分類討論思想在初中數學解題中的應用探索

【摘要】隨著社會的不斷發展，我國的素質教育受重視度越來越高，對教育事業也提出了新的要求，教師必須采取新型教學方式來進行授課，給學生提供一個更加優質的學習環境.數學是一門邏輯性、抽象性較強的學科，它需要初中生具有一定的思維能力.因此，初中數學教師必須在課堂中把分類討論思想作為教學依據，培養學生的數學解題能力，并激發學生對數學學習的興趣，只有學生全面掌握解題意識和學習技巧，才能將抽象性的數學知識轉變得更加簡單.基于此，文章闡述了分類討論思想的意義、原則、優勢和劣勢，分析了分類討論思想在幾何、代數、實踐課題、體育競賽問題、相向而行問題中的應用.

【關鍵詞】分類討論思想；初中數學；解題；應用探索

一、分類討論思想的意義

分類討論思想是一種數學解題方式，即在對某些數學問題進行研究和解答時，要針對這個問題的不同小問題進行解決.而這就需要將研究問題的特點和要求進行總結，然后區分成不同的形式解決這些小問題，最終對這些小問題進行總結從而得出整個問題的答案，這種解題的方式就是分類討論思想.

二、分類討論思想的原則

在進行分類討論思想的過程中，必須要以整個題目為基礎，并正確地使用分類討論的思想，確保分類討論思想的科學性和統一性.但是在進行分類討論的過程中還要遵循以下三種原則.

第一，同一性原則.在進行分類討論時，必須要按照同一標準進行判斷，像對某些數據進行分類討論時不能同時使用幾個不同的數據作為依據.

第二，互斥性原則.在進行分類討論后，每一個子項都應互不相容，并做到每個子項互相排斥，不能讓有些元素既屬于這個子項，還屬于其他子項.

第三，層次性原則.在進行分類討論的過程中，有一次分類和多次分類之分.一次分類就是對討論項目進行一次分類，而多次分類則需要對討論對象進行多次分類，并將所有分出的子項作為母項，然后再進行分類，直到滿足題目要求為止.

三、分類討論思想的優勢和劣勢

（一）分類討論思想的優勢

分類討論可以將一個復雜的問題分成若干個小問題進行分析，不僅方便解答，而且能避免因問題過于繁雜而導致數值的遺漏，培養學生的全面解題能力以及嚴謹周密的解題能力有一定的幫助.

（二）分類討論思想的劣勢

分類討論的劣勢在于很容易將一些簡單的問題復雜化，而且分類討論是一項需要耗費大量時間的解題方式，方式過于固定不利于學生創新思維和解題能力的培養.

四、分類討論思想在初中數學解題中的應用

在初中數學的教學過程中，大多數內容都能使用到分類討論思想.例如，在教學“一元一次不等式”的內容時，對學生知識點內容的考查：某機械廠為了擴大經營，決定購入5臺機器進行某種鉆頭的生產.目前有A，B兩種機器供公司選擇，但是每臺機器的價格以及每臺機器日生產鉆頭的數量都不相同，而經過公司財務預算，本次所購買機器的資金不能超過20萬元.碰見這種題目時，學生就可以通過分類討論的方式對問題進行分析，按照該公司的具體要求有幾種購買方案？然后學生可以根據問題進行討論，并根據購買方案尋找出最可行的方案，同時對購買方案進行假設，利用一元一次不等式的解題方式，得出假設的結果，從而得出最佳的購買方案.而利用一元一次不等式的答案可以更好地確保質量和結果，如該題目中最佳的購買方案，就需要用一元一次不等式的知識進行解答.雖然這種分類討論的解題方式得到的結果不一定是最準確的，但是這個思想步驟是必要的.此外，在分類討論思想的實際應用中對于學生的思維謹慎性和比較性都有很好地鍛煉.

（一）在幾何中的應用

數學本身就是一門邏輯思維性強且抽象的學科，在初中數學的解題教學中，幾何知識包含著許多有關圖形知識的內容，教師要想讓學生更好地解決這些問題，就可以將分類討論思想應用進去，使學生更深入地探究幾何圖形知識，滿足學生的學習需求，提高學生的數學解題能力.

例如，在教學“圓與直線的位置關系”時，教師可以根據圓心到直線的距離與半徑之間的數量關系將直線與圓的位置關系分成相交、相切、相離三種位置關系，這個過程就叫分類討論思想.在此過程中，教師還要根據本節課的內容給學生提出問題：“已知一個直角三角形的邊長為4和6，那么另一邊的邊長是多少？”這道題看似簡單，但是由于教師沒有說明這兩條邊是直角邊還是斜邊，明顯是給學生挖的“坑”，導致大部分學生在做這道題時考慮得不夠全面，這時，教師就可以教學生怎樣運用分類討論思想來解決這個問題，將4作為直角邊長，6作為斜邊長或者4和6都是直角邊長，通過使用這種方式，學生可以發散自己的思維，更快地計算出答案，提高個人的數學解題能力.除此之外，在初中數學教學中，習題是培養學生綜合學習能力的關鍵途徑，將習題與分類討論思想相結合既能促進學生的學習與發展，又能大大提升教師的教學質量，為學生的發展打下堅實的基礎.

（二）在代數中的應用

在新課改的背景下，分類討論思想已經成了初中數學解題教學中的重要教育方式，簡單來說，初中數學解題教學離不開分類討論思想.在這其中，不管是幾何還是代數，分類討論思想都占據著非常重要的地位，起到了至關重要的作用.但是根據實際情況看，這二者之間存在著明顯的差距，其中代數知識大多數都是多解性的題目，具備很強的邏輯性和嚴密性，學生在學習時有一定的難度，所以教師應將分類討論思想應用到代數的教學中，給學生提供了極大的便利條件.另外，解決代數類題目的前提就是要具備足夠高的推理能力和綜合性思維，并且還能從未知量和已知量的關系中找到解題的思路，培養出發現問題、探索問題、解決問題的能力，這樣才能提高自身的數學解題能力.

例如，在教學“一元一次不等式”的數學題目時，教材中給出了幾個問題：某公司為了擴大自身的經營規模，決定給生產購進5臺機器，用于生產某種活塞.現有甲、乙兩種機器供企業選擇，其中每臺機器的價格和日生產活塞的數量分別是5萬和4萬、80和50，在企業經過一系列的預算之后，將總金額定在了22萬，如果該公司所購進的5臺機器每日的生產能力必須要保持在280個以上，那么給該公司提出了三種方案，即①購買5臺乙種機器；②購買1臺甲種機器和4臺乙種機器；③購買2臺甲種機器和3臺乙種機器；在經過分析之后，該公司可以參考這三種方式來購買機器.通過這道題可以看出，如果單單使用傳統的教學方式來進行授課是無法滿足學生學習需求的，這就需要教師將分類討論思想應用進去，才能解出完整的答案，并且還能在原來的基礎上提高學生的分類討論能力和意識，使其向著更好的方向發展.

（三）在實踐課題中的應用

初中生正值青春期，玩心重、比較叛逆，在學習時注意力不集中，甚至會受到外界因素的影響.再加上大部分初中生的學習經歷不足，自身的數學基礎也不牢固，導致在學習時受到了限制，阻礙了其自身的正常學習和生活.基于此，教師應該在教學中增加新型課題學習等實踐活動，從而提高學生的綜合分析能力和學習能力，使學生養成良好的學習習慣.另外，站在初中生的角度來看，數學對學生有著非常高的要求，學生要有很強的思維能力、學習能力和理解能力，單純靠著“死腦筋”來解決問題是不可能的事情.因此，教師要將分類討論思想應用到數學課堂教學中，給學生營造良好的學習氛圍.在此基礎上，實踐活動也需要加入分類討論思想，加強教師對實踐課題的重視度，讓教師學會合理應用分類討論思想，并給予學生相應的指導，從而有序開展課題活動，使其獲取更多、更全面的學習知識，完善自身的數學基礎.

例如，在教學“方案選擇”這一課時，教師要先給學生講解本課時的內容，然后再設置問題，幫助學生學習，即：某牛奶加工廠現有鮮奶9噸，如果將其拿到市場上去賣，那么每噸可賺500元；如果將這些鮮奶制作成酸奶，那么每噸可賺1200元；如果制成奶片，那么每噸可賺2000元.總結上文來講，該工廠若生產酸奶，則每天可以加工3噸；若生產奶片，則每天可以加工1噸.但是根據目前的情況來看，該工廠受到了很多因素的限制，首先，人員緊缺，沒有及時引進先進的生產人員，導致二者不能同時進行；其次，氣溫制約，這批牛奶要想保持新鮮度，必須要在4天之內售完，否則將會流失其原本的口感.通過本題，教師可以讓學生站在工廠的角度來解決問題，按照題目的要求綜合分析各種影響奶片加工的因素，并制訂出合理的解決方案，讓酸奶和奶片同時加工，以此來大大提高工廠的經濟效益.由此可見，實踐活動的開展不僅能夠培養學生的分類討論能力，而且能提高學生的綜合思維能力，能讓學生真正意義上掌握數學知識，提高數學解題能力和綜合分析能力，從而為未來的學習和發展打下堅實的基礎.

（四）在體育競賽問題中的應用

初中階段是學生學習數學知識從一知半解逐漸走向成熟的階段，所以在初中數學學習的過程中，學生不能熟練地掌握數學知識，對解題的方式方法的應用也不完善.與此同時，初中數學教師不斷加強對學生數學知識的傳輸，也持續對數學問題解題的方式方法進行完善，由此分類討論思想就成了解決數學難題的重要方式，同時如何讓學生在解題時運用分類討論思想就成了教師教學的重點內容.分類討論思想具有一定的技巧性，教師在課堂教學的過程中，要科學合理地引導學生掌握其要點，如果過于急功近利容易造成適得其反的效果.

比如，在初中數學課堂教學中，學生會經常遇到體育競賽類型的題目.其中以中國象棋的競賽為例：A，B，C，D，E五名選手參加中國象棋的比賽，每兩名選手之間要進行一場比賽，當比賽結束之后，選手A說“我贏的場次比其他任何人的場次都多.”選手B說：“我一場比賽都沒有輸過.”選手C說：“我沒有和任何人和棋過.”選手D說：“我有一場比賽贏了選手A.”選手E說：“我和選手C和棋過，而且和每名選手至多就下了一盤和棋.”結果發現有一名選手記錯了.問題：和選手D下和棋的有哪些選手？這時學生就可以通過分析幾位選手說的話，從而解決這個問題.有人說假話時，首先應找出說法最矛盾的兩個選手，這兩名選手之間肯定有一名選手在說假話，由于C和E說的話互相矛盾，所以其他選手說的都是真話，這兩名選手之間有一個人記錯了.然后學生就可以運用分類討論思想，對各選手說的話進行逐個分析，按照D的話來看，他贏了A；B則是說他沒有輸給A；這就說明了A最多只贏了兩場棋局.根據A的話來看，他的獲勝場次數應多于D，而其最少已經贏了一場，由此可以得知A一定是贏了兩場棋局（贏了C和E）.如果E沒有記錯的話，那么B最多有一場是和棋，其他的三場都分出了勝負，根據B的話來看，他就贏了三場比賽，可是這又和A說的話產生了矛盾，由此可以得知是E記錯了，C說的沒有和任何人和棋過是真話.由于B沒有輸過，而且他和C不是和棋，所以是B贏得了C，而B獲勝的場次要少于A，那么B其他的三場都是和對方平局.之前我們得知D贏得了A，那么D就不能再贏C，只能是C贏了D（C沒有和棋），這時C也獲勝了一場，那么他就要輸給E，最后D和E之間都獲勝了一場，所以他倆之間只能是平局.最終，學生通過對五名選手說的話逐個分析，得知答案：和選手D下平局的是選手B和選手E.合理運用分類討論思想可以讓復雜的問題簡單化，教師通過對學生進行題目的訓練，可以讓學生在遇到較復雜的問題時，把分類討論思想運用到解題過程中，從而獲得簡單的解題方式.

（五）在相向而行問題中的應用

在初中數學的教學中比較常用的思維模式就是分類討論思想，不僅可以讓學生更快地理清解題方式，也能對問題有一個全面的思考，讓學生在解題的過程中不容易被復雜的問題所誤導.由此可見，分類討論思想的意識在初中數學中的重要作用，當學生具備了一定的分類討論思想意識時，能提高對學習內容的掌握和理解能力.比如，在相向而行的問題中：A，B兩人之間距離21千米，如果兩人相向而行，會在1小時之后相遇，如果兩人同向而行，那么B要在7個小時之后才能追上A，求A，B兩人每個小時各走多少千米？在解題的過程中，學生需要對A，B兩人的時速分別計算，這時就要先算出一個人的時速，然后根據兩人之間的速度差，計算出另外一個人的時速，這就給學生理清了解題的思路.首先根據計算可以得知A和B的速度差是3千米，B的時速是每小時12千米，那么A的時速就是每小時9千米.學生通過將問題內容進行分類逐個計算，可以有效提高自身的邏輯思維能力，有助于加強自身數學方面的綜合素質.

結 語

綜上所述，分類討論思想的出現給許多數學成績較差且邏輯思維能力薄弱的學生，帶來了巨大的幫助.不僅讓學生對數學難題不再恐懼，而且讓學生有了有效且方便的解題思想，這對初中階段的數學學習有著重要的幫助.此外，教師要引導學生在進行分類討論的過程中及時轉變思考角度，靈活解題.比如說相同的題目換個方式提問，有些學生就不知所措了，而這時就需要學生轉變思考方式，與相同的數學思想相連接并從中得出答案，總的來說分類討論思想給初中生數學學習帶來了巨大的改變，這對學生整體素質的提升有著重要的意義.

【參考文獻】

[1]閻紹悅.分類討論思想在初中數學解題中的應用探索[J].數理化解題研究（初中版），2014（10）：47.

[2]鄒團軍.初中數學分類討論思想在解題中的應用研究[J].新課程，2020（23）：85.

[3]李云，趙學志.中學數學中分類討論思想的個案研究[J].首都師范大學學報（自然科學版），2018（01）：17-20.

[4]宋玉輝.淺談分類討論思想在高中數學中的應用[C].北京：北京燕山出版社，2017.

[5]黃佳.分類討論思想在高中數學教學的研討[D].武漢：華中師范大學，2017.