高中數學教學中數形結合思想方法的運用策略

【摘要】在高中數學教學中引入數形結合思想方法，能夠加深學生對數學知識的理解，提高整體的教學質量以及學生的數學思維能力，有助于其核心素養的穩步發展.數學是一門邏輯性相對較強的學科，尤其是高中階段的數學知識，在邏輯性以及難度方面出現了明顯的增強.因此，教師按照傳統的教學方法實施教學活動，很難滿足學生的學習需要，教師要做好有效的教學創新，合理引入數形結合的思想方法.基于此，文章闡述了數形結合思想方法的應用原則，提出了數形結合思想在高中數學教學中的應用策略，并舉例說明數形結合思想方法在高中數學知識中的運用.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；教學運用

前 言

在高中階段的教育工作中，數學是學生公認的難度偏高的一門學科.如果教師繼續按照傳統的教學手段對學生實施填鴨式教學，開啟題海戰術，那么只會導致學生越來越抵觸數學，甚至會越來越害怕數學.因此，教師需要尋找一種能夠將抽象的知識以直觀具體的形式展現在學生面前的教學手段，恰好數形結合思想方法能夠滿足這一要求.教師利用數形結合的思想方法，能夠在一定程度上緩解學生的學習壓力，激發學生的學習興趣，輔助學生更加深入地開展數學學習活動.

一、數形結合思想方法的運用原則

第一，等價性原則.教師在引導學生運用數形結合思想方法時，圖形與數的轉換必須是相互對應、相互吻合的，這樣學生所進行的學習研究才有現實意義.如果未達到這一原則，那么學生所制作出的圖形或者所使用的圖形便不能完全代表數字.

第二，雙相性原則.數形結合的本質在于以數助形、以形解數、數形互換.因此，在高中數學教學中，教師需要在遵循雙向性原則的前提下，合理地利用直觀的圖形代替復雜的數量關系，深化學生的知識理解，打造高效課堂.

第三，簡潔性原則.運用數形結合思想方法的根本目的在于緩解學生的學習壓力，提高教學的直觀性認知.如果教師所設定的數形結合過于復雜，那么其整體的價值便不能發揮，學生在開展學習活動時也會稍顯吃力，形成適得其反的教學問題.

二、數形結合思想方法的運用策略

（一）注重數形間的轉換

在高中階段的數學教學課堂中，學生會接觸到十分復雜且多元的知識點，不同的知識點有著不同的重點難點，也有著不同的問題類型以及相應的解決方法.為有效緩解學生的學習壓力，降低學生的學習難度，教師可以引入一種合理的教學手段.例如，在講解“三角函數”的相關知識時，教師可以讓學生先了解三角函數的定義以及基本內涵，以啟發的形式促使學生形成三角函數意識.然后教師可以給學生布置一些比較基礎的習題，并要求學生嘗試以圖形的形式展現問題的推理關系，形成答案.

例題 已知sin2θ>0，則θ屬于第幾象限角？

解析 在解題過程中，學生可以直接繪制函數y=sin2θ的圖像，并根據sin2θ>0這一已知條件，得出2kπ<2θ<2kπ+π.而后將答案以圖形的形式展現出來，便能夠直接明確θ的具體位置，即θ屬于第一象限角或者第三象限角.在教學過程中，教師可以先引導學生回顧三角函數的基礎知識，確定學生理解這一部分的基礎內容后，教師就可以引出單位圓的概念，并引導學生以線段形式展現三角函數值.通過數形之間的轉換，降低學生的學習難度，提高學生的理解能力.

（二）將數形結合與多媒體結合

在以往的高中數學教學過程中，很多教師也會對數形結合思想方法進行一定的了解，在課堂上也經常會以作圖的方式為學生解釋一些復雜的知識點.但是教師手工畫圖的方式難免會存在一定的誤差，導致教師承擔著較高的教學壓力.對此，教師可以將數形結合與多媒體工具結合起來，從而提高教學的精細化程度，增強教學效果.以幾何圖形為例，在教學過程中，為了讓學生更好地對幾何圖形形成了解認識，教師可以提前借助信息技術制作教學課件，利用多媒體設備的動畫軟件，分解幾何圖形，并為學生動態化展示幾何圖形的各個部分，以全方位立體化形式培養學生的空間思維，鍛煉學生的空間想象能力及抽象概括能力.除此之外，教師可以利用信息技術豐富學生所能夠接觸到的虛擬化模型，豐富學生的學習資源，使之在多元教學資源的支撐下，產生空間思維，強化自身的核心素養.

（三）將數形結合融入生活

數學與學生的生活之間具有較為緊密的聯系，而生活中很多物品也可以作為引導學生深入數學探究的模型.因此，在應用數形結合思想方法的過程中，教師可以將生活元素與之相互整合，以此更好地豐富學生的學習體驗.例如，在教室中都會擺放一個鐘表，以便學生隨時了解時間，而這就是一種十分簡單的數形結合.再比如，在高中階段學生會了解到很多與幾何相關的知識，而在日常生活中也有很多與幾何相關的物品或工具.教師將這些素材直接搬到課堂上，不僅能帶給學生直觀的視覺體驗，而且能讓學生產生較高的學習興趣，會迫切地想要知道這些物品與本堂課有什么樣的聯系，進而產生學習動力.

1.培養學生良好的學習習慣

在正式步入高中之前，學生分別來自不同的初中學校，接受了不同教師的指導，所以彼此之間會存在一定的差異，在學習時也會有不同的習慣.比如，當遇到學習障礙時，一些學生喜歡與同學進行討論交流，而一些學生喜歡獨立思考.在高中階段雖然培養學生的自主學習能力與獨立能力具有較高的積極意義，但是如果學生自身能力不足，或沒有掌握正確的學習方法，那么一味的獨立學習就只是單純的浪費時間.因此，教師需要貫徹“授人以魚，不如授人以漁”的教學思想，為學生提供合適的學習技巧以及學習工具，讓學生找到正確的學習思路.首先，在教學過程中，教師要讓學生明確哪些情況下，可以運用數形結合的思想方法分析問題，以充分發揮這一學習方法的優勢與作用；其次，在日常的習題評講過程中，針對那些能夠運用數形結合思想的習題，教師要著重講解并詳細為學生展示這一方法的應用步驟與應用流程；最后，教師可不定期檢查學生的作業，著重查看學生的解題過程，判斷學生在應用數形結合思想時存在的問題并及時為其提供指導，在長期的輔助下促使學生養成良好的學習習慣，增強課堂教學的有效性，發展學生的核心素養.

2.激發學生數學學習的積極性

在高中數學教學中，教師使用數形結合方法能夠激發學生的學習積極性，讓學生通過直觀的方式理解知識點.學生要想學好數學知識就需要保持充足的耐心與毅力，在面對數字、字符時應端正學習態度，主動針對數學知識點進行探究.如果學生長期處于枯燥乏味的數學學習活動中，那么就很容易出現厭煩、抵觸等情緒.所以在數學教學中為了有效激發學生的學習積極性，教師就需要靈活使用數形結合思想方法來幫助學生理解數學知識.一是在講述新知識以前，教師可以使用多媒體、黑板等展示趣味性較強的數學圖形來幫助學生集中注意力.教師通過引導學生解讀圖形能夠增強數學課堂教學的效果，同時可以讓學生更好地理解并掌握數學知識，產生學習動力.二是在開展立體幾何知識教學時，教師可以先組織學生運用所掌握的知識自行制作幾何圖形，鍛煉學生的動手操作能力，學好立體幾何知識.教師通過給學生提供鍛煉的機會，幫助學生理解立體幾何知識的意義，從而產生深刻的印象.在高中數學教學中，教師使用靈活的數形結合思想方法能夠將學生從傳統學習狀態中解放出來，保持數學學習的動力.教師在講述數學知識點時經常會為學生展示相應的習題，并要求學生探索問題的答案，如果教師只是單純為學生提供數據、圖形，那么學生就需要花費較長的時間思考與探索知識.如果教師為學生提供數據的同時展示圖形，那么學生就可以快速解決數學問題.所以在數學教學中，教師需要從不同角度出發，做好學生教育的指導工作，將數形結合知識展現在學生面前，鍛煉學生的學以致用能力，讓學生感受到學習數學知識的樂趣，進而主動針對數學知識點進行探究.如教師在數學課堂中講述立體幾何知識點時就需要引導學生嘗試使用不同圖形求出解析式，并結合所得出的解析式畫出對應圖形，實現鍛煉學生學以致用能力的目標.所以在高中數學教學中，教師需要合理運用數形結合的教學方法，結合數學知識點的特點，提升數學教學的生動性與趣味性，將學生從被動學習狀態中解放出來，讓學生感受到學習數學知識的樂趣，進而端正數學學習的態度，實現思維啟發與發展目標，逐漸提高學生的數學思維能力，掌握數形結合的使用方法.

三、數形結合思想方法的運用案例

（一）在集合教學中應用

集合是高中階段學生在開展數學學習活動時接觸的第一章內容.這部分知識具有較高的基礎性，相較于其他模塊，整體難度相對偏低.打好基礎對于后續教學活動的開展具有一定的現實意義.所以，在教學中，教師一定要形成正確的教學思想，不能因為這一部分內容較為簡單或在高考中所占分值不高，就忽視它.為了夯實學生的基礎，做好教學鋪墊，教師可在這一模塊教學中引入數形結合思想，幫助學生構建完整的集合框架，使之更好地理解集合關系，奠定邏輯思維發展意識.在集合的教學過程中，數形結合思想方法主要有兩種不同的形式，分別為韋恩圖以及數軸.

首先，韋恩圖多用于根據已知條件推導集合類的問題中.如，學生會經常遇到這樣的問題，題干中給出了兩個已知條件且較為明確的結合要求驗證二者之間的關系.而針對已知條件，學生便可利用韋恩圖進行分類，以直觀的形式看出兩個集合之間的從屬關系.如韋恩圖中的交叉部分表示集合共有，稱為交集；兩個圖形中所有元素的集合稱為并集；若兩個圖形之間沒有交集，則表示兩個集合沒有交集，在數學定義上被稱為空集.韋恩圖表示如圖1.

其次，數軸多用于已知條件相對較模糊的集合類問題中.當學生在題干中能夠看到兩個集合，并且二者存在子集或包含關系時，便可以運用數軸對問題進行分析，以數形結合的方式直觀展現題干內容.

例題 已知|x-1|+|x-5|=4，求x的取值范圍.

解析 在處理這道問題時，學生可以將|x-1|與|x-5|看作兩個集合，通過計算得出子集范圍.再利用數軸表示子集范圍（如圖2），便可以直接觀察出問題的答案，即1≤x≤5.

（二）在函數教學中應用

在高中數學教學體系中，函數占據著極高的地位，也是學生公認的難點知識內容，甚至很多學生在高中階段會直接選擇放棄函數這一部分知識，但顯然這一做法并不可取.一方面，函數學習能充分鍛煉學生的邏輯思維能力；另一方面，在高考數學試卷中，函數占據著較大的分值，若學生放棄這一部分，無論是基于傳統的應試教育角度還是素質教育角度都并不合理.教師需要采取創新性的教學手段，有效激發學生的學習興趣，夯實學生的學習基礎，讓學生能夠逐步掌握數學知識概念，提高自己的學習能力.而這一創新性的教學手段，便是數形結合思想方法.在高中函數教學中使用數形結合的思想方法能夠讓學生深入理解知識點，掌握計算方法.由于函數屬于高中數學教學中的重點之一，所以教師就需要做好創新工作，發揮數形結合教學法的作用.函數性質屬于學生理解難度大、需要深刻記憶的知識點，同時是函數知識中的重點，如果教師直接使用書面教育方法，很容易影響學生對函數知識的理解，甚至還會打擊學生的學習積極性.但是在數形結合方法的使用下，學生能夠將函數圖像中的不同點與函數性質對應在一起，便于記憶與理解函數知識.使用數形結合方法開展函數教學還可以鍛煉學生使用圖形解決數學問題的能力.由于函數圖像具有對稱性特點，學生可以將函數性質中的知識點與圖像結合在一起，進而獲取問題答案.另外，高中函數知識在函數性質方面具有相似性的特點，如y=sinx與y=cosx的函數性質的相似性較高，如果教師沒有做好引導工作，學生很容易出現知識點混淆等問題.所以教師就需要利用數形結合的方法，幫助學生準確理解函數知識，提升數學教學的便捷性.

首先，教師可以在函數教學中利用數形結合法，調動學生的學習主動性.相校于其他課程來說，數學學習的難度較高，但很多知識的使用價值也較高.由于學生并不具備豐富的經驗，沒有掌握知識的內涵，所以經常會遇到一些問題，但如若其這些問題沒有得到很好地處理，其自身的學習動力也會被削弱.所以，教師可以通過數形結合的方式，將函數中一些抽象的信息形象化地展現出來，從而增強教學直觀性，緩解學生的壓力，使之產生自信，進而產生學習興趣.

例題 已知函數f（x）=|x-2|+1，g（x）=kx，若方程f（x）=g（x）有兩個不等實數根，求k的取值范圍.

解析 在接觸這道習題時，學生的第一反應應該是根據題干信息繪制函數圖像，直觀展示題干中已知信息的關系，奠定分析基礎.（如圖3）

教師通過這一方式引導學生開展學習活動，能夠直觀地將復雜的函數關系展示在學生面前，引導學生通過作圖的方式解答方程問題，降低解題難度與復雜程度，增加學生的學習自信與成就感，從而產生學習興趣，加深知識鞏固.

結 語

綜上所述，在高中數學教學中引入數形結合的思想方法，具有較高的現實意義.這一方法的引入，能夠深化學生的知識理解，提高學生的數學思維.但是在具體的教學中，教師也要遵循相應的教學原則，如等價性原則、雙向性原則、簡潔性原則，以此充分發揮數形結合的教育價值.除此之外，教師要落實教學要點，注重數形間的轉換，合理地將數形結合與多媒體、實際生活相互融合，為學生提供充足的教學輔助，從而打造高效課堂.

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