“三會(huì)”貫穿：乘法分配律的幾何直觀與意義建構(gòu)

文|羅永軍（特級(jí)教師） 許兆琛

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有哪一項(xiàng)運(yùn)算定律特別重要，但又讓學(xué)生常撓頭、教師很抓狂？相信很多教師都會(huì)說(shuō)，是乘法分配律。

它為什么特別重要？因?yàn)槌朔ǚ峙渎稍谶\(yùn)算中處于樞紐地位，是連通四則運(yùn)算的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。在加減乘除運(yùn)算中，減法可以用“想加做減”來(lái)算，而除法相當(dāng)于“乘倒數(shù)”，也就是說(shuō)，小學(xué)的四則運(yùn)算實(shí)際上可以歸并到兩個(gè)更為基礎(chǔ)的運(yùn)算：加法和乘法。連接這兩個(gè)運(yùn)算的定律即乘法分配律，而且是唯一的一個(gè)算術(shù)定律。乘法分配律的這個(gè)特性為多位數(shù)乘法，比如多位數(shù)乘一位數(shù)，多位數(shù)乘兩位數(shù)、乘多位數(shù)提供了算理和算法。不僅如此，更為之后的代數(shù)運(yùn)算提供了基礎(chǔ)，比如合并同類項(xiàng)。對(duì)于乘法分配律的作用，有學(xué)者認(rèn)為，它的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)從“石器時(shí)代”發(fā)展到了“鐵器時(shí)代”。

如此重要的數(shù)學(xué)定律，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，難學(xué)嗎？

一、痛點(diǎn)：學(xué)生為什么反復(fù)錯(cuò)

其實(shí)在正式學(xué)習(xí)之前，小學(xué)生有很多機(jī)會(huì)接觸乘法分配律。比如在學(xué)乘法口訣時(shí)，把二三得6、三三得9，組合成三五15；學(xué)習(xí)一位數(shù)乘多位數(shù)時(shí)，如4 乘12 即4 個(gè)10 加上4 個(gè)2 合并得到48；還有長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算、兩積之和的應(yīng)用問(wèn)題，等等。也就是說(shuō)，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，已經(jīng)有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，學(xué)起來(lái)應(yīng)該不費(fèi)勁。可是，現(xiàn)實(shí)情況不容樂(lè)觀。

湖北宜昌天問(wèn)學(xué)校的劉玉華老師曾做過(guò)大樣本調(diào)研，結(jié)果顯示，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)關(guān)注的是定律的“形”，如果改變一下乘數(shù)位置，如5×3+5×7，把5×3交換位置，變成3×5+5×7，學(xué)生的錯(cuò)誤率馬上上升，有寫成3×（5+7）的，有寫成5×（3+7）×5 的，還有把分配律和之前學(xué)過(guò)的結(jié)合律混起來(lái)，對(duì)連乘算式也進(jìn)行了分配。學(xué)生從開(kāi)始學(xué)，一直到五年級(jí)還是不斷出錯(cuò)[1]。用類似的問(wèn)卷，筆者對(duì)本校進(jìn)行了調(diào)研，得到了相近結(jié)果。

為什么會(huì)錯(cuò)？以學(xué)生典型作答（30+4）×25=30+4×25 為例，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這當(dāng)然是錯(cuò)的，但從兒童的視角來(lái)看，這又是“合理”的，因?yàn)樵冢?0+4）×25 這個(gè)算式中，我們看到的是三個(gè)數(shù)，因此和它等價(jià)的算式“自然”也是三個(gè)數(shù)，比如30+4×25，這種基于視覺(jué)的數(shù)量守恒性就是學(xué)生的思維自然結(jié)構(gòu)。而要形成正確結(jié)果30×25+4×25 則需要思維進(jìn)行加工，這是人的思維的加工結(jié)構(gòu)，當(dāng)兩者不一致時(shí)，錯(cuò)誤就會(huì)產(chǎn)生[2]。另外，乘法分配律由于涉及到了兩級(jí)運(yùn)算，常常放在更為簡(jiǎn)單的乘法（加法）結(jié)合律之后教學(xué)，因此會(huì)因“同形繼承”而受其干擾[3]，實(shí)際上這同樣是由于學(xué)生的思維自然結(jié)構(gòu)（基于視覺(jué)的形狀守恒性）與思維的加工結(jié)構(gòu)沖突所致。

二、疑點(diǎn)：教材是否給力

要讓學(xué)生的思維沖破藩籬，建起新的結(jié)構(gòu)不容易，作為重要教學(xué)資源的教材給出了哪些教學(xué)提示呢？從現(xiàn)行各版本教材給出的樣例來(lái)看，主要方式是提供情境支撐，如在呈現(xiàn)求桌椅總價(jià)、植樹(shù)總?cè)藬?shù)、鋪地磚求總面積等情境中[4]，學(xué)生看圖列式，發(fā)現(xiàn)算式a×（b+c）與算式a×b+a×c 的結(jié)果相同，從而得出a×（b+c）=a×b+a×c或a×b+a×c=a×（b+c）。

“呈現(xiàn)情境—看圖列式—比較算式—尋找規(guī)律”的學(xué)習(xí)路徑在運(yùn)算定律的教學(xué)中不斷重復(fù)，我們可能已經(jīng)習(xí)以為常了。誠(chéng)然，通過(guò)比較算式的異同來(lái)概括出定律的學(xué)習(xí)方式有利于學(xué)生快速認(rèn)識(shí)乘法分配律“是什么”，不過(guò)對(duì)于定律“為什么”卻難以解釋，這會(huì)讓學(xué)生只關(guān)注到定律的“形”，局限于“形”的記憶，一旦遇到“變形”，就會(huì)混亂，并且連“原形”也會(huì)被打碎，這正是學(xué)生反復(fù)出錯(cuò)的原因。

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算類知識(shí)屬于程序性知識(shí)，程序性知識(shí)不僅要清楚“是什么”，還要理解“為什么”，更要明白“怎么變”。現(xiàn)行研究表明，對(duì)于學(xué)生目前的認(rèn)知水平而言, 只有直觀的才是他們?nèi)菀桌斫夂驼嬲斫獾腫5]。現(xiàn)行教材在這方面給出的教學(xué)提示還不夠充分。

乘法分配律需要怎樣的直觀？乘法分配律反映的是運(yùn)算中數(shù)與數(shù)之間的組合關(guān)系，實(shí)際上它是對(duì)兩個(gè)（或多個(gè)）獨(dú)立的乘法算式進(jìn)行了相應(yīng)的組合，形成了一個(gè)新的乘法算式。這樣的組合是可逆的，也可以由一個(gè)乘法算式分解成多個(gè)獨(dú)立的乘法算式。因此，學(xué)生需要意義理解：

1.什么樣的乘法算式（因式）是可以組合的？

2.多個(gè)獨(dú)立的因式是如何組合成一個(gè)因式的（或者相反）？

3.因式合并（或分解）前后有什么變化？

進(jìn)一步考查上述三個(gè)認(rèn)知訴求，我們發(fā)現(xiàn)這實(shí)際上就是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）提出的“三會(huì)”[6]要求，即我們需要讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察事實(shí)和現(xiàn)象，從而感悟什么樣的因式是可以組合的；用數(shù)學(xué)的思維思考這些因式是如何合并（或分解）的；用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)因式合并或分解的過(guò)程，概括出乘法分配律。

理念的關(guān)聯(lián)還需要實(shí)踐來(lái)契合，那么，如何為乘法分配律設(shè)計(jì)“三會(huì)”學(xué)習(xí)路徑呢？

三、著力點(diǎn)：“三會(huì)”如何來(lái)破局

（一）會(huì)觀察：在操作中“看到”現(xiàn)象

我們希望學(xué)生在情境中能夠完整地體驗(yàn)到乘法分配律的生成過(guò)程，是以一種親身經(jīng)歷的“觀察”，而不僅僅是對(duì)算式的視覺(jué)層面的“觀察”。怎樣讓學(xué)生能沉浸其中呢？為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)“動(dòng)手做”的項(xiàng)目，學(xué)生在解決問(wèn)題中，邊做邊想，發(fā)現(xiàn)關(guān)系。

連連看：哪些長(zhǎng)方形可以連在一起，拼成一個(gè)更大的長(zhǎng)方形？

師：同學(xué)們玩過(guò)“水果連連看”嗎？都玩過(guò)呀，喜歡嗎？大家是不是都想自己來(lái)玩一玩？（呈現(xiàn)圖形）這些長(zhǎng)方形等著你來(lái)“連連看”呢。

生：我覺(jué)得②號(hào)和③號(hào)可以連在一起。

生：看上去好像可以。還不知道這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是多少呢。

（教師適時(shí)補(bǔ)上數(shù)據(jù)，學(xué)生進(jìn)一步觀察判斷。之后學(xué)生兩人一組動(dòng)手操作拼擺長(zhǎng)方形卡片，驗(yàn)證猜測(cè)，操作后交流）

師：成功了嗎？你是怎樣選擇的，誰(shuí)愿意來(lái)分享？

生：我發(fā)現(xiàn)①號(hào)和③號(hào)可以連在一起，連成后是一個(gè)長(zhǎng)8 厘米、寬2 厘米的長(zhǎng)方形。

生：①號(hào)還能和②號(hào)拼在一起，拼成后是一個(gè)邊長(zhǎng)為5 厘米的正方形。

生：把②號(hào)和③號(hào)連在一起就是一個(gè)長(zhǎng)7 厘米、寬3 厘米的長(zhǎng)方形。

師：大家為什么不用上④號(hào)長(zhǎng)方形呢？

生：它的長(zhǎng)和寬與其他長(zhǎng)方形都不一樣。

生：④號(hào)與其他長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬對(duì)不上，會(huì)多出一截。

小結(jié)：通過(guò)交流，我們發(fā)現(xiàn)了連接成功的關(guān)鍵是：當(dāng)兩個(gè)長(zhǎng)方形有一條邊相等時(shí)，這兩個(gè)長(zhǎng)方形就能拼成一個(gè)更大的長(zhǎng)方形。而④號(hào)長(zhǎng)方形與其他長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都不相同，所以無(wú)法拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：相較于看圖寫算

式的引入方式，由學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐而生成的學(xué)習(xí)素材既能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，又能使學(xué)生做思結(jié)合近距離地觀察現(xiàn)實(shí)材料，從而有利于學(xué)生用“數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”，發(fā)展空間觀念和幾何直觀水平。】

（二）會(huì)思考：在解析中“識(shí)到”關(guān)系

找一找：對(duì)照算式和圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：想一想拼好之后的圖形，在框里畫一畫。用算式表示拼組過(guò)程，對(duì)照算式和圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：我發(fā)現(xiàn)可以把兩個(gè)乘法算式拼成一個(gè)乘法算式。

生：我覺(jué)得兩個(gè)乘法算式中如果有一個(gè)乘數(shù)相同，就能拼成一個(gè)乘法算式。

生：要有一個(gè)數(shù)相同，這樣才能拼在一起，5×2+4×6 就不能寫成一個(gè)乘法算式。

師：看來(lái)，④號(hào)長(zhǎng)方形有點(diǎn)孤單。如果我們?yōu)樗湟粋€(gè)長(zhǎng)方形，讓它也能連成更大的長(zhǎng)方形，你準(zhǔn)備怎么配？長(zhǎng)和寬分別是多少？請(qǐng)你擺一擺。

（圖略，學(xué)生根據(jù)④號(hào)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬配出了相應(yīng)的長(zhǎng)方形，在操作中思考，進(jìn)一步感悟了乘法分配律的意義）

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：乘法分配律不僅能刻畫算式的運(yùn)算規(guī)律，也能反映圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在教學(xué)中，將“算式變化”和“圖形運(yùn)動(dòng)”互通共融，形象生動(dòng)地展現(xiàn)了因式合并的條件和方法，讓學(xué)生的運(yùn)算能力、空間觀念和幾何直觀水平得到同步發(fā)展。在學(xué)生有了初步感悟之后，教師放慢了教學(xué)節(jié)奏，繼續(xù)增加素材讓學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，深入思考，理解關(guān)系。】

（三）會(huì)表達(dá)：在各種應(yīng)用中“悟到”規(guī)律

1.呈現(xiàn)乘法算式

5×4 8×67×5 4×10

9×6 ?×6 9×? △×4

師：同學(xué)們看到的這些乘式，哪兩個(gè)可以“連連看”，連成一個(gè)乘式？你也可以把兩個(gè)乘數(shù)看成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，把乘式想象成一個(gè)長(zhǎng)方形。

生：5×4 和7×5 可以連成5×（4+7），8×6 和9×6 可以連成（8+9）×6，4×10 和5×4 可以連成4×（10+5），因?yàn)樗鼈兌加邢嗤某藬?shù)，其他的都不行。

生：8×6 和?×6 好像也可以，但是不知道?是多少。假設(shè)?是1，那連成的是6×（8+1）。

生：其實(shí)不用管?是多少，只要有一個(gè)乘數(shù)相同，就可以拼成一個(gè)更大的長(zhǎng)方形，是6×（?+8）。

生：這樣的話，4×10 和△×4也可以連在一起，是4×（10+△）。

生：我覺(jué)得?×6 和9×?也可以連在一起，是?×（6+9）。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：在初步感知乘法分配律的特點(diǎn)后，我們進(jìn)一步提供“算式”素材，借助幾何直觀，深化對(duì)乘法分配律的意義理解。這里“算式”中的乘數(shù)，既有具體的數(shù)，又有抽象的符號(hào)，發(fā)展了學(xué)生的代數(shù)思維，從而更好地感悟乘法分配律的結(jié)構(gòu)。】

2.補(bǔ)算式：如果算式不全，你還能連嗎？

5×8+5×____=5×（8+2）

8×6+____×____=8×（6+4）

9×____+____×____=9×（3+7）

3×（2+5）=__________

3.這樣的算式還能表示數(shù)學(xué)中、生活中的其他問(wèn)題嗎？

（1）選一選，哪幅圖能表示3×（2+5）=3×2+3×5？

（2）請(qǐng)你來(lái)畫一畫：3×（2+5）=3×2+3×5。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：在變式應(yīng)用中，一方面變化“式”的不同形態(tài)，使學(xué)生積聚運(yùn)算結(jié)構(gòu)的思考，另一方面始終強(qiáng)調(diào)“式”“形”互通，即從“算式”想到“圖形”、由“圖形”歸為“算式”，使學(xué)生既熟悉乘法分配律的形式，又理解其意義。同時(shí)，學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)也得到了提升。】

4.建立結(jié)構(gòu)

師：我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以怎樣表示？你能不能用文字、字母、符號(hào)等方法來(lái)表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

小結(jié)歸納：ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）或ɑ×（b+c）=ɑ×b+ɑ×c。

師：非常棒！我們把這樣的運(yùn)算規(guī)律稱為“乘法分配律”。看到乘法分配律讓你想到了什么？在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，你遇到過(guò)嗎？

生：我想到了前幾節(jié)課中學(xué)過(guò)的“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)”，長(zhǎng)×2+寬×2=（長(zhǎng)+寬）×2。

生：我的鉛筆盒上有乘法口訣表，乘法口訣中也有分配律，比如7×9 可以看成是由3×9 和4×9加起來(lái)得到的。

生：我想到了動(dòng)畫片中的“黑貓警長(zhǎng)抓老鼠”，警長(zhǎng)ɑ 分別去抓2 只老鼠b 和c，相當(dāng)于ɑ×b+ɑ×c，抓到老鼠后關(guān)進(jìn)籠子里就好比ɑ×（b+c），這就是ɑ×b+ɑ×c=ɑ×（b+c）。

5．回顧反思，提出新問(wèn)題

學(xué)生回顧過(guò)程，并提出新問(wèn)題：乘法對(duì)減法有分配律嗎？除法對(duì)加法有分配律嗎？乘法分配律除了計(jì)算，還有什么用處呢？

【設(shè)計(jì)總述：2022年4月，作為學(xué)校“百年校慶展示活動(dòng)”的數(shù)學(xué)專場(chǎng)，我們線上線下相結(jié)合，對(duì)省內(nèi)外廣大數(shù)學(xué)教師分享了這節(jié)課，得到了廣泛鼓勵(lì)。

與典型的“看圖寫式—比較算式—概括規(guī)律”重視運(yùn)算律形式的教學(xué)相比，這節(jié)課更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的運(yùn)算能力和幾何直觀水平同步發(fā)展，更強(qiáng)調(diào)運(yùn)算律的意義構(gòu)建，以“三會(huì)”來(lái)貫穿教學(xué)：一是學(xué)習(xí)素材讓學(xué)生自主創(chuàng)生。學(xué)生自己動(dòng)手操作生成的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生能夠親歷“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察”，理解知識(shí)的來(lái)源與形態(tài)。二是意義建構(gòu)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)。在教學(xué)中不斷促進(jìn)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考”算式與圖形之間的對(duì)應(yīng)，通過(guò)幾何直觀，促進(jìn)概念之間的聯(lián)系。學(xué)生在思考中自己分析、解決問(wèn)題，對(duì)乘法分配律的幾何意義和運(yùn)算規(guī)律有了較為深入的理解。三是數(shù)學(xué)應(yīng)用凸顯了變式體驗(yàn)。在教學(xué)中通過(guò)多角度理解，有層次推進(jìn)，深入感悟，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)”乘法分配律的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)形式。回顧整個(gè)教學(xué)，我們體會(huì)到新課標(biāo)提出的“三會(huì)”要求，既是學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的目標(biāo)，又可以作為我們教學(xué)設(shè)計(jì)的方法論，以此來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)路徑和學(xué)習(xí)素材，能夠更好地達(dá)成教與學(xué)的一致性。】

基于“三會(huì)”要求，設(shè)計(jì)“三會(huì)”路徑，發(fā)展“三會(huì)”素養(yǎng)，我們還只是初步嘗試，旨在拋磚引玉，期待更多的教師來(lái)創(chuàng)意實(shí)踐、智慧分享。