在探索中歸納 在生活中應用

王國偉 王玉鳳

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確要求教師要確立核心素養(yǎng)導向的課程目標，通過數(shù)學課堂的系統(tǒng)學習，夯實學生對數(shù)學基礎(chǔ)知識，優(yōu)化數(shù)學思想，提高學生對問題的分析以及解答能力，形成正確的價值觀念。在初中階段，勾股定理是整個教學板塊的重要內(nèi)容，教師亟須吸收先進的教育理念，站在學生的角度思考問題，優(yōu)化學生思維，滿足不同學生的實際需要，讓學生在實踐中摸索，在生活中能夠靈活應用。同時，教師必須探索多種途徑，創(chuàng)建豐富且趣味性較強的數(shù)學課堂，幫助學生掌握直角三角形三邊的關(guān)系，在不斷實踐和探索的過程中打造高質(zhì)量的數(shù)學課堂。本文就北師大版八年級上冊“勾股定理”這一內(nèi)容展開分析，在各種教學活動的開展下，幫助學生掌握勾股定理的概念、理解直角三角形三邊的關(guān)系，并能夠根據(jù)課堂所學靈活解答現(xiàn)實生活中的各種問題，近距離感知數(shù)學課堂的魅力。

一、史料引出，探究勾股定理的文化背景

教師利用多媒體給學生播放勾股定理的背景，以趣味性的圖片展示勾股定理的文化背景，引領(lǐng)學生感知勾股定理，建立初步的學習概念，使其深入探索勾股定理的歷史數(shù)學知識，以此滿足學生的求知欲望。在問題與現(xiàn)實生活問題的分析下，為學生創(chuàng)設(shè)生活化學習情境，引發(fā)學生深入思考，讓其從思想上感知數(shù)學學科與生活的必然聯(lián)系，為接下來的知識學習打下堅實的基礎(chǔ)。

師：大家知道勾股定理嗎？勾股定理在現(xiàn)實生活中有什么作用？（播放勾股定理數(shù)學視頻）

教師結(jié)合視頻，引導學生回答問題。

生1：勾股定理是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，但是在他之前勾股定理的原理以及證明已經(jīng)存在很長時間，最后是畢達哥拉斯將勾股定理進行了完善。

生2：勾股定理在幾何學、建筑等領(lǐng)域都得到了廣泛應用，很多技術(shù)工人都會用到勾股定理，在建房子的時候需要用勾股定理計算，設(shè)計工程圖紙同樣也會用到勾股定理。

生3；在物理學科中也會運用，比如要求幾個力？如何求出物體的合速度？

生4：古人也會應用勾股定理，比如造車。

生5：我讀過《周髀算經(jīng)》，里面夏禹就用勾股定理進行了測量，而且在這本書里還有一位數(shù)學家用勾股定理測量了太陽的高度，還分析了太陽的直徑。

教師：大家的回答太讓我吃驚了，特別是第五位同學對勾股定理的理解非常棒，真是一位“數(shù)學小百科”，看來他對這部分知識的預習非常充分，希望大家向他學習。勾股定理作為一種實用性極強的數(shù)學工具，在實際生活中能夠更好地幫助我們解決各種實際問題，接下來讓我們一起深入分析勾股定理的具體內(nèi)容。

二、注重啟發(fā)，探究關(guān)系

探究活動一：

測量物體長度并完善表格內(nèi)容。

教師：剛才我們對勾股定理的應用范圍以及相關(guān)的歷史背景進行了簡要分析，現(xiàn)在請大家準備兩把直角三角尺，分別測量這兩把三角尺的三邊長度，并將你所得到的數(shù)據(jù)填寫進表格內(nèi)（見表1）。

教師：剛才大家所獲得的數(shù)據(jù)都已經(jīng)詳細進行了記錄，現(xiàn)在請大家思考三邊長度A、B、C之間有什么關(guān)系，可與同桌討論一下。

探究活動二：

在特殊的等腰直角三角形里，兩個小正方形P和Q的面積之和等于大正方形R的面積，請寫出詳細公式。（見圖1）

學生：根據(jù)已知條件可知AC2+BC2=AB2

探究活動三：

依據(jù)圖2中的圖形探究下列問題：

任意直角三角形里，若∠C=90°，那么a2+b2=c2，注意：一個小方格的實際長度為1平方厘米。

教師：綜上所述，我們能夠得出什么是勾股定理，請大家結(jié)合上面的例題將勾股定理變式。

a2+b2=c2變式為兩種：

1.a2+b2=c2

2.b2=c2-a2

為簡化學生對勾股定理概念以及直角三角形三邊關(guān)系的判定，教師在學生討論的過程中，通過提示、引導、分析等多種方式解答學生的學習問題，降低學習難度。在整個討論過程中，以一種傾聽者的角色了解學生的真實想法，幫助學生解答學習困惑。

三、案例引入，深入剖析直角三角形三邊關(guān)系的判定內(nèi)容

教師引入具體的生活化案例，旨在幫助學生回憶前期所學的知識要點，解決本節(jié)課程的知識難點。在多種案例的分析下，讓學生有更多的選擇空間，同時，通過小組之間的共同協(xié)作，能夠?qū)Α爸苯侨切稳呹P(guān)系”的相關(guān)知識理解得更加深刻。生活化例題的引入也能讓學生更直觀地理解以及分析實際生活中所出現(xiàn)的數(shù)學問題，優(yōu)化學生思維，保障學習效果。

教師：同學們，前期大家對“直角三角形三邊關(guān)系”的相關(guān)內(nèi)容有了初步了解，接下來我們以數(shù)字闖關(guān)游戲的方式解答生活中的實際問題。現(xiàn)在請大家以小組為單位，四五個人為一小組進行小組PK。每一道例題在講解中必須有明確的解題步驟，明確思路，小組內(nèi)可以自由分工合作。在討論結(jié)束之后，我會邀請學生上臺發(fā)言。

案例一：明明爸爸將一根長為10 m的梯子斜靠在圍墻上，BC長度為6 m，現(xiàn)在請問梯子上端A到墻的底邊垂直距離AB是多少？（見圖3）

案例二：在某城市，強烈的臺風將一根高為18米的木質(zhì)旗桿吹裂，隨時都有可能危及周圍居民的生命安全，警察接到報警之后現(xiàn)場決定在斷裂處將旗桿折斷，（斷裂的地方距離地面5米）現(xiàn)在需要劃分安全區(qū)域，通過什么方式可以確定安全區(qū)域的半徑呢？

案例三：星星搬進了新家，在新家的附近有一片湖，現(xiàn)在要求出湖兩岸的距離A和B，星星在C點設(shè)一個木樁，構(gòu)成直角三角形ABC，在測量以后得出AC長度為160 m，BC長度為128 m，現(xiàn)在請算出A點到B點的距離。（見圖4）

教師根據(jù)PPT展示的例題，讓學生以小組合作的方式現(xiàn)場討論分析，了解直角三角形三邊的關(guān)系，并根據(jù)課堂的知識學習得出正確結(jié)論。教師隨機邀請一名學生上臺講解具體的解題思路，選擇的案例類型不設(shè)限制。

學生：老師，我來講解案例一，根據(jù)題目的已知條件可以知道AC=10 m，BC=6 m，那么在RT△ABC中：

AB2=AC2-BC2

=100-36

=64

所以AB=8 m

師：在解答這道例題時都有什么考點可以說一說嗎？你認為在解答這種例題的時候需要注意哪些？請簡要說明。

生：在這道例題里，通過勾股定理的相關(guān)知識可以得出最終結(jié)論。我認為在解答這種問題時，從實際問題中抽象出勾股定理是這道例題解答的關(guān)鍵。（1）必須仔細閱讀題目中所給出的關(guān)鍵信息，特別是題目里出現(xiàn)的數(shù)字要重點關(guān)注，根據(jù)所學知識靈活應用；（2）要注意公式應用的準確性，比如求b2，那根據(jù)公式可知b2=c2-a2；（3）一定要有明確的解題步驟，書寫要整齊，公式的數(shù)字要寫清楚。

師：非常不錯，這位同學的講解思路明確，而且他對例題經(jīng)驗的分享也非常實用，希望大家后期可以借鑒這位同學的解題方法，切實提高數(shù)學成績。

教師結(jié)合學生的陳述作出評價，以此幫助學生分析其他例題。

師：剛才大家針對例題的解答非常詳細，我看到每一名學生的解題步驟非常仔細，現(xiàn)在請大家分享一下我們?nèi)绾螒霉垂啥ɡ恚梢詮木唧w的解題步驟、你認為最高效的計算方式等方面作出分析。

生1：我認為要確定直角三角形三條邊之間的關(guān)系可以應用公式，因為這種公式很簡單，而且非常實用，在很多的例題里面都得到了廣泛應用。

生2：在解答時，我認為最重要的是首先必須確定直角三角形的邊，因為勾股定理只能在直角三角形里面才能應用。如果確定好是直角三角形之后，勾股定理就非常簡單了。而區(qū)分什么是直角三角形或者是其他三角形，這個時候只需要判定在一個三角形里面是否有一個90度的角，通常用一個小方格標注。其次，在確定三角形三邊可以用勾股定理時，a和b分別表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來表示直角三角形的斜邊，也就是最長的那一條邊。最后，根據(jù)題目要求，結(jié)合勾股定理的公式就能求出答案。這個時候要注意在計算平方的時候先算出已知邊長度的具體平方值，或者可以選擇保留平方。

生3：老師，我認為除了應用勾股定理的公式之外，還可以在直角坐標系中求兩點的直線距離，運用這種方式也能夠求出最終的值。

師：非常不錯，特別是第三位同學在陳述中對于勾股定理的具體應用步驟、解題的技巧都進行了重點說明，看來大家對如何判定直角三角形三邊關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容已經(jīng)掌握得非常牢固，希望大家在后期的例題中也能夠高效應用，提高解題正確率。

四、布置課后作業(yè)，提高學生對知識的應用能力

在作業(yè)設(shè)計中，教師可結(jié)合當前學生的實際情況，整合教育資源，為學生創(chuàng)新作業(yè)類型，在多種類型的作業(yè)設(shè)置下滿足不同學生的實際需要，調(diào)動學生對當前作業(yè)完成的積極性，保持學生熱情，實現(xiàn)對知識的鞏固和利用的教學目標。基礎(chǔ)題型的作業(yè)側(cè)重學生對課堂所學知識的掌握和理解，便于教師直觀分析學生的知識吸收情況，提高學生對基礎(chǔ)知識的掌握能力；拓展型作業(yè)可以滿足不同水平學生的實際需要，在拓寬學生知識面的基礎(chǔ)之上提高學生解決實際問題的能力。

例如，讓學生根據(jù)本節(jié)課堂所學，以直角三角形三邊關(guān)系為中心建立思維導圖。框架要求思路清晰、制作形式簡單直觀。當學生完成思維導圖之后，以同桌兩人為一組共同分析思維導圖制作中的不足以及優(yōu)勢。比如，有的思維導圖包含的知識點完整、全面，但是整體的設(shè)計形式呆板、缺乏創(chuàng)新；有的思維導圖設(shè)計形式新穎，但是每一個板塊的知識點羅列過于詳細，看起來有點煩瑣。

以這種互相評價的方式，一方面讓學生去了解自身所存在的不足，并在后期的思維導圖制作中及時查漏補缺，不斷完善；另一方面也能讓學生在明確自身優(yōu)勢的基礎(chǔ)之上去學習他人在思維導圖制作中的優(yōu)點，這種取長補短的方式能為學生各方面能力的提升打下堅實的基礎(chǔ)。

教師以總結(jié)的方式，讓學生明確不同形式作業(yè)的必要性，并讓學生敢于挑戰(zhàn)自我，克服難題的心理障礙，最后結(jié)束課堂。

（作者單位：1.蘭州市第五中學；2.蘭州市第三中學）

編輯：陳鮮艷