小學數學高階思維發展的一致性教學

王鑫 （貴州省畢節市納雍縣厙東關彝族白族苗族鄉梅花小學）

高階思維是現階段數學教學改革普遍關注的問題。數學是思維的科學，學生要具備數學核心素養，就離不開發展學生的數學思維。教師帶領學生開展教學工作時，要能夠在核心概念的基礎上將關注點放到培養學生高階思維方面。

一、統領核心概念，感受內容一致性

（一）在概念的透徹理解中明晰核心概念

開展概念學習是學好數學這門學科的基礎。數的概念種類繁多，就算某些學生在平時的生活里面已經對此有一定認識和接觸，然而其本身對數的概念的認識也只是停留在表面，遠沒有達到透徹與精準的程度。教學整數知識時，教師可以引導學生對身邊具體物件數量進行聯想，加深對整數的理解，例如教師可以選擇十進制方式以及計數單位完成計數工作，能夠將“無限”用“有限”來表示；教學分數知識時，教師可以引導學生清楚地知道分數是在度量物體或者等分物體的過程中形成的，要對計數單位“細分”才可以將數的大小精準的表示出來；教學小數等相關知識時，教師可以利用長度單位度量或者人民幣計數等具體問題，帶領學生將數的大小精確表示出來。這種在概念上的精準定位，會使學生對“數”形成一致性認識，即其均源自于抽象的數量關系，對于計數或者是度量單位來說，可通過計數單位直接完成。整數本質上是計數單位持續增加，小數以及分數則是計數單位的持續細化。

在形成這種認知的基礎上，教師繼續利用數的形成背景協助學生對數系擴展網絡進行梳理，也就是整數本身是加1 的運算，是以1 為起點的持續累加，逢十進一，繼而總結成加法運算；分數的獲取一般是“等分除”，也可以是“包含除”，屬于“新”數，繼而將其歸屬于除法運算；小數是以1 為起點展開細化的，在分數中屬于較為特殊的一類，繼而得到小數在運算方面具有較高便捷性的結論。如此一來，學生在學習過程中能夠總體展開理解：“不論是小數、整數抑或是分數，這三者具有一致性的邏輯關系。”

在此前提下，教師可以再借助計數單位的概念就能夠站在總體方面來針對形形色色的數的計數方式展開解釋，從而引導學生加深對數的認識。然而因為“計數單位”這個概念本身具有較高的抽象性，在這種情況下教師需要在充分了解學生認知規律以及年齡特點的前提下引導學生分步驟完成知識的提煉工作，同時要在學習數的意義時對數的讀寫有更加深入的認識，并且從中掌握數的深入應用。例如，在認知整數方面，學生在教師的帶領下，可以對20 以內的整數進行學習，教師可以合理利用實物來為學生展示何為滿十進一，從而加深學生對數的意義的理解，隨后教師也可以借助數的大小比較和讀寫，從而引導學生更深入地來認識單位。如果學生是對萬以內的整數進行學習，可通過對計算器進行使用，這樣教師可更好地幫助學生對“十進制”計數方式、計數單位以及數的意義有所理解，同時在數的大小比較和讀寫過程中將計數單位的價值還有應用體現出來。在中年級數學教學中，教師在傳授給學生較大整數的相關知識時，其能夠合理利用數位順序表來協助學生對數的分級、意義、讀寫等內容展開深入認識。在認識小數以及分數方面，教師在教學過程中依舊可以利用類比整數的方式，學生在學習過程中也可以明確該計數方式的本質。學生在復習時，可對“計數單位”重復利用，進而總結出小數和分數以及整數的計數方式：705456=7×100000+0×10000+5×1000+4×100+5×10+6×1，7/9=7×1/9，0.55=5×0.1+5×0.01……通過不斷地對比和學習，學生便能夠對其計數方式有一定的認識與了解，也就是借助“計數單位”來對數的大小進行表示。

（二）在算理的多元表征中概括出核心概念

學生通過教師的引導，對數學運算不斷地學習。教師務必要讓學生掌握算法技巧，同時還需要幫助學生加深對算理的理解。如果學生只了解算法但不清楚算理，那么計算便仿佛是海市蜃樓，在這種情況下學生就無法扎實地掌握數學知識；如果只是了解算理但不清楚提煉算法，那么就會導致計算完全脫離技能，學生在學習數學知識的過程中就無法對知識本質有所了解。基于此能夠發現，教師需要幫助學生多方面理解算理，同時還需要以形和數為切入點幫助學生掌握運算技巧，唯有如此才可以將學生對運算概念的認識程度加深。數的運算方面有相對煩瑣的形式，而且還會對不少內容都會涉及，如數學運算中的加減乘除，不但有分數，還會有小數以及整數等，同時還有不同的運算性質，然而以上內容均能夠借助“計數單位”實現算法理解與算法提煉。

教師在講授小數、整數以及分數加減法的過程中，能夠借助算式以及豎式的方式將合理的情境創設出來，同時在橫式內完成算法提煉與算理步驟，也就是它們均是分母相同或者相同數位對齊才能夠完成加減。從本質上來看，所謂的一致性是在計數單位相同的基礎上才可以完成加減。比如，教師在教授學生小數、整數以及分數乘法的過程中，其也能夠采取合理方式將具體情境創設出來，并且利用言語符號表征以及實物圖形表征，使得學生可以在與數的計數方式相結合的情況下借助觀察和對比來對算理加以理解。無論是運算結果，還是具體的過程，都是按照如下方式來進行的：“（計數單位×計數單位）×（計數單位總數×計數單位總數）”，比如說100×6；0.2×0.3=（0.1×0.1）×（2×3）=0.01×6；2/3×4/5=（1/3×1/5）×（2×4）=1/15×8。將關注點放到除法知識上，教師在教學工作中能夠結合等分除和包含除，學生可聯合多元表征，基于此方可充分地認識數理，進而可直接概括出算法：“新的計數單位×新的計數單位個數”。比如說，80÷4=（10÷1）×（8÷4），2/5÷3/7=（1/5÷1/7）×（2÷3）=2/5×7/3。即便數的形態千變萬化，然而站在運算層面而言，運算形式具有相同性時其本質也同樣具有一致性。

二、建構內在聯系，感受結構一致性

（一）運用聯系的觀點增強結構化的意識

數學學科，其中存在的一個關鍵特征便是普遍聯系。知名學者鄭毓信曾經表示：“教師在開展數學基礎知識教學工作時，切忌將教學重點放到知識的傳授廣度上，其需要關注的知識的關聯性。”學生在數學學習時，要想對數學本質精準掌握需要采用聯系觀點，方可保證數學結構的一致性。基于此，教師在傳授學生知識時需要站在“聯系的觀點”上帶領學生對問題展開全方位分析，從而將所有知識的關聯性揭露出來。除此之外，教師也可以帶領學生借助數學原理來對新的結論與規律展開推導。

學生學習數學時，務必要將兩個問題進行解決：“同時增值某一真分數的分子及分母，那么這一分數會出現怎樣的變化？”“兩車在運動過程中相遇，倘若甲車提速，而乙車始終保持原有速度，那么兩車相遇過程中甲車相比以往而言其所行路程的變化趨勢如何？”在分析這兩個問題的過程中，部分學生會借助設具體數的方式對以上問題展開求解，由此來獲得最后的結論。然而，教師可以進一步加深學生學習程度，教師可以將本次教學內容與“糖水內糖分提升，糖水變甜就代表含糖率提升”的道理聯系在一起，從而為學生答疑解惑。不僅如此，教師也可以借助關聯分數的方式來對問題展開解釋，這樣一來就可以幫助學生全面提升自身的高階思維能力，也就是說在分子分母擴大倍數相同時其分數值保持固定，可是如果分子相比分母而言其擴大倍數較多時，那么分數值便會增加。與此同時，也可以引導學生思考：“生活里面是否還存在一些數學問題能夠解釋該道理？采取這種關聯式的方式可以將學生的發散性思維提升，同時幫助學生加深理解。借助“聯系的觀點”的方式對數學知識展開處理，如此可以幫助學生搭建起完整的數學學習體系。

（二）抓住內在的邏輯形成結構化的體系

布魯納表示：“一個人具備較強的學科結構化觀念，則越能完成時間較長學習情節以及充實的內容。”喻平教授也表示：“在理解數學概念及命題時，對其內涵進行理解的同時，對其外延也要明確，進而將概念或命題體系所形成。”所以，學生要在教學中學習整體架構，對知識聯系進行探尋，進而找到知識背后的邏輯意義。

體積單位是在六年級進行的學習，會有1 立方厘米的正方體與1 平方厘米的正方形以及1 厘米線段出現在教材上，讓學生對其比較，講出其具體區別。假如學生的理解僅僅停留在單位層面，那么可知學生在這個方面的認知水平還需提高。如果學生的認知是在單位的基礎上，指出進率、維數、運動這三個板塊，并能將三者聯系起來并對比，就可較大程度地提高認知，而且在數學結構上，可統一度量單位。教師為了對學生進行引導和提示，可采取動畫演示的方式：點動成線，而線動則成面，面動則成體，長度和面積以及體積分別與一維，和二維以及三維相對應。為了讓學生更好地理解，可對方塊或圖形進行借助：長度是由一個左右方向的量來決定的；面積是由兩個方向的量所決定的，需要左右乘以前后；左右和前后以及上下相乘，這三個方向的量決定了體積，因此在長度和面積以及體積的相鄰單位之間，進率表現分別是101和102 以及103。經由深層比較以及發散思維，讓學生對體積單位的本質有一個更深層次的理解。

三、凝練數學思想，感受本質一致性

（一）在性質探究中感悟數學思想

學生數學學科素養的形成，離不開對數學性質的掌握與運用。在小學有不少知識都需要對數學性質進行運用與掌握，然而其相對抽象化，只有了解其本質的基礎上，才能對其真正地理解并完全掌握，對其更深層次地數學思想揭示出來，方可進一步提高學生的思維能力與認知水平，還有解決問題的本領。

在學習“能被2、3、5 整除的數的特征”時，教師一般關注的是學生對性質的探索、發現及運用，而對性質驗證進行了忽略，這樣會導致學生缺乏嚴密的思維，學生也只是對性質有一個淺層的理解與認識，很難對本質有所理解。基于此，教師帶領學生開展探究性活動時需要充分發揮學生主動性，引導學生探究性質背后的道理。所以，在教學表征演示時，教師可對方格圖和小正方體模型以及計數器等學具進行借助，進而對整數進行拆分，如此學生便可以在數的“分”“合”之中獲得寶貴經驗。接著，經由整理后讓學生在整體層面上理解它們都是對“數形結合”的數學思想進行的運用，進而對整除性質進行探尋來理解和感悟，其本質屬于整數的“分”與“合”，是具體應用的“同余數理論思想”，進而將數學學習的簡化和優化以及化歸與轉換進行了實現。

（二）在運算律理解中啟發數學思想

運算律在數學學習中屬于必不可少的內容，其主要是對部分等式展開觀察與分析后，針對運算規律展開抽象概括。學生對算法的探索以及對算理的理解上，其推理依據與基礎就是運算律，運算律在數與運算中所處的地位不言而喻。放眼于小學階段，其具體涉及的運算律包含眾多，主要有乘法的交換律、加法結合律等。先前教師帶領學生開展運算律教學工作時，其通常會帶領學生在解決問題的過程中得到部分等式，然后再安排學生對這部分等式展開觀察與對比，進而將運算律概括出來，然后對其運用，對具體問題進行解決。

學生在運算律方面要深入強化，需要從兩個方面進行，即“數”與“形”。剛學習運算律時學生應該在教師的引導下，對具體問題解決時采用多元方法，接著從“數”的方面去理解：雖然有不一樣的計算順序，然而卻有著相等的結果，其是對相同問題展開處理，基于此即便不做任何計算，依舊可以獲得相同的結果。比如，教師帶領學生學習加法結合律的過程中，教師可以根據現有工具將合適的問題情景設置出來：“課間操場上，跳繩的男生和女生分別有21 名和35 名，還有15 名女生選擇踢毽子。那么在操場中跳繩還有踢毽子的學生總人數是多少呢？”學生根據問題列出的算式可能是15+（21+35）”也就是踢毽子與跳繩人數的總和。然而教師也可以列出下列算式：“21+（35+15）”，該算式是指男生與女生人數的總和便是操場的總人數。基于此，可將更多類似算是羅列出來，接著在說理及驗證上可從兩個方面來進行，即解決問題與計算結果，進而將結合律進行明確。與此同時，教師仍需對幾何圖形進行借助，對結合律成立原因可從“形”的方面來解釋。就像三角形的周長，可進行三個列式，分別是（a+b）+c，或者是a+（b+c），也可以是（a+c）+b，以上均是三角形周長，因此最終的計算結果肯定是一樣的。那么學生對規律的認識和驗證以及解釋方面，能夠由“形”和“數”兩方面為著眼點展開，從而幫助學生深刻地理解到運算規律的本質，通過數學思想的啟發，也讓學生具備了更為縝密和邏輯的思維。

學生在理解運算律方面，需要在兩個方面進行深化，即“變”與“不變”。對驗證及推導五個運算律的前提下，學生通過對圖形的借助，可將運算律中涵蓋的“變”與“不變”感悟的會更直觀：方法及順序是變得，也就是可將方向進行變換，進而將多種算式列出，進而解決相關問題；思想和結果是不變的，也就是通過對幾何的借助，對確定及唯一的線段總長和體積大小以及綜合面積等解釋得更為直觀。基于該教學安排下，對運算律的本質及關聯可讓學生理解的更深入，從而搭建起系統且完善的結構化認知體系，并且學生也會對數學思想的真諦有所領悟，這對學生接下來認識運算規律本質一致性具有積極意義。

現階段的小學數學教學工作中，不少教師也開始選擇一致性教學的方式，而選擇該教學方式可以幫助學生將更加完整的知識體系搭建起來，同時也可以幫助學生深入理解知識本質。不僅如此，學生在參與教學任務時可以對其中所涉及的數學思想有深刻感悟。可以說一致性教學是提升學生高階思維能力以及培養學生核心素養的科學方式，教師在開展教學改革工作時應該以一致性教學工作為主要發展方向。