在探索中歸納 在生活中應用

王國偉 王玉鳳

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確要求教師要確立核心素養導向的課程目標，通過數學課堂的系統學習，夯實學生對數學基礎知識，優化數學思想，提高學生對問題的分析以及解答能力，形成正確的價值觀念。在初中階段，勾股定理是整個教學板塊的重要內容，教師亟須吸收先進的教育理念，站在學生的角度思考問題，優化學生思維，滿足不同學生的實際需要，讓學生在實踐中摸索，在生活中能夠靈活應用。同時，教師必須探索多種途徑，創建豐富且趣味性較強的數學課堂，幫助學生掌握直角三角形三邊的關系，在不斷實踐和探索的過程中打造高質量的數學課堂。本文就北師大版八年級上冊“勾股定理”這一內容展開分析，在各種教學活動的開展下，幫助學生掌握勾股定理的概念、理解直角三角形三邊的關系，并能夠根據課堂所學靈活解答現實生活中的各種問題，近距離感知數學課堂的魅力。

一、史料引出，探究勾股定理的文化背景

教師利用多媒體給學生播放勾股定理的背景，以趣味性的圖片展示勾股定理的文化背景，引領學生感知勾股定理，建立初步的學習概念，使其深入探索勾股定理的歷史數學知識，以此滿足學生的求知欲望。在問題與現實生活問題的分析下，為學生創設生活化學習情境，引發學生深入思考，讓其從思想上感知數學學科與生活的必然聯系，為接下來的知識學習打下堅實的基礎。

師：大家知道勾股定理嗎？勾股定理在現實生活中有什么作用？（播放勾股定理數學視頻）

教師結合視頻，引導學生回答問題。

生1：勾股定理是畢達哥拉斯發現的，但是在他之前勾股定理的原理以及證明已經存在很長時間，最后是畢達哥拉斯將勾股定理進行了完善。

生2：勾股定理在幾何學、建筑等領域都得到了廣泛應用，很多技術工人都會用到勾股定理，在建房子的時候需要用勾股定理計算，設計工程圖紙同樣也會用到勾股定理。

生3；在物理學科中也會運用，比如要求幾個力？如何求出物體的合速度？

生4：古人也會應用勾股定理，比如造車。

生5：我讀過《周髀算經》，里面夏禹就用勾股定理進行了測量，而且在這本書里還有一位數學家用勾股定理測量了太陽的高度，還分析了太陽的直徑。

教師：大家的回答太讓我吃驚了，特別是第五位同學對勾股定理的理解非常棒，真是一位“數學小百科”，看來他對這部分知識的預習非常充分，希望大家向他學習。勾股定理作為一種實用性極強的數學工具，在實際生活中能夠更好地幫助我們解決各種實際問題，接下來讓我們一起深入分析勾股定理的具體內容。

二、注重啟發，探究關系

探究活動一：

測量物體長度并完善表格內容。

教師：剛才我們對勾股定理的應用范圍以及相關的歷史背景進行了簡要分析，現在請大家準備兩把直角三角尺，分別測量這兩把三角尺的三邊長度，并將你所得到的數據填寫進表格內（見表1）。

教師：剛才大家所獲得的數據都已經詳細進行了記錄，現在請大家思考三邊長度A、B、C之間有什么關系，可與同桌討論一下。

探究活動二：

在特殊的等腰直角三角形里，兩個小正方形P和Q的面積之和等于大正方形R的面積，請寫出詳細公式。（見圖1）

學生：根據已知條件可知AC2+BC2=AB2

探究活動三：

依據圖2中的圖形探究下列問題：

任意直角三角形里，若∠C=90°，那么a2+b2=c2，注意：一個小方格的實際長度為1平方厘米。

教師：綜上所述，我們能夠得出什么是勾股定理，請大家結合上面的例題將勾股定理變式。

a2+b2=c2變式為兩種：

1.a2+b2=c2

2.b2=c2-a2

為簡化學生對勾股定理概念以及直角三角形三邊關系的判定，教師在學生討論的過程中，通過提示、引導、分析等多種方式解答學生的學習問題，降低學習難度。在整個討論過程中，以一種傾聽者的角色了解學生的真實想法，幫助學生解答學習困惑。

三、案例引入，深入剖析直角三角形三邊關系的判定內容

教師引入具體的生活化案例，旨在幫助學生回憶前期所學的知識要點，解決本節課程的知識難點。在多種案例的分析下，讓學生有更多的選擇空間，同時，通過小組之間的共同協作，能夠對“直角三角形三邊關系”的相關知識理解得更加深刻。生活化例題的引入也能讓學生更直觀地理解以及分析實際生活中所出現的數學問題，優化學生思維，保障學習效果。

教師：同學們，前期大家對“直角三角形三邊關系”的相關內容有了初步了解，接下來我們以數字闖關游戲的方式解答生活中的實際問題。現在請大家以小組為單位，四五個人為一小組進行小組PK。每一道例題在講解中必須有明確的解題步驟，明確思路，小組內可以自由分工合作。在討論結束之后，我會邀請學生上臺發言。

案例一：明明爸爸將一根長為10 m的梯子斜靠在圍墻上，BC長度為6 m，現在請問梯子上端A到墻的底邊垂直距離AB是多少？（見圖3）

案例二：在某城市，強烈的臺風將一根高為18米的木質旗桿吹裂，隨時都有可能危及周圍居民的生命安全，警察接到報警之后現場決定在斷裂處將旗桿折斷，（斷裂的地方距離地面5米）現在需要劃分安全區域，通過什么方式可以確定安全區域的半徑呢？

案例三：星星搬進了新家，在新家的附近有一片湖，現在要求出湖兩岸的距離A和B，星星在C點設一個木樁，構成直角三角形ABC，在測量以后得出AC長度為160 m，BC長度為128 m，現在請算出A點到B點的距離。（見圖4）

教師根據PPT展示的例題，讓學生以小組合作的方式現場討論分析，了解直角三角形三邊的關系，并根據課堂的知識學習得出正確結論。教師隨機邀請一名學生上臺講解具體的解題思路，選擇的案例類型不設限制。

學生：老師，我來講解案例一，根據題目的已知條件可以知道AC=10 m，BC=6 m，那么在RT△ABC中：

AB2=AC2-BC2

=100-36

=64

所以AB=8 m

師：在解答這道例題時都有什么考點可以說一說嗎？你認為在解答這種例題的時候需要注意哪些？請簡要說明。

生：在這道例題里，通過勾股定理的相關知識可以得出最終結論。我認為在解答這種問題時，從實際問題中抽象出勾股定理是這道例題解答的關鍵。（1）必須仔細閱讀題目中所給出的關鍵信息，特別是題目里出現的數字要重點關注，根據所學知識靈活應用；（2）要注意公式應用的準確性，比如求b2，那根據公式可知b2=c2-a2；（3）一定要有明確的解題步驟，書寫要整齊，公式的數字要寫清楚。

師：非常不錯，這位同學的講解思路明確，而且他對例題經驗的分享也非常實用，希望大家后期可以借鑒這位同學的解題方法，切實提高數學成績。

教師結合學生的陳述作出評價，以此幫助學生分析其他例題。

師：剛才大家針對例題的解答非常詳細，我看到每一名學生的解題步驟非常仔細，現在請大家分享一下我們如何應用勾股定理，可以從具體的解題步驟、你認為最高效的計算方式等方面作出分析。

生1：我認為要確定直角三角形三條邊之間的關系可以應用公式，因為這種公式很簡單，而且非常實用，在很多的例題里面都得到了廣泛應用。

生2：在解答時，我認為最重要的是首先必須確定直角三角形的邊，因為勾股定理只能在直角三角形里面才能應用。如果確定好是直角三角形之后，勾股定理就非常簡單了。而區分什么是直角三角形或者是其他三角形，這個時候只需要判定在一個三角形里面是否有一個90度的角，通常用一個小方格標注。其次，在確定三角形三邊可以用勾股定理時，a和b分別表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來表示直角三角形的斜邊，也就是最長的那一條邊。最后，根據題目要求，結合勾股定理的公式就能求出答案。這個時候要注意在計算平方的時候先算出已知邊長度的具體平方值，或者可以選擇保留平方。

生3：老師，我認為除了應用勾股定理的公式之外，還可以在直角坐標系中求兩點的直線距離，運用這種方式也能夠求出最終的值。

師：非常不錯，特別是第三位同學在陳述中對于勾股定理的具體應用步驟、解題的技巧都進行了重點說明，看來大家對如何判定直角三角形三邊關系的相關內容已經掌握得非常牢固，希望大家在后期的例題中也能夠高效應用，提高解題正確率。

四、布置課后作業，提高學生對知識的應用能力

在作業設計中，教師可結合當前學生的實際情況，整合教育資源，為學生創新作業類型，在多種類型的作業設置下滿足不同學生的實際需要，調動學生對當前作業完成的積極性，保持學生熱情，實現對知識的鞏固和利用的教學目標。基礎題型的作業側重學生對課堂所學知識的掌握和理解，便于教師直觀分析學生的知識吸收情況，提高學生對基礎知識的掌握能力；拓展型作業可以滿足不同水平學生的實際需要，在拓寬學生知識面的基礎之上提高學生解決實際問題的能力。

例如，讓學生根據本節課堂所學，以直角三角形三邊關系為中心建立思維導圖。框架要求思路清晰、制作形式簡單直觀。當學生完成思維導圖之后，以同桌兩人為一組共同分析思維導圖制作中的不足以及優勢。比如，有的思維導圖包含的知識點完整、全面，但是整體的設計形式呆板、缺乏創新；有的思維導圖設計形式新穎，但是每一個板塊的知識點羅列過于詳細，看起來有點煩瑣。

以這種互相評價的方式，一方面讓學生去了解自身所存在的不足，并在后期的思維導圖制作中及時查漏補缺，不斷完善；另一方面也能讓學生在明確自身優勢的基礎之上去學習他人在思維導圖制作中的優點，這種取長補短的方式能為學生各方面能力的提升打下堅實的基礎。

教師以總結的方式，讓學生明確不同形式作業的必要性，并讓學生敢于挑戰自我，克服難題的心理障礙，最后結束課堂。

（作者單位：1.蘭州市第五中學；2.蘭州市第三中學）

編輯：陳鮮艷