基于數(shù)學學科核心素養(yǎng),探索“有過程”的歸納教學
——“多邊形的面積”單元教學實踐研究

周麗娜

一、內(nèi)容的選擇及依據(jù)

(一)“多邊形的面積” 是小學階段 “圖形與幾何” 領域重要的學習內(nèi)容

“多邊形的面積” 是圖形與幾何領域“圖形的認識與測量” 部分重要的學習內(nèi)容。圖形測量的相關知識對每個學生的學習和適應未來的生活都是非常有用的,測量過程中蘊涵的方法和思想有助于學生提高分析問題和解決問題的能力。在小學階段,平面圖形面積主要包括: 長(正) 方形面積、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積和圓的面積。特別是平行四邊形面積、三角形面積和梯形面積,這三種平面圖形面積之間有著緊密的聯(lián)系,也是本單元主要的學習內(nèi)容。這部分內(nèi)容在平面圖形面積中有著承上啟下的作用,是學生感受解決圖形面積問題思維方式的重要階段。通過對這部分內(nèi)容的學習,一方面,學生掌握了多邊形面積的計算方法,能獨立探索并解決生活中遇到的實際問題;另一方面,學生在探索圖形面積時每一節(jié)課積累的活動經(jīng)驗和運用的思想方法也為進一步探索其他平面圖形的面積奠定基礎。

(二) “圖形的認識與測量” 這一部分內(nèi)容承載著對學生推理意識的培養(yǎng)這一重要任務

《義務教育數(shù)學課程標準 (2022 年版) 》 指出: 義務教育數(shù)學課程應使學生通過數(shù)學的學習,形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。“會用數(shù)學的思維思考世界” 就是數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)之一。核心素養(yǎng)在不同階段具有不同表現(xiàn),在義務教育階段,數(shù)學思維主要表現(xiàn)為: 運算能力、推理意識或推理能力。小學階段更側(cè)重對經(jīng)驗的感悟,推理意識就是小學階段要培養(yǎng)的主要核心素養(yǎng)之一,培養(yǎng)推理意識有助于學生養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣,增強交流能力,更是后續(xù)逐步形成推理能力的經(jīng)驗基礎。“多邊形的面積” 這部分內(nèi)容作為“圖形的認識與測量” 部分的核心學習內(nèi)容,就承載著小學階段對學生推理意識的培養(yǎng)這一重要任務。在探索圖形面積的過程中,學生逐步積累操作的經(jīng)驗,形成量感和推理意識,進而發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。

(三)有過程的歸納教學,有利于實現(xiàn)學生理解多邊形的面積公式及發(fā)展學生的推理意識

在推導一些常見圖形面積計算方法的過程中,探索有利于學生理解多邊形的面積公式及發(fā)展學生推理意識的學習路徑是至關重要的。教師在傳統(tǒng)的教學中更注重的是面積公式的推導與應用,而忽略了面積公式的理解發(fā)現(xiàn)過程。有過程的歸納教學注重圖形面積公式的探索發(fā)現(xiàn)過程,有利于實現(xiàn)圖形面積由特殊到一般的推廣,揭示不同方法和經(jīng)驗的共同屬性,實現(xiàn)方法、經(jīng)驗上的遷移,最終找到解決圖形面積這類問題的通法通則。本次研究就是基于以上的想法開展實踐與研究的。

二、以學習者為中心,明晰學生的學習起點

為了解學生對平行四邊形、三角形、梯形面積的學習基礎,我們從學生對多邊形面積計算公式的了解情況、面積探索過程中學生解決問題的思維能力、學生對面積計算公式的理解三個維度設計了前測問卷,對兩個班90 名學生進行了測試。

從調(diào)查結果中可以看出,小學五年級上學期的學生對多邊形面積的原有認知是存在差異的。有的沒提前接觸過這部分內(nèi)容,就不知道多邊形的面積計算公式;有的課前已經(jīng)知道了各種圖形的面積計算公式,雖然知道計算公式,但在前兩節(jié)課中不能解釋其計算原理的同學較多。在三節(jié)課中,第一節(jié)課的平行四邊形的面積,有的學生無論教師給不給出方格暗示,都無法利用已有知識和經(jīng)驗得出多邊形的面積,且這一水平的人數(shù)相對其他兩節(jié)課較多,后兩節(jié)課隨著活動經(jīng)驗的積累,這一水平人數(shù)逐漸減少;三節(jié)課中前兩節(jié)課一部分學生還是需要借助方格才能得到圖形的面積,在第三節(jié)課梯形的面積中,由于學生能力的提升,借助方格的人數(shù)較少;在沒有任何提示的情況下,只給出空白的梯形,就能夠獨立想辦法求出這個梯形的面積,這部分學生知道要將多邊形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形才能解決問題,能運用已學過的多邊形的面積公式計算變化后圖形的面積,但在前兩節(jié)課中對于變化前后圖形各部分之間的關系還很模糊;能找到轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關系,能從特殊的例子出發(fā)推理出多邊形面積的一般公式,三節(jié)課中第一節(jié)課學生達到這個水平的人數(shù)較少,后兩節(jié)課隨著方法經(jīng)驗的積累和遷移,具備歸納水平的人數(shù)逐漸增多。

由此我們得出如下結論:

第一,雖然有的學生已經(jīng)知道了這幾種圖形面積的計算方法,但大多數(shù)學生并沒有理解公式計算的原理;第二,面積公式理解的難點在于,學生無法建立轉(zhuǎn)化前的多邊形與轉(zhuǎn)化后的圖形各部分之間的聯(lián)系;第三,在探索面積的過程中,教師需要給學生提供滿足不同層次水平的學具(有格或無格的多邊形);第四,學生無法只通過解決一個多邊形面積的問題,推理出多邊形面積計算的一般公式,但隨著方法經(jīng)驗的積累和遷移,學生的歸納水平逐漸提高了。因此,在教學實施的過程中,我們應該注重學生對面積公式的理解,有必要通過有過程的歸納教學來培養(yǎng)學生的歸納推理意識,提高學生的歸納推理能力,形成邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、單元實施思路與任務設計

基于以上的思考,我們對本單元進行了有過程的歸納教學,并將單元劃分為三課時。三節(jié)課中三角形面積和梯形面積的計算是以平行四邊形面積的計算為基礎的,以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索,都是以未知轉(zhuǎn)化成已知的基本方法展開學習的。三節(jié)課的編排順序都是為轉(zhuǎn)化做鋪墊和暗示。

第一課時“平行四邊形的面積” 設計了四個逐層遞進的學習任務。任務一,猜想如何求平行四邊形的面積;任務二,借助方格紙驗證猜想是否正確;任務三,運用割補法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形,尋找轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間的聯(lián)系;任務四,從特例出發(fā)歸納平行四邊形的計算公式。

第二課時“三角形的面積” 設計了三個逐層遞進的學習任務。任務一,討論如何求三角形的面積;任務二,把三角形轉(zhuǎn)化為學過的圖形,尋找轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間的聯(lián)系;任務三,歸納三角形的面積公式。

第三課時“梯形的面積” 設計了逐層遞進的四個學習任務。任務一,回顧長方形、平行四邊形、三角形的面積公式,通過聯(lián)想和類比,遷移原有的方法解決新問題;任務二,想辦法將梯形的面積轉(zhuǎn)化成學過圖形的面積,通過邏輯推理得到梯形面積的一般方法,歸納梯形的面積公式;任務三,歸納公式,總結探索平面圖形面積的思想方法;任務四,拓展延伸,感受到平面圖形面積公式之間的聯(lián)系。

四、教學過程的展開

(一)從個別到一般,歸納計算方法,了解歸納推理的思維過程

一個公式的得出,應來自于該公式適用對象的全體。有過程的歸納教學實現(xiàn)了學生在研究每一種圖形面積的學習中都經(jīng)歷了從個別到一般,也就是從特殊的例子出發(fā),從幾個圖形到所有圖形或者從一類圖形到另一類圖形的研究過程,這樣才能涵蓋所有的圖形,推導的過程和結果更具說服力。

學生在本單元探索每一種圖形面積的計算方法時,我們都注重了面積公式發(fā)現(xiàn)的過程,進行了有過程的歸納教學。目的是讓學生經(jīng)歷從個別到一般,即經(jīng)歷從探索幾個圖形的面積的計算方法到歸納所有圖形的面積的計算方法或者從一類圖形的面積到另一類圖形的面積的研究過程,讓學生在此過程中深入理解圖形面積的計算公式和計算原理,最終使學生了解歸納推理的思維過程,強化學生的推理意識。

每節(jié)課都是借助選定的具有代表性的3 個多邊形學具,讓學生在學習指南的指導下,獨立自主地去探索、發(fā)現(xiàn)、歸納這幾個圖形面積的計算方法,再到歸納所有圖形面積計算的方法,即平行四邊形、三角形、梯形的面積的一般公式。在這一環(huán)節(jié)中,學生經(jīng)歷了從個別到一般的學習過程,初步了解了歸納推理的思維過程。

(二)由直觀到抽象,層層遞進完成轉(zhuǎn)化,發(fā)展邏輯推理能力

平行四邊形、三角形、梯形的面積這三節(jié)課可以說是一脈相承的,都是逐步把原有的知識與方法和現(xiàn)在遇到的情境進行整合,對已有的知識進行聯(lián)想和類比,遷移原有的方法解決新圖形面積的問題。這三節(jié)課都是運用了轉(zhuǎn)化的思想方法,但在解決問題的思維方式上卻是由直觀思維到抽象思維的過渡。

幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學,在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。由于學生的個體差異,本單元學生個別學習時探索多邊形面積公式的方式是多元化的,可分為方格紙數(shù)計算面積和割補法求面積這兩種方法,方格法有不同的數(shù)法,割補法的方法也有多種方法,通過 “小組學習”“集體學習” 等不同的教學組織形式使得學生之間互相傾聽、交流、質(zhì)疑彼此的方法,這樣更有助于發(fā)展學生的空間想象能力。同時針對于學習的內(nèi)容學生也全面感受到不同的圖形也可能用的是同一種方法,同一種圖形有不同方法,但本堂課的教學不能僅僅停留在只讓學生感受解決問題方法多樣化的層面上,而是要通過有過程的歸納教學,對不同方法經(jīng)驗進行分析比較,歸納發(fā)現(xiàn)雖然過程不一樣但結果是一致的,也就是學生從不同的思路上加以研究,最后得到的都是平行四邊形、三角形、梯形面積計算的一般公式,通過歸納也會發(fā)現(xiàn)同一種圖形有不同方法但都遵循將未知轉(zhuǎn)化為已知的原則——轉(zhuǎn)化思想。

為了更好地理解轉(zhuǎn)化前后圖形各部分之間的關系,學生在探索平行四邊形和三角形的面積時,需要借助直觀的格子圖和數(shù)據(jù)來完成轉(zhuǎn)化并得到幾個特殊圖形的面積,進而在此基礎上歸納出圖形面積計算的一般公式。但學生對多邊形面積的理解不能只停留在直觀感知的層面,還要經(jīng)歷從直觀到抽象的轉(zhuǎn)化。在學習梯形的面積時,學生已經(jīng)積累了一定的思維經(jīng)驗,因此,在推導梯形的面積公式時就要拋開格子圖和數(shù)據(jù),要從直觀到抽象地轉(zhuǎn)變思維,直接尋找轉(zhuǎn)化前后圖形之間的聯(lián)系,推理得到梯形面積的一般計算方法,以此發(fā)展抽象的邏輯推理能力。

(三)變先驗為經(jīng)驗,操作體驗、感悟體會,提升邏輯推理能力

數(shù)學思想是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象和概括,幫助學生在數(shù)學知識形成、發(fā)展、應用的過程中感悟數(shù)學思想,是數(shù)學教學的重要目標,也是數(shù)學核心素養(yǎng)真正落地的體現(xiàn)。在本單元面積的探索活動中,學生不僅要歸納圖形的面積計算方法,還要通過操作體驗,歸納探索出圖形面積的思維方法即轉(zhuǎn)化的方法,最終提升邏輯推理能力。例如,在驗證平行四邊形面積的猜想中,學生通過割補法將平行四邊形面積轉(zhuǎn)化成前面學過的長方形的面積進行計算;在探索三角形、梯形面積的活動中學生通過割補法把三角形、梯形的面積轉(zhuǎn)化為前面學過的長方形、平行四邊形或者三角形的面積進行計算。本單元以圖形的內(nèi)在聯(lián)系為線索,構成了圖形面積計算的轉(zhuǎn)化鏈。

從以上計算幾種平面圖形面積的轉(zhuǎn)化鏈中,我們不難發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想在解決平面圖形面積問題中的重要作用。在本單元中每求一個新圖形的面積都會用到轉(zhuǎn)化的辦法,即通過不同的轉(zhuǎn)化方法得到多邊形的面積公式,實現(xiàn)將未知轉(zhuǎn)化為已知,最終使問題得以解決。這樣的活動經(jīng)驗和思維方法不但在本單元每節(jié)課之間互相積累滲透,而且前一節(jié)學會的知識、經(jīng)驗、方法也會遷移到下一節(jié)課新知識的學習過程中進行拓展應用,在后續(xù)探索平面圖形圓的面積時也會繼續(xù)得到遷移應用。在這一過程中,學生將先驗的知識轉(zhuǎn)化為可經(jīng)驗、可體驗、可發(fā)現(xiàn)、可探究的知識,通過操作體驗,提升邏輯推理能力。

綜上所述,在本單元的設計與實施中,我們圍繞率性教學開展有過程的歸納教學實踐探索,將對學生邏輯推理能力的培養(yǎng)貫串始終。學生通過經(jīng)歷從個別到一般的學習過程,自主地歸納推理出多邊形面積的計算公式,感悟計算道理,初步了解歸納推理的思維過程。我們應引導學生了解、掌握并轉(zhuǎn)變思維方式,讓學生通過操作體驗,經(jīng)歷從直觀到抽象的轉(zhuǎn)化,最終將先驗轉(zhuǎn)化為有經(jīng)驗的、已知的知識,提升邏輯推理能力。