中新小學數學教材對“平均數”的比較研究

【摘要】兩版教材中關于“平均數”的教學內容各具特色、各有所長：新版教材強調用“平均數”概念解決實際問題，注重培養學生合作解決問題的意識；“平均數”教學內容分布差異性較大，占教學內容比例較低；教學內容深度和廣度均低于北版教材，但相差不大；呈現出經典的“精而深”“螺旋式上升”的特點.北版教材強調在問題情境中從多維度理解“平均數”的意義和特征；“平均數”內容分布差異性不太大，占教材比重也較低；教學內容深度和廣度均高于新版教材；呈現出典型的“廣而深”“問題串引領學習”的特點.

【關鍵詞】平均數；初步認識；數學教材；比較

【基金項目】核心素養視角下小學數學主題式開發與有效教學的行動研究———基于中國北師大版教材和新加坡版教材的比較（HDDH20190224？）

一、問題研究

（一）研究目標

對比中國北京師范大學出版社出版的小學教材（以下簡稱北版教材）與新加坡MarshallCavendish出版社出版的小學教材MYPALSAREHERE（以下簡稱新版教材）.文章以小學數學教材中的“平均數”作為研究對象，對兩版教材教學內容進行對比，分析了兩版教材關于該內容的異同，為我國數學教材中“平均數”相關內容的教學研究提供了新視角.

（二）研究方法

文章對“平均數”的相關文獻進行研究，通過對“平均數”的典型案例進行分析，采用內涵分析的方法分別進行了研究.

（三）比較維度

橫向上，從教學內容的設置、分布、廣度與深度四個維度對“平均數”的內容加以比較分析.

第一，教學內容的設置：對兩個版本教材中與“平均數”相關內容、目錄及章節情況進行對比；第二，教學內容分布：分別統計兩個版本教材中與“平均數”相關的內容占比，其中包含“平均數”的章數、節數和頁碼數；第三，教學內容的廣度：通過統計、分析兩版教材的“平均數”內容所有的知識點數量來進行量化對比兩個版本教材中“平均數”內容廣度；第四，內容深度中兩版教材的“平均數”與內涵深度比較模型采用了王建波等人的研究成果：將內涵深度通過計算、分析將兩版教材中知識點以及相關內容，分成了直觀說明、歸納、推理三個類別，并各賦值為一分、二分和三分.

1.直觀說明

本研究中的直觀說明是指：使用一個知識點呈現或描述相關概念.此類樣例賦值1分.

2.歸納說明

本研究中的歸納說明是指：對兩個及兩個以上的知識點進行總結，并通過這些知識點獲得結論.

例如，圖1是北版教材第91頁中的案例1———感受平均數特征，在一組數據中的最高值與最低值之間，此種樣例賦值2分.

3.推理說明

本研究中的推理說明是指：從一般性的數學知識入手，去理解個別的、特定的數學概念、性質的某種邏輯推理的方式.例如，圖2案例2，新版教材通過推理有邏輯地得到研究對象“平均數”的性質，探究出“平均數”對象間關聯的命題與算法，也推動著數學內部的進展.此種樣例賦值3分.

式中，A為知識點“直接說明”的定義數之和；B為知識點“歸納”的定義數之和；C為知識點“推理”的定義數之和；n為所涉及的知識點數量，Si則為第i個知識點的內容深度.

二、研究結果與分析

（一）內容設置比較

分別對比兩個版本教學參考用書中“平均數”內容目錄和章節情況，分別得到兩版“平均數”內容設置如圖3和圖4.

從教學內容設置的角度對比兩版教材中“平均數”的相關內容，可以得出以下結論：

不同之處：新版教材偏向于對平均數的計算、偏向于算法，強調用平均數概念解決實際問題；而北版教材強調在問題情境中對平均數意義的理解，傾向于在學生經歷收集數據、解析數據的過程中，感悟平均數的統計含義.

相同之處：兩版教材都能注重結合統計內容特點和小學生認知發展特點來設置，將具體事物、面積模型等與平均數知識結合起來呈現.

（二）內容分布比較

1.內容分布數據統計

下面分別比較、分析兩個版本教材中“平均數”內容包含的章數、節數以及頁碼數情況，得到幾個角度的內容分布情況如圖5和圖6.

從圖5數據分析：新版教材章數雖然少于北版，但課時節數多于北版，兩版教材的總頁碼數相對持平.

再分別具體比較兩版教材，先看新版教材的內容分布情況，如圖6.

從圖6數據分析：新版教材“平均數”內容部分，只有五下安排“平均數”內容，一共包含1章、10節和13頁.新版教材年級內容在四、五年級分別有28章、503節，合計640頁.

用同樣的統計策略再看兩個版本教材“平均數”內容占教材內容的比重情況.結論如下：

一是新版教材“平均數”內容分布差異性較大；二是五年級“平均數”內容在五下的章數比重是7.14%，分別大于五下節數的比重3.92%、頁碼的比重3.61%，而且有關“平均數”內容的合計章數比重僅為3.57%，這就表明了，新版“平均數”內容在教材中的比重較小.

2.內容分布情況的研究結果

北版教材“平均數”內容部分，在四下、五下安排“平均數”內容，一共包含2章、5節和11頁；北版教材年級內容在四、五年級分別有28章、213節，合計415頁.北版教材的章數比重是7.14%，節數比重為2.33%，頁碼比重為2.65%，這些數據表明，“平均數”內容的在北版教材中的比重也較小.

經過前面多維度的定量分析，總的來說，兩個版本教材“平均數”初步認識的分布比重存在一定的差異.

（三）內容廣度比較

兩個版本小學數學教材關于“平均數”內容知識點的統計結果情況，如圖7.

對圖7中兩版教材和“平均數”內容相關的知識點個數進行統計，分析如下：

在知識點數量上分析，通過比較兩版教材“平均數”范圍內的知識點情況，即可得出其內容廣度分布數據：新版教材的知識點有20個，北版教材的知識點有27個，北版教材知識點數量是新版教材的1.35倍，二者相差不大.

在知識點內容上分析，除了圖7中羅列了兩版教材中內容，兩版教材還有一些知識點上的不同，新版教材方面的不同有：在“平均數”內容中可以使用計算器解決實際問題；根據算式或者情境圖片編寫應用問題；用面積模型幫助解決和平均數有關的實際問題；北版教材含有畫條形統計圖、從復式條形圖和復式折線圖讀取信息等內容.

（四）內容深度比較

根據前面的賦值約定，得到圖7中兩版教材平均數內容知識點的內容深度值，如圖8.

通過前文中內容深度的計算公式，可求出新版教材、北版教材“平均數”內容的深度值，分別是1.6和1.67.在內容深度方面，北版教材約是新版教材的1.04倍.

從體例欄目與活動設計角度比較體現了新版教材對問題解決的一貫的重視，前期查閱文獻資料中有較多例證：孔企平在《對新加坡小學數學課程特色的分析》一文中描述道，以解決問題為中心的框架是新加坡小學課程的重要特色之一.

三、研究結論與啟示

（一）研究結論

兩版教材的“平均數”內容特點各具特色，各有所長.

新版教材以問題研究為重心，致力于培養學生的主觀問題應用意識.新版教材“平均數”教學內容分布差異性較大，“平均數”部分內容占教材的比重、教學內容廣度、教學內容深度比北版教材都要低，但新版教材在“平均數”教學內容中根據算式或者情境圖片編寫應用問題、利用面積模型協助解決與平均數有關的實際問題等方面對學生的思維水平的提出較高要求，因而內容呈現出經典的“精而深”“螺旋上升”的特征.

北版教材側重于在問題情境中理解平均數的意義；其偏向于在經歷統計活動的過程中，對數據進行收集、整理和分析，進而理解平均數的統計意義.北版教材“平均數”內容分布差異性適中；北版教材“平均數”內容占教材的比重、內容廣度、內容深度均略高于新版教材，且其內容呈現出的“廣而深”“問題串引領學習”的特點.

（二）對我國教材建設與研究的啟示

綜觀分析、對比，兩版教材的“平均數”教學內容在各個方面均有共同點，但又有著相當程度的不同.這反映出在兩版教材基于各自課程標準在教學策略等方面的不同傾向.北版教材的優勢值得肯定，但有些方面仍有待完善，新版教材的編制對當前中國小學數學教育科研發展的主要啟迪在于以下幾點：

1.適當增加統計內容的比重，拓展知識點

適當提高統計內容的比例，以豐富知識點.基于前面的研究數據結果與分析顯示：北版教材和新版教材相比，二者比重都小于8%，說明“平均數”內容的在北版教材中的比重也較小.建議可以適當增加統計內容比重.

2.問題解決和數學建模相融合，教材內容設計呈螺旋上升

根據兩版教材對編排體例、活動設計的對比分析，可以發現：致力于解決兒童數學問題是新加坡小學數學教材的五大基本特點之一，基于此，建立了五大基本要素相互融通的教學框架.新加坡教育部在2013年制訂的中小學數學教學大綱，明確了在課堂中進行數學建模，重視在實際情境中先提煉出數學模型并運用數學方法加以解決，然后再回到實際情境中說明解題方法.新加坡注重高等教育科學研究工作，并把有關成果由理論、研究轉移至教育、實務上的成功經驗，值得借鑒.

3.由易到難，優化知識的呈現方式

根據前面兩版教材對內容廣度和內容深度的比較，從直接說明、概括歸納和演繹三種呈現方式進一步研究，匯總兩版教材的知識點，從數據比較中發現：新版教材知識點直觀描述和演繹兩種呈現方式高于北版教材，符合新版教材內容設計由易到難的特點.

通過借鑒于新版教材，進一步優化了北版教材“平均數”知識內容的呈現方式，通過數形結合的直觀感受、歸納、推理等多種方式獲取新知，構建學生對“平均數”內涵以及其他數據內涵的正確認知，同時進一步累積了統計基本活動經驗、基本技能，從而培養數據分析觀念.

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