函數同構思想在高考中的應用例析

浙江省寧波市鎮海中學 (315200) 楊冬冬

在解不等式或恒成立問題中，有很大一部分題目是由函數單調性構造出來的，若能找出這些函數模型(即不等式或等式兩邊對應的同一函數)，無疑會大大加快解決這些問題的速度.比如F(x)≥0能等價變形成f[g(x)]≥f[h(x)] ，然后利用函數f(x)的單調性，再轉化為g(x)≥h(x)(或者g(x)≤h(x))，這種方法稱為同構不等式法(等號成立時，稱為同構等式法)，簡稱同構法.

當然，用同構法解題，除了要有同構思想之外，觀察能力、代數式的變形能力也有較高的要求，以下筆者整理了三種類型的同構題型，并且這些題型在高考題中均有展現.

1 地位一致要同構

例1 (2020全國Ⅱ卷理科11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

分析：2x-2y<3-x-3-y等價于2x-3-x<2y-3-y，構造函數f(x)=2x-3-x，因為f(x)單調遞增，而且f(x)0，故選A.

例2 (2020全國一卷理科12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：由于4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b，構造函數f(x)=2x+log2x，可知f(x)在(0,+∞)單調遞增，所以a<2b，故選B.

以上兩道全國卷高考題都考查了雙變元的同構轉化，要求學生具備必要的觀察力和適當的放縮能力，為高校選拔學生提供了很好的依據.

2 指對跨階尋同構

類型2ea±a≥b±lnb

由于b=elnb，原不等式等價于ea±a≥elnb±lnb，所以構造函數f(x)=ex±x；或者a=lnea，原不等式也能轉化為ea±lnea≥b±lnb，構造函數g(x)=x±lnx即可，稱之為和(差)型.

類型3eaa≥blnb

將原不等式轉化為ealnea≥blnb或者eaa≥elnblnb，從而構造函數f(x)=exx或者g(x)=xlnx稱之為積(商)型.

以上兩種類型是利用指對恒等式，將左右兩邊格式化為一致，要么統一成右邊樣式，要么左邊樣式.總之，找準對應是關鍵，例如，ex與x對應，x與lnx對應，原因是x能轉化為elnx，也能轉化為lnex.為此，筆者將指數式、冪的多項式、對數式三者排序(指數式>冪的多項式>對數式),指數式階數最高，冪的多項式次之，對數式最低，左右兩邊一定是高階對應高階，低階對應低階，這樣就便于我們觀察，從而找準轉化對象.

例3 (2022全國新高考Ⅰ卷22題)f(x)=ex-ax，g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a；(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點且從左至右的三個交點的橫坐標成等差數列.

分析：不難得知a=1，此時f(x)=ex-x在(-∞,0)單調遞減，在(0,+∞)單調遞增；g(x)=x-lnx在(0,1)單調遞減，在(1,+∞)單調遞增，結合兩個函數的圖像，可知在(0,1)內有一個交點，即存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=g(x0)，而且只有當直線y=b穿過那個交點時，才與兩個曲線共有三個交點，此時存在x1∈(-∞,0),x2∈(1,+∞)，使得f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)，即ex1-x1=x0-lnx0，ex0-x0=x2-lnx2，將ex1-x1=x0-lnx0轉化為ex1-x1=elnx0-lnx0，再結合f(x)=ex-x在(-∞,0)單調遞減，可知x1=lnx0；將ex0-x0=x2-lnx2轉化為ex0-x0=elnx2-lnx2，在結合f(x)=ex-x在(0,+∞)單調遞增，可知x0=lnx2.所以x1+x2=lnx0+ex0=2x0.

3 無中生有湊同構

類型4aeax≥lnx

兩邊同乘x，即axeax≥xlnx，轉化為積型同構式.不難看出，我們要將ax看成一個整體，也就是說要將左邊的主元統一，所以兩邊同乘x就達到目標.

類型5ex≥aln(ax-a)-a

例4 (2020全國新高考卷21題(2))已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：aex-1-lnx+lna≥1，整理得ex+lna-1+lna-1≥lnx，兩邊加上x湊成同構式ex+lna-1+x+lna-1≥x+lnx=elnx+lnx，根據g(x)=ex+x單調遞增，有x+lna-1≥lnx，所以lna≥lnx-x+1恒成立，解得lna≥0，故a≥1.

從上述的幾個例子中我們看出同構思想在高考中的重要地位，要求學生具有較高的觀察，運算和分析能力，真正實現為高校選拔人才的作用.同構思想突破常規思路，為我們解題帶來了新的思路，新的方法，新的視野.