二次方根的認識與答題技巧

【摘要】本文詳細闡述二次方根的概念、性質，通過深入分析二次方根的相關知識，總結出解答二次方根相關題目時的實用技巧，并結合一些實例進行說明，旨在幫助讀者全面掌握二次方根知識，提升解題能力．

【關鍵詞】二次方根；初中數學；解題技巧

二次方根是數學中的一個重要概念，它在代數、幾何等多個數學領域中都有著廣泛的應用．深入理解二次方根的概念和性質，熟練掌握相關答題技巧，對于學好數學基礎知識以及進一步學習更深奧的數學內容具有至關重要的意義．

1二次方根的認識

如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫作a的平方根，也叫作二次方根．例如，因為±22=4，所以±2是4的二次方根．可見，正數有兩個平方根，它們互為相反數．正數a的正的平方根叫作a的算術平方根，記作aa≥0．因為任何實數的平方都是非負的，所以負數沒有平方根．

2二次方根相關題目的答題技巧

2.1求一個數的平方根

例1若一個正數a的兩個平方根分別是3b－5和－2b+2．

（1）求a和b的值；

（2）求a+3b的平方根．

解析因為一個正數a的兩個平方根分別是3b－5和－2b+2，

所以3b－5+－2b+2=0，

所以b=3，

所以a=3b－52=42=16．

（2）因為a=16，b=3，

所以a+3b=16+3×3=16+9=25，

又25的平方根是±5，

所以a+3b的平方根為±5．

答題技巧本題主要考查了平方根的相關知識，熟知一個正數的兩個平方根互為相反數是解題的關鍵．第（1）問中，需先求出b的值，再根據平方根的意義求出a的值；第（2）問中，先求出a+3b的值，隨后可求出其平方根．

2.2利用算術平方根的非負性解題

例2已知實數m滿足m－2025+|2024－m|=m，則20242－m= ．

解析因為m－2025有意義，

所以m－2025≥0，

所以m≥2025，

所以2024－mlt;0，

所以2024－m=m－2024，

所以m－2025+2024－m=m－2025+m－2024=m，

所以m－2025=2024，

得m=20242+2025，

將m=20242+2025代入20242－m，

得20242－20242+2025=－2025．

答題技巧本題主要考查了算術平方根的定義以及絕對值的意義，根據算術平方根的定義可得到m≥2025，則2024－mlt;0，進而化簡得m－2025=2024，解得m=20242+2025，然后代入所求式子即可求解．

2.3利用二次方根解方程

例3根據圖1中數字的規律，若第n個圖中的q=168，則p的值為（）

（A）144．（B）121．

（C）100．（D）81．

解析觀察圖1可知，第1個圖右上方的數為1，下方的數為1+12－1=3，第2個圖右上方的數為4，下方的數為2+12－1=8，第3個圖右上方的數為9，下方的數為3+12－1=15，…，第n個圖右上方的數為p=n2，下方的數為q=n+12－1，因為q=168，所以n+12－1=168，解得n=12，所以p=n2=122=144．故選（A）．

答題技巧觀察可知第n個圖左上角的數為n，右上角的數為n2，下方的數為n+12－1，由此可得方程n+12－1=168，解方程可得n=12，根據p=n2，即可解答．

2.4二次方根的應用

例4小明同學每次回家進入電梯時，總能看見物業在電梯內張貼的提示“高空拋物，害人害己，嚴禁高空拋物”，為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：秒）和高度h（單位：米）近似滿足公式h=12gt2，其中g為重力加速度，g≈10米/平方秒．物體落地時產生的動能=物體質量×重力加速度×高度，動能的單位名稱為焦耳，例如：一個1千克重的花盆從30米高空墜落到地面產生的動能為：1×10×30焦耳=300焦耳．求：

（1）一個物品從80米的高樓墜落到地面需要幾秒？

（2）一個0.5千克的物品墜落到地面產生了200焦耳的動能，請推算該物品墜落到地面用了幾秒？（結果精確到0.1 秒，2≈1.41）

解析（1）把h=80代入h=12gt2，

得：80=12×10t2，即t=±80×210，

解得t=4（負值舍去）．

（2）由題意得：0.5×10h=200，

解得h=40，

把h=40代入h=12gt2，

得40=12×10t2，

解得t=22（負值舍去），即t≈2.8秒．

答題技巧本題考查了平方根的應用，理解公式，正確代入求值是解答此題的關鍵．第（1）問中，將h=80代入h=12gt2得：80=12×10t2，即t=±80×210，計算即可得解；第（2）問中，需先求出h=40，再將h=40代入h=12gt2得40=12×10t2，即t=±40×210，計算即可得出答案．

3結語

二次方根的知識體系包括涵蓋概念、性質等內容，通過對這些知識的深入理解，可以總結出許多解答此類問題的技巧．在實際解題過程中，要靈活運用這些技巧，根據不同的題目類型選擇合適的方法．熟練掌握二次方根的相關知識與答題技巧，不僅有助于提高數學學習成績，更能為進一步學習數學知識奠定堅實的基礎，在代數、幾何等數學分支的學習和研究中發揮重要作用．同時，在教學過程中，教師應注重引導學生理解二次方根的本質，通過實例鍛練學生的解題能力，使學生能夠熟練運用這些知識和技巧解決各種數學問題．

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