLL的上界與下界均等于無誤差波束的PSLL。此外,隨著α增大,計(jì)算出的BW的上界和實(shí)際BW的上界之間的差值增大,計(jì)算出的BW的下界和實(shí)際BW的下界之間的差值減小。因此，隨著α的增大,估計(jì)性能有所下降,但是此方法仍能給出一個(gè)波束的誤差區(qū)間,對于PSLL的分析同理。試驗(yàn)證明本文方法在估計(jì)陣元位置誤差產(chǎn)生的波束誤差時(shí)具有一定的實(shí)際意義。

圖9 本文方法計(jì)算的BW的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生的BW的上界與下界Fig.9 Upper and lower bounds of the BW calculated by the proposed method and the upper and lower bounds of BW generated by the Monte Carlo method

圖10 本文方法計(jì)算的PSLL的上界與下界以及由蒙特卡羅方法產(chǎn)生誤差的PSLL的上界與下界Fig.10 Upper and lower bounds of the PSLL calculated by the proposed method and the upper and lower bounds of PSLL generated by the Monte Carlo method

3 結(jié) 論

傳統(tǒng)的誤差分析算法大部分基于相控陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),而本文針對FDA的陣列位置誤差分析問題,通過對傳統(tǒng)相位誤差分析方法進(jìn)行改進(jìn),提出了一種基于區(qū)間分析算法的FDA陣列位置誤差分析方法。在理論推導(dǎo)中,由已知陣元位置誤差的上界與下界,計(jì)算出波束誤差的上界與下界的表達(dá)式,通過蒙特卡羅方法驗(yàn)證了該方法的有效性，并使用此方法對波束性能進(jìn)行了分析。在實(shí)際配置FDA陣元結(jié)構(gòu)時(shí),往往會(huì)引入陣元位置誤差,但是本文的分析方法能夠有效預(yù)測此誤差對波束產(chǎn)生的影響,此方法為FDA波束設(shè)計(jì)的誤差分析提供了新的思路。