帶著“思考”從“操作”走向“推理”
——以《用尺規(guī)作等長線段》為例

文|丁志根

尺規(guī)作圖是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）新增的內(nèi)容。尺規(guī)作圖在小學(xué)階段包括的內(nèi)容主要有：用尺規(guī)作等長線段，用尺規(guī)作三角形，用尺規(guī)探索三角形的三邊關(guān)系。其中用尺規(guī)作等長線段是尺規(guī)教學(xué)的第一節(jié)課，如何通過這節(jié)課的教學(xué)幫助學(xué)生認(rèn)識到尺規(guī)作圖的價值？筆者進(jìn)行了相關(guān)實踐和研究。

【教學(xué)過程】

一、在自學(xué)中習(xí)得圓規(guī)的用法

師：課前我們已經(jīng)自學(xué)了圓規(guī)的使用，請在紙上嘗試畫一個圓。誰來介紹一下怎樣畫好一個圓？

生：圓規(guī)是由兩腳和頂端圓柄組成的，兩只腳分別是針尖和筆尖，固定了針尖這只腳后，手捏住圓規(guī)頂端的圓柄旋轉(zhuǎn)一圈，就可以畫出一個圓。

生：在畫圓時，只要保證針尖的一端不變，圓規(guī)兩腳之間的距離不變，畫的圓就會很圓了。

師：有同學(xué)畫得不圓，想一想可能是什么原因？

生：可能是在畫圖的時候，針尖動了或者兩腳間的距離變了。

師：非常善于思考，畫圓時需要固定針尖，同時確保圓規(guī)兩腳間的距離不變，就可以把圓畫好，請同學(xué)們按照剛才的方法再規(guī)范地畫一個圓。

二、在情境中理解尺規(guī)的原理

師：學(xué)校正在組建田徑隊，其中要選拔一些拋實心球運動員，樂樂、明明和亮亮參加了選拔，請大家看看誰能進(jìn)入學(xué)校田徑隊？

生1：我是直接測量的。先用直尺量出學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)的距離，再分別量出樂樂、明明和亮亮拋實心球的距離，最后進(jìn)行比較。

生2：我是借助毛線來比較的。把一跟毛線拉直后，先取與學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)一樣長的一段，再用這段毛線分別與三位同學(xué)拋實心球的距離進(jìn)行比較。

生3：我是用圓規(guī)來比的。張開圓規(guī)的兩只腳，使圓規(guī)兩腳間的距離正好等于學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)，再用調(diào)好距離的圓規(guī)分別去與三位同學(xué)的距離比較。

生4：我是用圓規(guī)畫弧來比的。先張開圓規(guī)的兩腳，使圓規(guī)兩腳間的距離正好等于學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)，再用這個距離，以中心為圓心，畫一條弧。

師：如果把這四種方法分分類，可以怎樣分？標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生：可以分成兩類，第一種方法為一類，后面三種方法為一類。分類的標(biāo)準(zhǔn)是看有沒有直接測量，第一種方法是通過直接測量進(jìn)行比較的，后面三種方法是沒有進(jìn)行測量，直接進(jìn)行比較的。

師：后三種方法有什么相同之處？

生：這三種方法都用一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，方法二用毛線創(chuàng)造了這個標(biāo)準(zhǔn)，方法三和方法四都是用圓規(guī)創(chuàng)造了這個標(biāo)準(zhǔn)。

師：方法四憑什么畫了一條弧就能判斷出這些同學(xué)能否進(jìn)入田徑隊呢？

生：因為圓弧是以學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)畫的，從畫的圓弧可以看出三個同學(xué)的距離都超過了學(xué)校標(biāo)準(zhǔn)，所以都可以被選入學(xué)校田徑隊。

師：那你還能畫出與標(biāo)準(zhǔn)等長的線段嗎？能畫出多少條？

生：可以畫出無數(shù)條與標(biāo)準(zhǔn)等長的線段，只要在圓弧上選一點，把圓弧上的一點與圓的中心點連起來的線段都相等。

師：同學(xué)們真厲害，不僅幫學(xué)校選出了運動員，還發(fā)現(xiàn)了圓弧上的秘密，即圓弧上任意一點與圓的中心點的距離都相等。

三、在探索中掌握尺規(guī)的技能

師：請同學(xué)們嘗試用圓規(guī)和直尺畫出線段a 的等長線段。

出示活動建議：

1.先畫一條直線；

2.用圓規(guī)確定給定線段的長度；

3.在直線上確定兩個端點；

4.表示出等長的線段。

（通過“希沃”播放部分學(xué)生操作的過程）

師：仔細(xì)觀察這幾個同學(xué)操作的過程，你想到了什么？

生：畫的過程中，關(guān)鍵是圓規(guī)兩腳間的距離固定后就不能再變了。

生：我發(fā)現(xiàn)畫的過程就是找到兩個點，把它連起來。

師：說得真好，兩點確定一條直線，用尺規(guī)畫已知線段就是找到兩個點，連成線段。

四、在運用中感悟尺規(guī)的價值

師：你能用直尺和圓規(guī)畫出與下列三角形中線段AB 等長的線段嗎？

師：在運用尺規(guī)畫線段AB 的等長線段時，你積累了哪些經(jīng)驗？

生：我發(fā)現(xiàn)在畫圖的過程中，圓規(guī)的作用是幫我們找到確定的長度，并固定下來，直尺的作用是把兩個點連接起來。

生：在畫圖時，圓規(guī)兩腳間的距離一定要保持不變。

師：林林喜歡彈萊雅琴，但①號琴弦要斷了，你能用圓規(guī)和直尺畫一條與①號琴弦等長的線段嗎？

師：在幫林林畫與琴弦等長的線段時，你有什么體會？

【課后反思】

從這節(jié)課的教學(xué)可以看出，在小學(xué)階段引入尺規(guī)作圖的內(nèi)容，對于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、空間想象和推理意識都具有重要的意義。在尺規(guī)作圖的過程中，應(yīng)該帶著“思考”從“操作”走向“推理”，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

一、帶著“思考”開啟尺規(guī)作圖

小學(xué)階段的尺規(guī)作圖不完全等同于中學(xué)的尺規(guī)作圖，不是簡單地應(yīng)用直尺和圓規(guī)畫圖形，不需要過多地強(qiáng)調(diào)作圖方法。在教學(xué)中，學(xué)生作出線段、三角形等，能夠幫助學(xué)生深層次的理解圖形的性質(zhì)和相互關(guān)系。尺規(guī)作圖中直尺和圓規(guī)各有分工，直尺主要用來畫直線，圓規(guī)主要用來畫圖或畫弧線，這樣的操作過程幫助學(xué)生將原本抽象的圖形轉(zhuǎn)化為形象、可感知、具身參與的數(shù)學(xué)活動。比如在讓學(xué)生感受尺規(guī)作圖的功能時，教師創(chuàng)設(shè)了“幫學(xué)校挑選實心球運動員”的生活情境，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生樂于主動去探究。在探究過程中，教師設(shè)計了一個開放的問題“請大家看看誰能進(jìn)入學(xué)校田徑隊”，問題的開放度決定了思維的寬度，學(xué)生想出了很多辦法，借助直尺和圓規(guī)畫弧是其中一種，教師借此引導(dǎo)學(xué)生深入的比較、分析，從而讓學(xué)生感受到在多種方法中用尺規(guī)畫圖的便捷、直觀。這樣讓學(xué)生帶著思考走入生活情境，把一個抽象的數(shù)學(xué)問題還原成活潑生動的過程，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念和幾何直觀。

二、帶著“研究”探索尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖不僅是一項簡單的作圖任務(wù)，更重要的是它還作為一種感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探索幾何規(guī)律的認(rèn)知工具。在教學(xué)中需要給予每位學(xué)生動手做、動腦思、動嘴講的機(jī)會，讓每位學(xué)生經(jīng)歷知識生長的過程和技能的形成過程，親歷研究的過程。本課首先通過微視頻，讓學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)畫圓的過程，再通過課堂上實踐畫圖、交流畫圖的過程規(guī)范畫圓，讓每位學(xué)生都經(jīng)歷了從不會畫圓到畫不圓，再到規(guī)范畫圓的過程；其次在引導(dǎo)學(xué)生探究尺規(guī)作已知線段的等長線段時，借助核心問題“怎樣把四種方法分分類？”“你還能畫出與標(biāo)準(zhǔn)等長的線段嗎？”引導(dǎo)每位學(xué)生體驗從特殊到一般，感受“兩點確定一條直線”的數(shù)學(xué)事實；最后在練習(xí)的過程中，通過追問“你積累了哪些經(jīng)驗？”“你有什么體會？”引導(dǎo)每位學(xué)生規(guī)范表達(dá)畫圖背后的道理，有利于學(xué)生方法的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)與學(xué)習(xí)的廣泛性遷移。

三、帶著“推理”深化尺規(guī)作圖

2022年版課標(biāo)指出：“三會”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，而其中“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”其實質(zhì)就是數(shù)學(xué)推理，推理意識是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。本課教學(xué)中，教師多次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察和分析的過程。比如在探究用尺規(guī)畫已知線段的等長線段時，教師先出示活動建議，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)支架，讓學(xué)生自主操作；在操作后，通過希沃播放學(xué)生的操作過程，還原了學(xué)生的思維過程；觀察后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，從而體會到尺規(guī)作圖的原理。這樣，讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程，學(xué)生通過幾何作圖的方法，在操作過程中形成對幾何圖形的感知，感受到兩點確定一條線段的意義；體會到用直尺可以確定直線，用圓規(guī)的兩點可以確定線段的長短；在練習(xí)中，再次引導(dǎo)學(xué)生對“兩點確定一條線段”進(jìn)行思考，發(fā)展學(xué)生的推理意識。推理能力不是一蹴而就的，需要課堂上引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷操作、觀察和比較分析的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的數(shù)學(xué)化過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。