尺規作圖：以數學的方式建立命題
———《三角形的三邊關系》教學實踐與思考

文|王平 鄭文倩

【教學內容】

蘇教版四年級下冊第77、78 頁。

【教前思考】

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）在“三角形的三邊關系”的學習內容中增加了尺規作圖和運用幾何基本事實“兩點之間線段最短”進行推理的教學提示。尺規作圖是直觀幾何向歐幾里得幾何過渡的重要橋梁，是學生感悟數學嚴謹性、增強幾何直觀和形成推理意識的重要載體。從第二學段起，2022年版課標對尺規作圖的內容要求、學業要求、教學提示都有明晰的表述。教學中，一方面要啟發學生在操作過程中思考三角形三條邊的長度之間的關系，感悟命題“任意兩邊之和大于第三邊”的意義，另一方面要引導學生用“兩點之間線段最短”這個基本事實說明數學命題的正確性，形成推理意識。

【教學過程】

一、圍繞圖形要素，提出研究問題

師：通過昨天的學習，我們一起認識了三角形。我們都是從哪些方面認識三角形的，你對它們有了哪些認識？

生：我們是從頂點、邊和角認識三角形的，知道了它們的數量，還有三個頂點的位置關系，不在一條直線上。

生：我還會畫三角形。

師：能把三角形的特征整理一下嗎？

課件出示表格：

圖形要素 數量關系頂點3 個 3 個頂點不在一條直線上邊3 條？角3 個？

師：觀察他的整理成果，還有什么需要研究的問題嗎？

生：三角形三個頂點有這樣的關系，它的三條邊和三個角有什么關系呢？

師：對呀，三角形的三條邊是不是也存在著某種關系呢？具體說，是不是任意三條線段都能圍成三角形？如果不是，有什么要求嗎？（板書：三角形的三邊關系）

【思考：三角形的學習貫穿于整個義務教育階段的每個學段中，對它的要素研究是圖形特征認識的起始。課始，教師通過提出回顧問題和整理要求將三邊關系的研究置于三角形特征研究的完整背景里，幫助學生從頂點、邊、角的維度進一步認識三角形，從而形成結構良好、角度清晰的認識，為后續學習其他幾何圖形提供研究方法和路徑。】

二、借助尺規作圖，發現一般規律

1.獨立嘗試，聚焦方法

課件出示：

師：選擇一種，想辦法圍一圍，再與同學交流。

師：我們從選擇8cm、5cm、4cm 的先來交流，你們都是怎樣圍的，結果怎么樣？

生：我選擇用吸管搭一搭，結果圍成了三角形。

生：我覺得吸管有點粗，可能不準確。我是在紙上畫的線段。畫成了三角形，畫了好多次。（展示學生作品，如圖1）

圖1

師：的確畫了很多次，其他同學也是這樣嗎？遇到了什么困難？

生：我先畫8cm 的線段，第二條畫5cm 的線段，然后去量最后這條線段兩點之間的距離，有的時候長，有的時候短……

2.教師示范，討論原理

師：看來用規定的三條線段畫一個三角形并不簡單，有沒有好辦法呢？

（學生沉思）

師：我像剛才幾位同學一樣，先畫了一條8cm 的線段，并把線段的端點記為A 和B。（示范畫圖）

師：現在要找到一個點，它到A的距離是5cm，這樣的點有很多，用什么工具可以幫助你找到？

生：圓規。

（教師演示，以A 為圓心，畫半徑是5cm 的弧）

師：那能找到很多點到B 點的距離是4cm 嗎？（教師演示）有沒有哪個點可以同時滿足兩個要求？

生：第一條弧上所有的點到A 的距離都是5cm，這條弧上所有的點到B 的距離都是4cm。它們相交的點到A 的距離等于5cm，到B 的距離等于4cm。

生：對啊，只要連接起來就成了一個邊長是8cm、5cm、4cm 的三角形。（如圖2）

圖2

師：現在你能說一說像這樣用直尺和圓規畫圖好在哪里嗎？

生：它先畫出符合兩個條件的很多點，相交的點就同時滿足兩個條件。這樣畫圖更加準確。

3.尺規作圖，完善研究

師：比一比，你更喜歡哪種研究方法？把自己的研究完善一下。

師：哪位同學來匯報一下自己的畫圖過程和結果？

（呈現學生的畫圖成果，如圖3，并在表格里板書數據和結果）

圖3

選法線段長/cm 線段長/cm 線段長/cm 能否圍成①854√②852×③842×④542√

4.分析圖形，探究規律

師：觀察我們用直尺和圓規畫出的圖，①和④可以圍成三角形，②和③不能圍成，這是為什么？

生：從圖上看，②和③畫出的兩條弧都沒有交點，所以找不到滿足兩個條件的點，也就是找不到三角形的第三個頂點。

生：沒有交點是因為兩條線段太短了，不能首尾相接。比如②，5+2<8，兩個長度還不滿8cm，所以不能相交。

師：那么，反過來看，①和④可以圍成三角形，它們任意兩條線段長度的和與第三條線段的長度有什么關系？每次任意選擇兩條邊算出長度的和，再與第三條邊的長度比較，看看結果怎樣。

（學生獨立計算、比較）

師：你在每個三角形中是怎樣算、怎樣比的？

（板書算式和比較的結果）

師：從上面的比較中，你認為圍成三角形的三條線段的長度間有什么關系？

生：任意兩邊的長度之和都比第三條邊大。

師：如果三條線段的長度分別是8cm、5cm、3cm，能圍成三角形嗎？為什么？

生：我們想象一下，當兩條線段長度的和等于第三條時，兩條線段連接起來就和第三條線段重合，也不能圍成三角形。

生：我畫了圖，是這樣的（如圖4），它們雖然相交了，但交點在原來的線段上，這樣三個頂點就在同一條直線上了，所以不能圍成。

圖4

師：現在你發現任意三條線段一定能圍成三角形嗎？那三角形的三邊長度間的關系有什么特點？

生：三條線段的長度是有關系的，不是任意三條線段都能圍成三角形。短的兩條邊要能在長的邊外面搭起來，有交點。

生：隨便哪兩條邊加起來都比剩下的邊長。

生：也就是三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

師：我們從不能圍成三角形的線段長度與能圍成三角形的線段長度的研究中發現，三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

【思考：尺規作圖引入前，教學中常用的方法是給學生提供吸管、小棒等有結構的材料進行實驗，圍出成果后再進行數據上的找規律，這樣做也可以初步建立命題。由于實驗材料的粗細等造成了較大的誤差，課堂中教師通過想象盡量回避相差較小的數據，這給學生留下了疑問。借助尺規作圖，教師可以將所有情況都畫出來，在畫的過程中學生就已經明白能否圍成背后的原因，之后的數據分析就變成了對發現的數學表征，命題的建立過程更加直觀確定。】

三、運用基本事實，形成數學命題

1.再認事實，建立聯系

師：剛才的研究發現在生活中有哪些運用呢？這樣的問題你們遇到過嗎？（課件出示圖5）

圖5

生：從學校到少年宮有三條路線，中間的一條最近。

師：這是為什么呢？

生：我是把學校、電影院和少年宮看成三角形的三個頂點，根據今天我們研究得出的結論，三角形任意兩邊之和都大于第三條邊，所以從學校到電影院再到少年宮一定比中間一條路線長。

生：同樣的，從學校經郵局到少年宮也比中間一條長，所以從學校直接到少年宮的路線最短。

生：其實不用這樣比，學校和少年宮是兩個點，我們知道兩點之間線段最短，所以中間路線比剩下的兩條都短。

2.嘗試推理，形成命題

師：剛才同學們用“兩點之間線段最短”和“三角形任意兩邊之和都大于第三條邊”說明了自己的想法，它們之間有聯系嗎？

生：根據“兩點之間線段最短”，我們也可以得到“三角形任意兩邊之和都大于第三條邊”。

生：（如圖6）三角形中，邊a是頂點A、B 之間的線段，而邊b和c 是折線，所以它們肯定比a邊要長一點。

圖6

生：同樣的，邊a 和b 的和一定比c 大，邊a 和c 的和一定比b 大。

生：簡單地說就是兩點之間線段最短。

師：基于這個基本事實我們就可以推理了，你能不能用一個算式來表示兩邊之和大于第三邊的結論？

生：AB 兩點之間b+c>a；BC兩點之間a+c>b；CA 兩點之間a+b>c。

師：前面我們用直尺和圓規畫圖發現和驗證，再經過用數學事實推理，反復驗證它是一個正確的結論。今天這個反復被我們使用的結論叫什么？

生：三角形任意兩邊長度的和大于第三邊。

【思考：三角形的三邊關系的教學很多時候都僅限于根據學生的操作或數學實驗的發現，對于數學命題的建立多是來自于不完全歸納，缺少數學推理的支撐，學生常常存疑。在學生的問題經過操作驗證后，設計借助“兩點之間線段最短”的數學事實，推理形成數學命題的活動，一方面有利于前后知識的融會貫通，發現數學知識是聯系的，是可以生長的；另一方面有利于發展學生的推理意識，讓學生體會到數學不只是來自于“看得見”的感性操作，更來自于“說得通”的理性推理。】

四、理解數學命題，拓寬生活應用

●水平一：解釋——哪些線段可以圍成三角形，為什么？（課件出示圖7）

圖7

師：你們是怎么想的？

生：只要最短的兩條邊的和與第三邊進行比較就可以了。

師：第三組為什么不能圍成三角形？

生：因為2+9＜15，所以圍不成。

●水平二：闡明——還能畫出哪些三角形？

師：圍成的兩個三角形之間有什么聯系嗎？

生：最長邊都是10cm，另外兩條邊之和都是14cm。

師：像這樣一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm 的三角形還有嗎？

生：另外兩條邊可以是1cm和13cm，2cm 和12cm，3cm 和11cm，4cm 和10cm，5cm 和9cm。

生：不對，1cm 和13cm、2cm和12cm 不可以，因為1+10＜13，2+10=12，不符合任意兩邊之和大于第三邊。

師：假設三角形的邊長都是整厘米數，最短的邊可以是幾厘米？

生：最短的邊是3 厘米。

●水平三：應用——還會形成什么圖形？

師：如果邊長不是整厘米數，三角形最短的邊又可以是幾厘米？

生：可能是2.1cm，還可能是2.01cm，只要比2cm 大都可以。

（教師使用幾何畫板，適時畫出一條邊是10cm，另外兩條邊的和是14cm 的三角形，如圖8）

圖8

師：想象一下，像這樣畫下去能畫出多少個三角形？

生：無數個。

師：再想象，把這些三角形的第三個頂點連起來，會是一個什么樣的圖形呢？（如圖9）

圖9

師：三角形的三邊關系與數學中的某些圖形也是有聯系的。

【思考：霍華德·加德納認為，一個人能夠將概念、原理和技能應用于解決新的問題和情境中，說明他充分掌握了這些內容。根據“理解六側面”設計了三個水平的應用活動，分別檢測“解釋”“闡明”和“應用”水平，促進學生的理解進階。過程中，學生通過對尺規作圖原理的掌握，發現根據今天學習的內容，運用作圖技能還可以創造出新的曲邊圖形。】

五、回顧探究過程，完善知識結構

師：回顧一下，我們是怎樣研究三角形的三邊關系的？你有哪些收獲？

生：我學到了三角形任意兩邊之和必須大于第三邊。

生：我們首先進行了猜想，三條邊是不是像頂點那樣有一定的關系，接著實驗驗證，再分析數據，最后根據以往學過的兩點之間線段最短進行推理。

生：我還知道可以用直尺和圓規畫三角形。

生：我對三角形的認識更完整了，我猜下面還會研究三角形三個角的關系。

【思考：三角形的認識是學生圖形認識第一次由直觀認識轉入特征認識。本課結尾再次回歸三角形認識的完整背景中，將對“邊”的研究融入學生已有的認知結構。通過對過程和收獲的回顧促使學生掌握知識的同時獲得研究的維度和方法，為后續研究“角”以及其他圖形提供可遷移的學習結構和方法結構。】