基于GARCH-JSU分布模型對風險價值評估的實證研究

陳媛媛 李翠霞

(1.福州工商學院文法學院 福建福州 350715；2.徐州工程學院數學與統計學院 江蘇徐州 221018)

風險價值(VaR)是在選定的一段時間內，某一置信水平上以貨幣單位或占投資組合價值百分比的最大損失。1993年，G30集團在研究金融衍生品類別的基礎上，提出了度量市場風險的VaR方法。1994年，摩根大通推導出了用于計算VaR的風險控制模型(RiskMetrics)，提高了該公司的知名度。隨后，巴塞爾銀行監管委員會提出，可以使用內部VaR模型確定銀行進行的交易活動必須滿足的資本要求。在此領域出版了多部著作，如Jorion(1996)[1]和Dowd(1998)[2]等解釋了VaR背后的統計基礎；Jorion(2000)[3]，Mittnik和Rachev(2000)[4]，Duffie和Pan(1997)[5]給出了VaR的一般解釋。市場上大部分投資者對VaR的衡量主要通過在預定的置信水平上由于市場下行影響而造成在接下來的一段時間內可能產生的最大損失，計算結果主要依賴選取的條件分布的尾部狀態，隨著GARCH模型成功地應用于對波動率進行建模，GARCH模型對VaR的研究成為一個重要的研究領域。Francq (2015)[6]認為，對參數形式εt=σt(θ0)ηt的這種GARCH模型來說，VaR值的計算結果主要依賴對tη所設定的分布形式，而不依賴波動率參數 0θ。本文在Francq思路的基礎上，使用了一種新的條件分布形式——JSU(Johnson SU)型分布，為上證綜合指數建立了條件方差模型，并與之前提出的傳統分布形式，即正態分布、學生t分布、廣義誤差分布(GED)進行比較。

1 模型基本原理

1.1 風險價值(VaR)

VaR(Value at Risk) 是指在確定的一段時間內，投資組合在某一置信水平上產生的最大損失，即

其中，P表示概率度量；ΔP=P(t+Δt)-P(t)表示投資組合在持有期Δt內產生的損失；P(t)表示投資組合當下t時刻的實際價值(通常看作收益率)；τ為置信水平，VaR值代表在置信水平τ上可能產生的最大損失值。通過上述表達式可以看出，VaR是關于Δt(持有期)和τ(置信水平)的函數，并且其計算結果隨著Δt和τ的增加而增加。因此，排除其他外在因素的影響，VaR值由持有期和置信度兩個參數決定。本文均采用一天的持有期進行計算。

1.2 Johnson SU型分布

Johnson分布體系是由Johnson(1949)對服從標準正態分布的隨機變量進行不同變換得到的，其中主要包括三種類型：對數正態系統(SL)、有界系統(SB)、無界系統(SU)。表1給出了Johnson分布體系及其與各種變換形式之間的對應關系。由于隨機變量取值范圍的限制，SL型和SB型均不適用于對金融時間序列的分布進行擬合，因而SU型分布受到金融計量建模者的廣泛關注[7]。

表1 Johnson分布體系及變換

在JSU分布中，當偏度參數γ＞0(γ＜ 0)時，分布呈現右(左)偏；當γ=0時，分布呈現對稱。此外，當峰度參數δ取值越大時，分布的峰值越高。由于JSU分布與Norm分布存在變換關系，因此這類分布的分位數、密度函數、分布函數均可由標準正態分布的對應參數經變換得到。不同于其他(如學生t、非對稱或有偏的學生t等)分布，Choi等[8]推導出JSU分布的前四階中心矩，由此說明JSU分布的所有高階矩均有限，使其更易于描述金融資產的非對稱性和厚尾特征。

1.3 模型表示

GARCH(1，1)-JSU模型表示如下：

其中，μt=Et-1(yt)為條件均值；Ωt-1為t-1時刻前的信息集；εt為殘差項，zt是εt標準化后的誤差項；γt為時變的偏度參數；δt為時變的峰度參數。

1.4 模型檢驗

Kupiec(1995)[9]提出了失敗頻率檢驗法，通過觀察實際損失超過建立模型后得到的VaR值的概率檢驗模型的準確性。當實際損失超過模型得到的計算值，標記為預測失敗。將置信水平設為τ，選定實際觀測天數T，預測失敗天數為N，則失敗頻率為p=N/T。假定模型計算值在時間上是相互獨立的，那么預測失敗的期望概率為 * 1pτ=-。模型的準確性依賴失敗概率p是否等于p*，即檢驗的零假設是H0:p=p*。

Kupiec提出了對H0的似然比率檢驗：

在H0下，LR～。

這種似然比率檢驗法在評估模型的準確性方面有著廣泛的應用，但也存在一定的局限性，當我們基于每日或每周收益率的時間間隔下，導致數據量過少，此時建立的模型很容易低估潛在的損失，導致模型預測失敗，因此這種檢驗方法一般適用有大量觀測數據的前提下。

為了進一步驗證模型的準確性，本文加入了一個新的評價指標，相對誤差率[10]：|，對模型進一步評估。模型效果的優劣可通過相對誤差率的大小進行判斷，綜合兩項指標值進行模型篩選，從而建立最優預測模型。

2 基本數據分析

2.1 數據選取

本文選取2009/01/05—2019/12/31的上證指數作為研究對象，其中觀測區間為2009/01/05—2018/01/31的2211個值作為訓練數據，用于建立模型，觀測區間為2018/02/01—2019/12/31的462個觀測值作為測試數據，用于模型的綜合評價。本文采用對數收益率進行建模，即rt=lnpt-lnpt-1，pt為第t日收盤價。

經檢驗見(圖1)發現，本文選取的收益率序列是平穩的，但不服從正態分布(見圖2)，并且存在波動聚集和尖峰厚尾的特征(見表2)。

表2 數據基本統計量

圖1 上證指數日對數收益率

圖2 上證指數收益率QQ圖

2.2 自相關和偏自相關函數

通過計算上證綜合指數收益率及其平方值序列的自相關系數(ACF)和偏自相關系數(PACF)，如圖3所示。由圖3可以看出，上證綜指收益率的ACF和PACF基本在臨界值范圍內，所選取的數據不存在顯著的序列相關性，但是從收益率平方的ACF和PACF看出，收益率平方呈現明顯的序列相關性。因此，本文研究的收益率序列不存在序列相關，但并不獨立，其收益率的條件方差存在序列相關。

圖3 上證指數收益率及其平方的ACF和PACF圖

2.3 單位根和平穩性檢驗

時間序列數據的平穩性是本文對其進行建模的前提。本文使用了三個常用的檢驗方法，即ADF單位根檢驗[11]、PP 單位根檢驗[12]、KPSS平穩性檢驗[13]。

由表3可以看出，對于(1)(2)序列存在單位根的原假設均被拒絕了，同時KPSS平穩性檢驗預示著本文的回報序列是平穩的。

表3 平穩性檢驗

3 模型建立及預測

3.1 估計參數(見表4)及預測結果(見表5)

表4 不同分布的參數估計

表5 不同分布預測結果

3.2 結果分析

(1)通過Kupiec檢驗結果來看，99%的置信水平上，正態分布、t分布與GED的p值均有小于5%的顯著性水平出現，由此拒絕了Kupiec檢驗的原假設。

(2)就相對誤差來看，JSU分布的相對誤差在任意置信水平上均達到最小，說明其預測效果最佳。

因此，在綜合兩個指標評價后發現，本文提出的JSU模型分布的預測效果是最優的，這種新的分布形式在量化股票風險中表現較好，對投資者和上市企業都是極為有利的。其中，對投資者而言，讓其對所選取的目標股票在未來可能發生的風險有一定的認知；對上市企業而言，可以著眼未來可能發生風險的概率，以采取更多的保護措施抵御風險。

但尚有不足之處，第一，本文僅研究了一只股票指數，而金融市場中的產品類型不計其數，因此模型是否具有廣泛的說明意義需更多的實證數據來分析，下一步我們將進行此項工作。第二，雖然VaR可以作為機構和投資者在交易時提供一定的信息參考，但金融市場變幻莫測，其結構經常會受到宏觀經濟政策、國際形勢、自然環境等方面的影響，在進行交易時，如果單憑這一個指標是不夠的。當前在金融領域，研究人員在不斷深入探索新的方法來量化風險，其中包括神經網絡、支持向量機等人工智能領域的方法進行結構監測。因此在此領域，未來將考慮結合時間序列和面板數據進行深層次的研究，以建立更為科學合理的風險測量模型。