GeoGebra 在初中圖形與幾何教學中的應用策略探析

龔天軍

（甘肅省金塔縣第四中學，甘肅金塔 735300）

GeoGebra 是幾何與代數詞語的組合，集3D、計算、統計、圖形、代數、幾何、函數為一體，可確保數學問題能夠直觀、高效地得到解決。它開源免費、易于學習，學生可以動手實作，也可以對動態幾何變化清晰觀察，有助于幫助學生建立幾何思維觀念，強化理解幾何知識。教師可以根據課程目標和教學需求，應用GeoGebra 創設情境，設計觀察、實驗、操作等形式的探究活動，使學生感受探索圖形與幾何世界的樂趣，從而減輕學生負擔、增強教學實效。下面筆者就對此目標展開教學探析。

一、GeoGebra 在初中圖形與幾何教學中的應用價值

圖形與幾何課程在初中數學教學中占據重要的地位。在課程改革中應用這款動態視頻軟件，能夠打造直觀、形象的教學環境，提高學生對圖形與幾何知識的認知效率。經過學情分析和理論實踐研究，筆者將GeoGebra 在初中圖形與幾何教學中的應用價值概括為下列三個方面：

第一，有利于調動學生探索圖形與幾何課程的積極性。初中階段學生的讀圖、識圖能力偏弱，掌握的幾何語言比較匱乏，對圖形與幾何課程學習存在一定的抵觸情緒。GeoGebra具備優越的圖形制作和處理功能，能夠以不同的方式為學生呈現圖形，有利于調動學生探索課程知識的積極性。如在立體圖形教學中，教師可以為學生繪制立體圖形的折疊和展開圖，或者出示展開圖，引導學生通過觀察判斷出立體圖形的本來形狀，也可以幫助學生構建矩形、橢圓、圓形等幾何圖形，使學生高效認知數學知識，提高學習效果。GeoGebra 還能幫助學生構建CAS 模塊，以理解復雜的函數問題，并通過對函數參數的調節對函數圖形的變化進行觀察，從而高質量理解幾何原理。利用GeoGebra 開展教學活動有利于學生體驗人機互動的樂趣，喚醒學生對圖形與幾何課程的自主探索動機［1］。

第二，有利于學生理解圖形與幾何的概念知識。初中階段圖形與幾何課程知識的概念性較強，學習方法也從運算轉變為推理論證，學生的數形結合思維還有待發展，他們在學習課程概念知識時面臨較大的難關。GeoGebra 具備動態化演示的優勢，還能同步展示圖形的數形關系，將其引入初中圖形與幾何教學，對促進學生理解圖形與幾何的概念知識很有幫助。如在幾何定理和概念教學中，教師可以通過動態演示法呈現幾何圖形的運動變化規律，引導學生分析數與形的內在聯系，通過推理和論證得出幾何圖形的性質和定理，使學生經歷概念知識的生成過程，從而助力學生深度地領會課程概念知識。學生還可以借助這一模式，對數學主題問題中的一般問題進行分析，以此鞏固幾何基礎知識的認知能力，提高學生的數學思維，然后再進行引申學習，對特殊化的數學問題開展思考，進而從多元層面理解幾何問題，幫助學生突破當前幾何知識的學習瓶頸。

第三，有利于教師創新圖形與幾何的教學方式。在新課程標準下，教師必須持續地創新圖形與幾何教學方式，以便給學生新穎的學習體驗，引領學生積極地探索圖形與幾何世界的奧秘。GeoGebra 的操作界面集繪圖、運算、表格、概率統計于一體，能夠滿足不同場景的圖形與幾何教學需求，有利于教師更新圖形與幾何的教學方式。如教師可以根據課程內容指導學生自主作圖，或利用呈現的動態3D 圖像組織學生動手制作幾何圖形的模型，提高學生對課堂活動的參與度，鍛煉學生的手動實操技能，從而推動圖形與幾何教學手段的推陳出新。

二、GeoGebra 在初中圖形與幾何教學中的應用策略

（一）應用GeoGebra 創設教學情境，激發學生的學習興趣

初中階段圖形與幾何課程包括點、線、面、角等幾個領域的基礎知識，以及圖形軸對稱、平移、旋轉等圖形變換內容，這些知識點具有邏輯性和抽象性，對直觀教學有著較高的要求。GeoGebra 是直觀教學的利器，適用于在圖形與幾何教學中創設情境，教師應該根據課程要點和學生的興趣點，加強使用繪圖工具欄，為學生呈現圖形和幾何的圖像，加深學生感知，從而借助直觀情境激發學生的學習興趣。具體教學策略如下：

例如，在學習動點軌跡知識內容的過程中，教師應明確這是初中數學的重難點學習內容，它的學習核心點在于對動點軌跡為圓弧形的模型開展研究，借助GeoGebra 這一幾何軟件為學生創設形象化的情境模式，讓學生對動點的軌跡做出快速判斷，確定運動過程中的不變量，以可視化的情境學習數學，豐富學生的數學思想，讓學生對數學知識的形成過程進行感知，并可以對數學知識的演變規律形成認知。圓弧形是初中常見的動點軌跡類型，包括定邊對定角的動點軌跡，以及動點到固定點的距離與定長相等，傳統層面黑板+粉筆的模式過于抽象，很難達到教學預期。而為學生創設動態演示的情境，能以有趣、直觀的方式呈現難懂的幾何問題。如有一個梯子正以豎直的方式靠著墻壁下滑，梯子中間有個老鼠，一只貓盯著老鼠看，想要在與老鼠距離最短的剎那捕捉它，若以理想化的方式看待這一問題，設老鼠、貓、梯子、墻面均處于同一平面內的點或線，求在滑動過程中老鼠與貓距離的最小值？對于這類問題，通過軟件為學生創設情境，呈現動態畫面，并根據直角三角形斜邊上的中線與斜邊的一半相等，結合兩點間線段最短可以做出判斷。也可以在情境模式下，以“特殊值”法畫出梯子在不同狀態下E 這一中間點的位置，以猜想的方式了解到一條圓弧為點E 的軌跡。使用軟件創設情境，能使抽象的問題形象化，會幫助學生高效解決此問題。

（二）應用GeoGebra 實施動態演示，深化學生的概念理解

GeoGebra 軟件的動態演示功能十分突出，教師在圖形與幾何的概念教學中，應進行動態演示教學，把作圖以及圖形的變化過程完整地呈現給學生，從而深化學生的概念理解。具體教學策略如下：

在實施動態演示時，教師應該根據圖形與幾何課程的概念要點，在繪圖區選擇合適的作圖工具，為學生演示作圖、圖形的生成及變化過程，同時采用問題導學的手段，引導學生觀察和分析圖形的特點，通過討論總結概念知識，促進學生深刻認知和理解概念。如在關于軸對稱的教學中，教師可以先在繪圖區繪制一個不規則的四邊形，然后點擊工具欄中的軸對稱工具、先前創建的不規則四邊形以及對稱軸，即可生成一個軸對稱圖形。在動態演示軸對稱圖形的生成過程后，教師設問：同學們，這個軸對稱圖形有什么特點？學生觀察、討論后反饋：如果沿著這個四邊形中間的直線對折，直線兩旁的圖形能夠相互重合。教師認可后，組織學生合作歸納軸對稱圖形的概念。在學生初步掌握圖形和對稱軸的概念后，教師繼續問：那么一個軸對稱圖形會有多少條對稱軸？學生給出不同的回答：一條或者多條。教師可以做一個全等三角形的軸對稱圖形，并演示選擇不同的對稱軸，對圖形進行折疊，引導學生觀察折疊后的圖像是否完全重合。學生觀察后得出結論：軸對稱圖形一定有對稱軸，對稱軸可以是一條，也可以是多條。這樣通過實施動態演示，學生對課程概念知識就建立了透徹的理解［2］。

（三）應用GeoGebra 組織實驗探究，發展學生的空間觀念

GeoGebra 是開展圖形與幾何實驗教學的最佳工具，教師可以圍繞課程中的定理和判定內容，通過提出實驗問題、學生猜想、演示實驗、檢驗猜想等流程，幫助學生掌握圖形與幾何的判定定理，從而發展學生的空間觀念。具體教學策略如下：

在組織實驗探究時，教師應該基于圖形與幾何的判定定理課程要點精心設計實驗問題，引導學生圍繞問題展開探討，提出合理的猜想或假設。教師再根據學生的假設進行操作檢驗，組織學生分析實驗過程和檢驗結果，最終得出幾何圖形的判定定理。如在關于三角形全等判定的教學中，教師采用溫故知新的方式，先讓學生回顧全等三角形的定義和性質，然后提出實驗問題：同學們，必須滿足三條邊分別相等、三個角也分別相等，才能確保兩個三角形全等嗎？學生討論后反饋猜想：不是必需的，這些條件中要能滿足三條邊分別相等，或者是兩邊和它們的夾角對應相等，就能判定是等邊三角形。接下來，教師可以分別繪制兩組邊邊邊相等、邊角邊相等的三角形，然后用平移視圖工具將兩組三角形分別重疊，指導學生觀察并描述重疊后的圖像。學生反饋：兩組三角形的角和邊完全重合。教師追問：那么大家先前提出的猜想是否成立？學生分析后確認猜想成立。通過組織實驗探究，學生經歷了全等三角形判定定理的猜想、檢驗和推理過程，空間觀念與合情推理能力都得到培養［3］。

（四）應用GeoGebra 開展操作活動，鍛煉學生的實操能力

GeoGebra 的操作方法非常簡單，能夠指導學生以自主或者合作學習的方式進行繪圖。這種形式比尺規作圖的趣味性更強，同時能夠鍛煉學生對信息化軟件的實操能力。具體教學策略如下：

教師應該根據教材中的圖形與幾何知識點以及繪圖需求，先帶領學生熟悉軟件的工具欄及每個工具的功能，然后給學生布置繪圖任務，提供計算機和GeoGebra 軟件，組織學生5～6 人一組，以合作的方式開展繪圖操作。在學生操作結束后，教師讓各組展示繪圖成果，并結合學生作的圖滲透課程的基本概念知識。如在關于圖形旋轉的教學中，在學生初步了解操作方法后，教師發布一項繪圖任務：請大家以正方形為例，合作繪制正方形繞任意角的頂點、順時針旋轉45°后的圖像。各組學生可以先在繪圖區作出正方形，然后點擊任意角的頂點，新建角度滑動條、輸入旋轉角度、選擇旋轉方向，最后用鼠標拖動角度滑動條，展示圖形旋轉的動態圖繪制成果。教師結合學生的作圖成果設問：同學們，從剛才的操作來看，哪兩個操作步驟最關鍵？學生交流后回答：選擇正方形任意角的頂點和輸入旋轉角度。教師：那么圖形的旋轉變換是由哪些因素決定的？學生：由旋轉中心和旋轉角度所決定。這樣通過應用軟件開展操作活動，學生能夠深入認識旋轉現象、體會圖形旋轉的過程，實操能力獲得有效地強化［4］。

（五）應用GeoGebra 設計隨堂練習，鞏固學生的學習效果

GeoGebra 能夠具象化地展示幾何圖形的練習題，教師可以應用其中的設計觀察、證明、判斷等形式的隨堂練習考查學生對課程知識技能的掌握和運用情況，從而鞏固學生的學習效果。具體教學策略如下：

在設計隨堂練習時，教師應該根據圖形與幾何課程的檢測需求繪制和出示圖像，提出對應的檢測問題，引導學生結合創建的圖像開展觀察、推理、論證等練習活動，或者用教材中的概念知識來描述圖像，從而促進學生對課程知識技能的活學活用。如在關于圖形的相似的教學中，學生掌握相似形的概念后，教師就可以繪制幾組形狀相同、比例為2：1的幾何圖形，同時引出檢測問題：同學們，請大家仔細觀察這幾組圖形，它們是相似形嗎？為什么？學生觀察、分析后回答：是相似形，因為它們的形狀相同。隨后，教師使用放大、平移和旋轉工具，把每組幾何圖形中較小的那個放大兩倍，進行平移和旋轉操作后，使每組中兩個圖形相互重合，用于驗證學生的答案是正確的，并鼓勵學生列舉在生活中見過的相似形，嘗試把相似形的大致形狀畫出來。這樣通過應用GeoGebra 設計隨堂練習，學生實現了對圖形與幾何基礎知識的學以致用［5］。

三、結語

綜上所述，在初中圖形與幾何教學中應用GeoGebra，不僅有利于調動學生的課程探索積極性，也能加速學生理解圖形與幾何的概念知識。教師應該全面地分析圖形與幾何教學內容及學情，挖掘其功能優勢，通過創設教學情境、實施動態演示、組織實驗探究、開展操作活動、設計隨堂練習等增強學生的學習興趣和數形結合意識，培養學生的幾何直觀能力和手動實操能力，從而通過對GeoGebra 的科學應用，為初中圖形與幾何教學改革提質增效。