以畫促話 以話促思
——《趣HUA一個(gè)整體的幾分之一》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|楊紅干（特級(jí)教師） 袁敬豐（特級(jí)教師）

分?jǐn)?shù)，是數(shù)概念的一次擴(kuò)展。它的概念比較抽象，因此學(xué)生形成分?jǐn)?shù)概念比較困難。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“三會(huì)”，我們提出了“趣HUA 數(shù)學(xué)”的實(shí)踐研究，這里的“HUA”對(duì)應(yīng)的漢字分別為“畫”“話”“化”。本節(jié)課主要通過“HUA”來幫助學(xué)生搭建支架，達(dá)到以畫促話、以話促思。

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第76~78 頁(yè)。

【教學(xué)過程】

一、趣“話”分?jǐn)?shù)——激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)

師：分?jǐn)?shù)已經(jīng)是咱們的老朋友了，你們的心中一定住著一個(gè)熟悉的分?jǐn)?shù)，誰來說一說？

師：知道這些分?jǐn)?shù)不足為奇，重要的是還能說出它的意思，我們以為例。

師：我聽到了不一樣的聲音，誰來說一說？

生：應(yīng)該加上“平均分”，因?yàn)闆]有平均分就沒有分?jǐn)?shù)。

師：是呀，顧名思義，分?jǐn)?shù)中的“分”就是平均分，“數(shù)”（shù）又讀“數(shù)”（shǔ），是數(shù)出來的，誰再來說一說？

二、趣“話”分?jǐn)?shù)——遷移學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

1.再現(xiàn)舊知，引出問題

師：請(qǐng)看，猴媽媽也帶來了一個(gè)桃，平均分給兩個(gè)猴寶寶，每只猴寶寶分得這個(gè)桃的幾分之一？

師：如果現(xiàn)在是一盤桃，把它平均分給兩只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

2.舉例驗(yàn)證，嘗試表征

師：猜測(cè)后需要我們進(jìn)一步驗(yàn)證，現(xiàn)在你們特別想知道什么？

【設(shè)計(jì)意圖：遷移學(xué)生的舊知，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來推理猜測(cè)新的問題，即由一個(gè)桃的推理出一盤桃的，通過猜分?jǐn)?shù)激發(fā)學(xué)生的好奇心和繼續(xù)探究的欲望，培養(yǎng)他們的推理能力和建模能力，意在為一些桃的表征提供更多的可能性，也為一個(gè)整體的幾分之一埋下伏筆。】

三、趣“畫”整體——打通新舊知的內(nèi)在聯(lián)系

1.畫圖表征，比較異同

師：（出示圖1 和圖2）大家都不約而同地想到了畫圖，畫圖讓我們看得更直觀。比較圖1 和圖2，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

圖2

生：不同點(diǎn)是第一幅圖畫的就是實(shí)物桃子，第二幅圖把桃子畫成了圓形。

師：數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)潔的，如果讓你選擇，你會(huì)選擇——

生：我會(huì)選擇圓形或其他的圖形代替，這樣畫圖更簡(jiǎn)單、方便。

師：現(xiàn)在你能試著修改完善自己的圖嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是需要支架和工具的，“畫數(shù)學(xué)”就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具！學(xué)生的“畫”不是一蹴而就的，需要教師的指導(dǎo)和同伴的交流分享。由于兒童認(rèn)知發(fā)展水平不一樣，所以每個(gè)人的“畫”經(jīng)歷的層次也各不相同，此時(shí)通過“畫數(shù)學(xué)”可以展示學(xué)生的多元表征，讓他們的思維外顯可視化。】

2.巧借盤子，抽象整體

師：剛才的桃子放在哪里了？

生：盤子里。

師：你能在自己已畫的圖上添加個(gè)盤子把桃子放進(jìn)去嗎？

師：（出示圖3）學(xué)以致用！數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)潔的，我們可否把盤子修改一下？不過有的同學(xué)已經(jīng)做到了，請(qǐng)看（出示圖4）。

圖3

圖4

師：像這樣，畫一個(gè)集合圈表示盤子。這個(gè)圈表示：從此以后我們就是一個(gè)團(tuán)隊(duì)、一個(gè)整體了。

（學(xué)生再次修改“盤子”）

師：學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷完善的過程，我們通過畫圖驗(yàn)證了自己的猜想，你會(huì)借助前面的畫圖經(jīng)驗(yàn)畫出下面桃的嗎？

【設(shè)計(jì)意圖：空出時(shí)間和空間讓學(xué)生經(jīng)歷“HUA 數(shù)學(xué)”的過程，為學(xué)生的思考留位（畫數(shù)學(xué)），為學(xué)生的表達(dá)提供平臺(tái)（話數(shù)學(xué)），為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展積蓄力量（這是數(shù)學(xué)的本質(zhì)即數(shù)學(xué)化）。學(xué)生通過畫一畫，巧借“盤子”抽象出一個(gè)“整體”，這樣把許多物體看成一個(gè)整體也就水到渠成，從個(gè)人探索到全班分享、從比較推理到不斷修改建模，學(xué)生經(jīng)歷了自主探究的過程，在這一過程中，學(xué)生得到的不僅僅是知識(shí)，更是借助圖形不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。】

3.比較辨析，走向本質(zhì)

圖5

生：它們都是把一盤桃（一個(gè)整體）平均分成2 份，每份是這盤桃（這個(gè)整體）的。

師：看著這幅圖你還能提出什么問題？

生：因?yàn)樘业目倲?shù)不一樣多。

生：也就是整體的個(gè)數(shù)不相等。

師：真好！如果我把原來的一盤桃平均分給3 只小猴，每只小猴又會(huì)分得這盤桃的幾分之幾？再試著在紙上畫一畫。

（此時(shí)僅僅鞏固學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并沒有太大的難度。學(xué)生直接在小組中交流、修改、完善）

師：比較這兩幅圖（出示圖6），都是把6 個(gè)桃平均分，為什么分得的結(jié)果卻用不同的分?jǐn)?shù)表示呢？

生：也就是平均分的份數(shù)不一樣。

生：我還發(fā)現(xiàn)與桃的個(gè)數(shù)無關(guān)，只看把整體平均分成的份數(shù)。

生：我補(bǔ)充，不但看整體被平均分成的份數(shù)，還要看取或者涂色的份數(shù)。

師：我們通過多次畫圖可以驗(yàn)證：如果把一盤桃平均分成2份，每份是這盤桃的，與盤子里桃的個(gè)數(shù)無關(guān)，只與平均分的份數(shù)有關(guān)，多么智慧的發(fā)現(xiàn)啊！

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)習(xí)就是一個(gè)比較的過程，滲透變與不變的思想，讓學(xué)生經(jīng)歷了比較辨析的過程，幫助他們直達(dá)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，再次鞏固分?jǐn)?shù)的建構(gòu)過程。學(xué)生通過辨析發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)其實(shí)就是平均分后數(shù)出來的，不論是一個(gè)物體還是一個(gè)整體。學(xué)生從畫圖到比較、分析，他們的思維從形象到抽象體驗(yàn)著不斷數(shù)學(xué)化的過程。】

四、趣“化”分?jǐn)?shù)——建構(gòu)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征

1.達(dá)數(shù)學(xué)化，建模分?jǐn)?shù)

師：圍繞今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你能提個(gè)問題考考大家嗎？

生：把8 個(gè)面包平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得這些面包的幾分之幾？

生：把10 塊糖果平均分給5個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得這些糖果的幾分之幾？

……

師：好的情境固然能幫助我們理解分?jǐn)?shù)的意義，但當(dāng)面包沒了、糖果沒了……此時(shí)你還能提出問題考考大家嗎？

生：把一些圓片平均分成8份，每份是這些圓片的幾分之幾？

生：圓片的個(gè)數(shù)應(yīng)該是雙數(shù)。

生：圓片的個(gè)數(shù)應(yīng)該是8 的倍數(shù)，否則不好分。

師：會(huì)思考，如果我有12 支鋼筆，你可以拿出它的幾分之一？為什么？你能把它平均分成幾份？每份是它的幾分之一？先分一分、填一填，再說一說。

（學(xué)生先獨(dú)立思考后動(dòng)手操作，再在全班分享補(bǔ)充）

【設(shè)計(jì)意圖：聚焦學(xué)生的問題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維是當(dāng)下每一個(gè)數(shù)學(xué)人應(yīng)該努力的方向。好的情境可以幫助我們理解問題，為了提高學(xué)生的思維力，必須去除情境，一個(gè)小小的問題激活了全班學(xué)生的思維力，學(xué)生就在這樣的問題中產(chǎn)生了問題鏈。在思辨中不斷的數(shù)學(xué)化——建模分?jǐn)?shù)！】

2.問題小結(jié)，整體聯(lián)系

師：今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)（二）和前面學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)（一）有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？

生：今天學(xué)習(xí)的是把許多物體組成的一個(gè)整體平均分，前面學(xué)習(xí)的是把一個(gè)物體平均分。

生：我們可以把多個(gè)物體想象成一個(gè)物體，就和以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容一樣了。

生：一個(gè)整體也好，一個(gè)物體也好，我發(fā)現(xiàn)里面都有數(shù)字“1”。

師：是呀，你們都是愛思考的孩子，數(shù)字“1”在后續(xù)的學(xué)習(xí)中我們還會(huì)再次相遇，他們有一個(gè)共同的名字叫單位“1”，感興趣的同學(xué)課下可以做個(gè)小課題研究。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在比較中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，建構(gòu)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而很好地整體認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，并為五年級(jí)分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)做好鋪墊——建構(gòu)“單位1”，學(xué)有生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)！“話——畫——化”的過程，就是學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦的過程，也是學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的過程。】